Лекция 3. Регрессионный анализ данных

наборов данных, представленных в безразмерном виде. Корреляционный анализ дает возможность установить, взаимосвязаны ли наборы данных по величине.

Прогнозные значения вычисляются путем подстановки в уравнение регрессии параметров значений объясняющих переменных.
Решение задачи классификации осуществляется следующим образом: линия регрессии делит все множество объектов на два класса, и та часть множества, где значение функции больше нуля, принадлежит к одному классу, а та, где оно меньше нуля, - к другому классу.

Регрессионный анализ
Позволяет получить конкретные сведения о том, какую форму и характер имеет зависимость между исследуемыми переменными.
При помощи регрессионного анализа возможно решение задачи прогнозирования и классификации.

зависимости исследуемых явлений.
Определение факторных и результативных признаков.
Сбор статистических данных.
Формулировка гипотезы о форме связи (простая или множественная, линейная или нелинейная).
Определение функции регрессии .
Оценка точности регрессионного анализа.
Интерпретация полученных результатов.
Прогнозирование неизвестных значений зависимой переменной.

Модель – свойства - адекватность

частота появления пары (xi ,yj).

- частота признака xj

- частота признака yi

признаками X и Y существует линейная корреляционная зависимость y=a+bx.

Метод регрессионного анализа

Метод корреляционного анализа

Когда данные представлены в виде корреляционной таблицы

показатель y от своего среднего значения при изменении фактора x на 1% от своей средней величины:

вида зависимости

средняя температура

средняя теплоемкость
фторида магния

величин.

Линейный коэффициент корреляции изменяется на отрезке [–1; 1].
Если r = ±1, то корреляционная зависимость становится функциональной.
В случае r > 0 говорят о положительной корреляции величин X, Y; в случае r < 0 — об отрицательной корреляции.
Если r = 0 , то линейная связь между признаками Х и Y отсутствует, но может существовать криволинейная корреляционная связь или нелинейная функциональная.

корреляции равен нулю при альтернативной гипотезе, что он отличен от нуля:

Проверка гипотезы основана на том факте, что величина t имеет распределение Стьюдента с n-2 степенями свободы .

При заданном уровне значимости α определяют критическое значение tкр.
Если t>tкр , то гипотеза Н0 отклоняется.
Если t

При достаточно больших n статистика

имеет приближенно нормальное распределение

.

Доверительный интервал для Arth( ρ) имеет вид:

Здесь

соответствующая квантиль нормального распределения.

Примечание : Arth(-r)=- Arth(r), если Arth(y)=t, то

.

Доверительный интервал для коэффициента корреляции ρ

помощью статистической функции ExcelСТЬЮДЕНТ.ОБР, входом в которую является вероятность 1-α/2 (α=1-γ) и n-2=6 степеней свободы находим критическое значение
tα, n-2=2,447.

Так как t=102,8521>tα,n-2=2,447, делаем вывод, что выборочный коэффициент корреляции значимо отличается от нуля. Следовательно, можно предположить, что теплоемкость Ср фторида магния и температура Т связаны линейной корреляционной зависимостью.

Доверительный интервал для Arth( ρ) :

atanh(r)=atanh(0,999717)=4,43070

3,554179Окончательно получаем:
0,998365<ρ<0,999951

y=θ+βx могут быть получены с помощью статистики, где β – истинное значение коэффициента регрессии, b – выборочное значение коэффициента регрессии.

Значение коэффициента β является значимым с достоверностью α, если

Двусторонний α ∙100% -й доверительный интервал для β

Статистические выводы о коэффициенте θ могут быть получены с помощью статистики

Где tβ квантиль распределения Стьюдента с n-2 степенями свободы.

α, т.к.:

Доверительные интервалы

Значение коэффициента θ является значимым с достоверностью α, т.к.:

пределах от 0 до 1. Чем ближе R2 к единице, тем лучше модель описывает экспериментальные данные.

Коэффициент детерминации

В случае линейной зависимости между признаками Х и У

Такое большое значение коэффициента детерминации говорит о том, практически весь разброс значений величины y объясняется линейной корреляционной зависимостью между теплоемкостью Ср фторида магния и температурой Т.

дисперсию адекватности S2адекв.

Мера разброса выборочных значений yi вокруг выборочных средних

Мера отклонений сглаживающих средних  f(x) от реальных (выборочных) средниx .

ЕслиQадекв=0, то сглаживающее уравнение регрессии y=f(x)полностью адекватно выборочным данным

n– объем выборки,
k – количество различных значений, принимаемых переменной Х,
q- число параметров регрессионной модели.

Сравнивая его с критическим значением fкр=fкр(α, k-q, n-k) , делают вывод об адекватности математической модели[1]. Здесь fкр(α, k-q, n-k) квантиль распределения Фишера-Снедекора с k-q, n-k степенями свободы.

Для негруппированных данных статистику Фишера- Снедекора рассчитывают по формуле:

адекватности полученной сглаживающей прямой исходным данным по критерию Фишера при уровне значимости α=0,05.
Для этого вычислим статистику

Здесь R2 – коэффициент детерминации, n=8. По числу степеней свободы k1=1 и k2=n-2=6 найдем критическое значение Fкрс помощью статистической функции F.ОБР.ПХ (Microsoft Excel 2010, 2016).
Fкр=5,987378
Так как Fвыб>Fкр , делаем вывод о том, что полученное уравнение линейной регрессии статистически значимо описывает результаты эксперимента.

Y единицы продукции (в условных единицах) от объема Х произведенной за день продукции.

что выборочный коэффициент корреляции значимо отличается от нуля. Следовательно, можно предположить, что объем Х произведенной за день продукции и себестоимость Y единицы продукции связаны линейной корреляционной зависимостью.

-1,25824 Окончательно получаем:
-0,85058 <ρ< -0,46514

Доверительный интервал коэффициента корреляции

50% всей вариации зависимой величины Y.

y=θ+βx могут быть получены с помощью статистики, где β – истинное значение коэффициента регрессии, b – выборочное значение коэффициента регрессии.

Значение коэффициента β является значимым с достоверностью α, если

Двусторонний α ∙100% -й доверительный интервал для β

Статистические выводы о коэффициенте θ могут быть получены с помощью статистики

Где tβ квантиль распределения Стьюдента с n-2 степенями свободы.