Линейная алгебра

теоретической механике, физике и т.д. для сокращения записей и удобства вычислений.

Определитель 2 - го порядка это число, записанное в виде:

ai j

из произведения элементов главной диагонали вычитается произведение элементов побочной диагонали.

- это решение систем линейных уравнений.

Решение данной системы - это пара чисел х1 и х2, которая при подстановке обращает оба этих уравнения в тождества.

Свободные члены уравнения

Наиболее простым, является случай, когда число неизвестных n равно числу уравнений n.

Пусть n = 2:

ai j - коэффициенты при неизвестных.

Номер уравнения

Номер неизвестного,

иметь вид:

Если , то решение системы находится по формулам:

главный и вспомогательные определители системы:

Найдем решение системы по формулам Крамера:

вычисления определителей n – ого порядка рассмотрим на примере вычисления определителей третьего порядка.

который получается из определителя 3 - го порядка путем вычеркивания i - й строки и j - го столбца, т.е. строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент ai j называется минором элемента и обозначается Mi j

Алгебраическим дополнением элемента ai j  называется

строки (столбца) определителя на их алгебраические дополнения:

Разложение определителя по элементам i – ой строки

Разложение определителя по элементам j – ого столбца

какого - либо столбца или строки равны нулю:

равна нулю, если соответствующие элементы двух строк (столбцов) равны

k раз, если элементы какого - либо столбца (строки) увеличить в k раз:

не меняется при замене строк соответствующими столбцами:

соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на  произвольный множитель

Если определитель имеет так называемый треугольный вид, то он вычисляется как произведение чисел, стоящих на главной диагонали:

в нули

К элементам 2 строки прибавим элементы 1 строки, умноженные на (-2)

К элементам 3 строки прибавим элементы 1 строки

Разложим определитель по элементам 1 столбца

Также, используя свойства, можно привести определитель к треугольному виду и вычислить по последнему свойству.

линейных уравнений:

Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет решение и несовместной, если она не имеет решений.

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение и неопределенной, если она имеет бесконечное множество решений.

Система называется однородной, если
Однородная система совместна, так как всегда имеет нулевое решение.

систему из трех уравнений с тремя неизвестными:

Вспомогательные определители получаются из главного определителя, если заменить соответствующий столбец столбцом свободных членов: