Лінійні диференціальні рівняння другого порядку

Август 24, 2022

Главная
Математика
Лінійні диференціальні рівняння другого порядку

Содержание

2. Тема 14. Лінійні диференціальні рівняння другого порядку. 14.1. Лінійні диференціальні рівняння другого порядку зі змінними коефіцієнтами.
3. Лінійні диференціальні рівняння 2-го порядку зі змінними коефіцієнтами. 2.Лінійне однорідне рівняння: 1.Лінійне неоднорідне рівняння:
4. Лінійні однорідні рівняння. Властивості розв’язків. Теорема. Якщо − частинні розв’язки однорідного рівняння , (14.1) то функція
5. Визначник Вронського. Для двох функцій , розв’язків рівняння (14.1)) визначником Вронського (або вронскіаном) називається визначник другого
6. Лінійно залежні функції. 1. Функції , називаються лінійно залежними на інтервалі , якщо існують такі 2
7. Лінійно незалежні функції. 1.Функції , називаються лінійно незалежними на інтервалі , якщо тотожність (14.4) де ,
8. Загальний розв’язок однорідного рівняння. Теорема. Якщо функції та лінійно незалежні на розв’язки однорідного рівняння (14.1) то
9. Знаходження загального розв’язку однорідного рівняння. Теорема. Якщо відомий один частинний розв’язок лінійного однорідного рівняння (14.1), то
10. Приклад 14.1. Знайти загальний розв’язок рівняння Зведемо рівняння до вигляду (14.1), розділивши на вираз : Один
11. Структура загального розв’язку неоднорідного рівняння. Теорема. Загальний розв’язок лінійного неоднорідного рівняння (14.7) складається з суми загального
12. Окремі випадки знаходження частинного розв’язку неоднорідного рівняння. Розглянемо неоднорідне диференціальне рівняння вигляду (14.8) Нехай − частинний
13. Метод варіації довільних сталих (метод Лагранжа). 2. Загальний розв’язок лінійного неоднорідного рівняння (14.7) шукаємо у вигляді
14. Приклад 14.3. Розв’язати рівняння Маємо рівняння вигляду (14.1). Складемо відповідне йому однорідне рівняння , його загальний
15. Продовження прикладу 14.3. , , і, згідно з формулами Крамера, , Інтегруючи ці диференціальні рівняння, ,
16. Лінійні диференціальні рівняння 2-го порядку зі сталими коефіцієнтами. 1.Лінійне неоднорідне рівняння: − сталі, 2. Лінійне однорідне
17. Метод Ейлера Застосовуємо заміну Ейлера , до однорідного рівняння Приходимо до характеристичного рівняння Тут можливі три
18. Приклад 14.4. Розв’язати задачу Коші: , , . Характеристичне рівняння має корені , , отже загальний
19. Метод невизначених коефіцієнтів. Якщо права частина неоднорідного рівняння (14.14) спеціального вигляду , (14.15) де - сталі,
20. Приклад 14.5. Розв’язати рівняння . Характеристичне рівняння має корені , , , тому загальний розв’язок однорідного
22. Скачать презентацию

Слайд 2

Тема 14. Лінійні диференціальні рівняння другого порядку.
14.1. Лінійні диференціальні рівняння другого

порядку зі змінними коефіцієнтами.
14.2. Лінійні однорідні рівняння. Властивості розв’язків.
14.3. Лінійні неоднорідні рівняння.
14.4. Лінійні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами.

Слайд 3

Лінійні диференціальні рівняння 2-го порядку
зі змінними коефіцієнтами.
2.Лінійне однорідне рівняння:

1.Лінійне неоднорідне рівняння:

Слайд 4

Лінійні однорідні рівняння. Властивості розв’язків.
Теорема. Якщо − частинні розв’язки однорідного рівняння

, (14.1)
то функція
(14.2)
при будь-яких значеннях сталих є розв’язком рівняння (14.1).
Чи буде функція (14.2) загальним розв’язком однорідного рівняння (14.1)? Це залежить від властивостей розв’язків , а саме − їх лінійної незалежності.

Слайд 5

Визначник Вронського.
Для двох функцій , розв’язків рівняння (14.1)) визначником Вронського

(або вронскіаном) називається визначник другого порядку вигляду
(14.3)
Визначник Вронського позначають символом або , тобто
За допомогою визначника Вронського вирішують питання про лінійну залежність, лінійну незалежність функцій .

Слайд 6

Лінійно залежні функції.

