Лекция 14. Метод перевала

Август 1, 2022

Главная
Математика
Лекция 14. Метод перевала

Содержание

2. Асимптотическое разложение в окрестности точки x0
3. При x0→∞ достаточно часто в качестве ϕ(x) выбираются обратные степени x:
4. Замечание. Асимптотический ряд, вообще говоря, не сходится. для достаточно гладких f( t ) и ϕ( t
5. Формула Лапласа Обобщим этот результат на случай интегралов от аналитических ФКП.
7. Max. вклад в интеграл даст тот участок C, на котором u( x, y ) достигает глобального
9. Δu=0, z∈g', и в силу принципа max. гармонической функции, max u|∂g > u(x , y)|(x,y)∈g'=> хотя
10. => Через z0∈С проходят другие направления на которых u( x, y ) возрастает от значения u(
11. Max. вклад в интеграл будет давать участок интегрирования в окрестности точки z0, если на нем u(
12. Участок С, проходящий через z0 можно направить по направлению наибыстрейшего спуска на поверхности u( x ,
13. Но ∇u∇v = ux vx + uy vy=0 ( условия Коши-Римана ). => Направление наибыстрейшего спуска-
14. Max. вклад в интеграл дает интегрирование по участку С, проходящему через z0 и совпадающему c v
15. z0- точка глобального max. => => f ‘ ( z0 ) = 0 (производная не зависит
16. Найдем направление наибыстрейшего спуска.
17. При 0 ≤ θ ≤ 2 π cos(ψ+2θ)=0 4 раза => окрестность точки z0 разбивается на
19. Направление наибыстрейшего спуска определяется условием cos(ψ+2θ) = -1 => ψ+2θ0=π; θ0=(π-ψ)/2, где f ’’ (z0)=2keiψ, ψ=
20. Вычислению первого члена асимптотики
21. Параметризуем контур интегрирования С :
22. Выполнены все условия применимости формулы Лапласа
28. Скачать презентацию

Слайд 2

Асимптотическое разложение в окрестности точки x0

Слайд 3

При x0→∞ достаточно часто в качестве ϕ(x) выбираются обратные степени x:

Слайд 4

Замечание. Асимптотический ряд, вообще говоря, не сходится.
для достаточно гладких f(

t ) и ϕ( t ) при условии ∃! глобального максимума f( t ) на [ t1; t2 ] :

f( t0 ) > f( t ), f ‘ ( t0 )=0, f "( t0 ) < 0

Слайд 5

Формула Лапласа
Обобщим этот результат на случай интегралов от аналитических ФКП.

Слайд 6

Слайд 7

Max. вклад в интеграл даст тот участок C, на котором u(

x, y ) достигает глобального max на С.

Пусть z0- единственная точка глобального max. u( x , y ) на С:
u( x0, y0 ) > u( x, y )| C.

Слайд 8

Слайд 9

Δu=0, z∈g', и в силу принципа max. гармонической функции,
max u|∂g

> u(x , y)|(x,y)∈g'=>
хотя z0∈С точка глобального max u(x,y) на С, но в окрестности g' точки z0 ∃ точки ∉ С, в которых
u( x , y ) > u( x0, y0)

Слайд 10

=> Через z0∈С проходят другие направления на которых u( x, y

) возрастает от значения u( x0, y0 ).

Точка z0=x0+iy0 - седловая точка, или точка перевала поверхности u( x, y ).

=> название метода.

Слайд 11

Max. вклад в интеграл будет давать участок интегрирования в окрестности точки

z0, если на нем
u( x, y ) будет убывать с наибольшей скоростью от значения u( x0, y0 ).

По т. Коши контур С в окрестности точки z0∈С можно деформировать, не меняя значения интеграла.

Слайд 12

Участок С, проходящий через z0 можно направить по направлению наибыстрейшего спуска

на поверхности u( x , y ).

Это направление определяется направлением ∇u ( z0 ).

Слайд 13

Но ∇u∇v = ux vx + uy vy=0
( условия Коши-Римана

).
=> Направление наибыстрейшего спуска- направление ∇v=0,
т.е линия уровня
v (x , y) = v( x0, y0 ) = const.

Слайд 14

Max. вклад в интеграл дает интегрирование по участку С, проходящему через

z0 и совпадающему c
v ( x , y ) = v ( x0, y0 ) = const.

Как ведет себя f ( z ) на этом участке?

Слайд 15

z0- точка глобального max. =>
=> f ‘ ( z0 ) =

0 (производная не зависит от направления).

Слайд 16

Найдем направление наибыстрейшего спуска.

Слайд 17

При 0 ≤ θ ≤ 2 π cos(ψ+2θ)=0 4 раза =>

окрестность точки z0 разбивается на 4 сектора- 2 “+” : cos(ψ+2θ)>0,
и два “-”: cos(ψ+2θ)<0.
Кривая С должна в точке z0 переходить из одного “-” сектора в другой “-”.

Слайд 18

Слайд 19

Направление наибыстрейшего спуска определяется условием
cos(ψ+2θ) = -1 => ψ+2θ0=π; θ0=(π-ψ)/2,

где f ’’ (z0)=2keiψ, ψ= arg f ’’ (z0).

Слайд 20

Вычислению первого члена асимптотики

Слайд 21

Параметризуем контур интегрирования С :

Слайд 22

Выполнены все условия применимости формулы Лапласа

Слайд 23

Слайд 24

Слайд 25

Слайд 26