1. Функції , називаються лінійно залежними на інтервалі

, якщо існують такі 2 числа та , з яких хоча б одне відмінне від нуля, що для будь-якого має місце рівність
(14.4)

3. Якщо функції та лінійно залежні на інтервалі , то їх вронскіан тотожно дорівнює нулю на :
.

Слайд 7

Лінійно незалежні функції.
1.Функції , називаються лінійно незалежними на інтервалі , якщо

тотожність (14.4)
де , − дійсні числа, виконується на цьому проміжку тоді і тільки тоді, коли .

2.Функції , є лінійно незалежними на інтервалі , якщо їх відношення не є сталою величиною на .
3. Якщо функції та лінійно незалежні на інтервалі , то визначник Вронського, складений з них, відмінний від нуля на цьому інтервалі.

Слайд 8

Загальний розв’язок однорідного рівняння.
Теорема. Якщо функції та лінійно незалежні

на
розв’язки однорідного рівняння
(14.1)
то функція
(14.2)
де − довільні сталі, є загальним розв’язком рівняння (14.1).
Означення. Два будь-які лінійно незалежні розв’язки рівняння (14.1) називають фундаментальною системою розв’язків (ФСР) цього рівняння.
Отже, лінійна комбінація фундаментальної системи розв’язків однорідного рівняння (14.1) з довільними сталими , є
загальним розв’язком рівняння (14.1).

Слайд 9

Знаходження загального розв’язку однорідного рівняння.
Теорема. Якщо відомий один частинний розв’язок

лінійного однорідного рівняння (14.1), то другий, лінійно незалежний до нього розв’язок цього рівняння, знаходиться за формулою
Остроградського-Ліувілля:
(14.6)
Далі записуємо загальний розв’язок однорідного рівняння (14.1) згідно з формулою (14.2).

Слайд 10

Приклад 14.1. Знайти загальний розв’язок рівняння
Зведемо рівняння до вигляду (14.1), розділивши

на вираз :
Один з частинних розв’язків легко підібрати − . Дійсно,
, тому
Другий, лінійно незалежний до нього розв’язок , знаходимо за формулою (14.6):
Отже, , а загальний розв’язок вихідного рівняння записуємо за формулою (14.2): , де − довільні сталі.

Слайд 11

Структура загального розв’язку неоднорідного рівняння.
Теорема. Загальний розв’язок лінійного неоднорідного рівняння

(14.7)
складається з суми загального розв’язку відповідного однорідного рівняння (14.1) та будь-якого частинного розв’язку неоднорідного рівняння (14.7).
Отже, для знаходження загального розв’язку лінійного
неоднорідного рівняння (14.7) необхідно знайти один частинний розв’язок неоднорідного рівняння (14.7) та додати до нього
загальний розв’язок відповідного однорідного диференціального рівняння (14.1).

Слайд 12

Окремі випадки знаходження частинного розв’язку
неоднорідного рівняння.
Розглянемо неоднорідне диференціальне рівняння

вигляду
(14.8)
Нехай − частинний розв’язок рівняння , а − частинний розв’язок рівняння . Тоді, вочевидь , буде частинним розв’язком рівняння (14.8).
Приклад 14.2. Знайти частинний розв’язок рівняння .
Розглянемо диференціальні рівняння:
а) , для якого ;
б) , для якого
Тоді − частинний розв’язок даного рівняння.

Слайд 13

Метод варіації довільних сталих (метод Лагранжа).
2. Загальний розв’язок лінійного неоднорідного рівняння

(14.7) шукаємо у вигляді
(14.9)
де − невідомі функції від х/
,
3. Похідні від функцій визначають за системою рівнянь
(14.10)
.

Слайд 14

Приклад 14.3. Розв’язати рівняння
Маємо рівняння вигляду (14.1). Складемо відповідне йому однорідне

рівняння
,
його загальний розв’язок знайдено у прикладі 14.1:
,
де , - довільні сталі.
За методом Лагранжа загальний розв’язок даного неоднорідного рівняння шукаємо у вигляді (14.9):
(14.11)
Оскільки , , то , , а похідні від невідомих функцій , визначаються за системою (14.10):
Це лінійна неоднорідна система, розв’язуємо її за методом визначників.

Слайд 15

Продовження прикладу 14.3.
, ,
і, згідно з формулами Крамера,
,
Інтегруючи

ці диференціальні рівняння,
,
дістанемо
Аналогічно , .
Підставивши знайдені функції , у формулу (14.11), знайдемо шуканий загальний розв’язок
, − довільні сталі.

Слайд 16

Лінійні диференціальні
рівняння 2-го порядку
зі сталими коефіцієнтами.
1.Лінійне неоднорідне рівняння:
− сталі,

2. Лінійне однорідне рівняння:
− сталі , ( ,
).

Слайд 17

Метод Ейлера
Застосовуємо заміну Ейлера
,
до однорідного рівняння
Приходимо

до характеристичного рівняння

Тут можливі три випадки коренів і вигляду загального розв’язку рівняння
1)

Слайд 18

Приклад 14.4. Розв’язати задачу Коші: , , .
Характеристичне рівняння має корені

, , отже загальний розв’язок однорідного рівняння вигляду
(14.12)
Сталі знайдемо, використовуючи початкові умови. Маємо
(14.13)
Підставивши у формули (14.12), (14.13) початкові дані, дістанемо систему рівнянь
звідки знаходимо значення сталих: , .
Отже, розв’язок вихідного рівняння, що задовольняє заданим початковим умовам, має вигляд
.

Слайд 19

Метод невизначених коефіцієнтів.
Якщо права частина неоднорідного рівняння (14.14)
спеціального вигляду ,

(14.15)
де - сталі, , , - многочлени від x степеню n та m відповідно,
то частинний розв’язок рівняння (14.14) слід шукати у вигляді
чн
(14.16)
Тут r − показник кратності кореня в характеристичному рівнянні
(якщо такого кореня немає, то ); ; ,
− повні (містять всі степені від 0 до l ) многочлени від x степеню l з
невизначеними коефіцієнтами.
Невизначені коефіцієнти знаходять прирівнюючи коефіцієнти при однакових функціях після підстановки розв’язку (14.16) та його похідних у вихідне рівняння (14.14).
Загальний розв’язок неоднорідного рівняння (14.14) за теоремою про його структуру записується так:
зн= зо + чн.

Слайд 20

Приклад 14.5. Розв’язати рівняння .
Характеристичне рівняння має корені , ,

, тому загальний розв’язок однорідного рівняння Оскільки , то частинний розв’язок слід шукати у виглядi (14.17)
( , , , звідки (кореня 0 в характеристичному
рівнянні немає) ; ). Отже, , , тому,
підставивши (14.17) та його похідні у вихідне рівняння, дістанемо
або
.
Прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях, маємо систему:
звідки , , , а частинний розв’язок неоднорідного рівняння,
згідно з (14.17), .
Таким чином, загальний розв’язок вихідного рівняння .

Лінійні диференціальні рівняння другого порядку

Содержание

Тема 14. Лінійні диференціальні рівняння другого порядку.14.1. Лінійні диференціальні рівняння другого

Лінійні диференціальні рівняння 2-го порядку зі змінними коефіцієнтами. 2.Лінійне однорідне рівняння:

Лінійні однорідні рівняння. Властивості розв’язків.Теорема. Якщо − частинні розв’язки однорідного рівняння

Визначник Вронського.Для двох функцій , розв’язків рівняння (14.1)) визначником Вронського

Лінійно залежні функції. 1. Функції , називаються лінійно залежними на інтервалі

Лінійно незалежні функції.1.Функції , називаються лінійно незалежними на інтервалі , якщо

Загальний розв’язок однорідного рівняння. Теорема. Якщо функції та лінійно незалежні

Знаходження загального розв’язку однорідного рівняння. Теорема. Якщо відомий один частинний розв’язок

Приклад 14.1. Знайти загальний розв’язок рівнянняЗведемо рівняння до вигляду (14.1), розділивши

Структура загального розв’язку неоднорідного рівняння. Теорема. Загальний розв’язок лінійного неоднорідного рівняння

Окремі випадки знаходження частинного розв’язку неоднорідного рівняння.Розглянемо неоднорідне диференціальне рівняння

Метод варіації довільних сталих (метод Лагранжа).2. Загальний розв’язок лінійного неоднорідного рівняння

Приклад 14.3. Розв’язати рівнянняМаємо рівняння вигляду (14.1). Складемо відповідне йому однорідне

Продовження прикладу 14.3. , ,і, згідно з формулами Крамера, ,Інтегруючи

Лінійні диференціальнірівняння 2-го порядку зі сталими коефіцієнтами. 1.Лінійне неоднорідне рівняння:− сталі,

Метод Ейлера Застосовуємо заміну Ейлера , до однорідного рівнянняПриходимо

Приклад 14.4. Розв’язати задачу Коші: , , .Характеристичне рівняння має корені

Метод невизначених коефіцієнтів. Якщо права частина неоднорідного рівняння (14.14) спеціального вигляду ,

Приклад 14.5. Розв’язати рівняння .Характеристичне рівняння має корені , ,

Похожие презентации