Логарифмическая спираль

Август 23, 2022

Главная
Математика
Логарифмическая спираль

Содержание

2. Историческая справка Впервые логарифмическая спираль упоминается в письме Декарта к Мерсену в 1638г., в котором Декарт
3. Определение Логарифмической спиралью называется кривая, выражаемая в полярной системе уравнением: где p – расстояние от произвольной
4. Построение Построение логарифмической спирали может быть осуществлено по точкам и с помощью специального прибора. Построение по
5. Построение с помощью специального прибора Прибор для вычерчивания логарифмической спирали состоит из стержня АВ, к одному
6. Уравнения Уравнение в полярных координатах (полюс совпадает с полюсом спирали; полярная ось проведена через произвольно взятую
7. Свойства Угол μ, составляемый касательной в произвольной точке логарифмической спирали с радиусом-вектором точки касания за висит
8. Радиус кривизны в произвольной точке логарифмической спирали пропорционален радиусу-вектору этой точки. Длина дуги логарифмической спирали равняется
9. Длина дуги логарифмической спирaли от полюса до произвольной точки ее равна длине полярной касательной; про· веденной
10. Логарифмическая спираль в технике и природе Нож соломорезки
12. Скачать презентацию

Слайд 2

Историческая справка
Впервые логарифмическая спираль упоминается в письме Декарта к Мерсену

в 1638г., в котором Декарт определяет новую спираль как линию, отношение длины дуги которой к радиусу-вектору является постоянным.
Примерно в то же время Э. Торричелли независимо от Декарта и гораздо более подробно изучил свойства «геометрической спирали»так он назвал линию.
Особенно много внимания логарифмической спирали уделил Я. Бернулли, называвший ее spira mirabilis – дивная спираль.
Название логарифмической спирали было предложено Вариньоном.
Кинематическое свойство логарифмической спирали найдено Э. Ш. Каталаном в 1856 г.

Слайд 3

Определение
Логарифмической спиралью называется кривая, выражаемая в полярной системе уравнением:
где p

– расстояние от произвольной точки M на спирали до выбранной точки O,

- угол между лучом OM и выбранным лучом Ox,

a - константа

Слайд 4

Построение
Построение логарифмической спирали может быть осуществлено по точкам и с

помощью специального прибора.

Построение по точкам
Проводим из полюса лучи под углом, равным αϕ друг другу;
Выражаем число αϕ соответствующим масштабу отрезком OB;
Откладываем этот отрезок на луче ON и получаем точку B спирали;
Находим величину радиус-вектора ((αϕ)2=OB2, построив треугольник OBC, подобный треугольнику OAB;
Аналогично находим величину следующего радиус-вектора, построив треугольник ODC, подобный треугольнику OAB;
итд .

Слайд 5

Построение с помощью специального прибора
Прибор для вычерчивания логарифмической спирали состоит из

стержня АВ, к одному из концов которого прикрепляется рама в виде окружности. Один из диаметров этой окружности является осью диска с заостренными краями, плоскость которого перпендикулярна к плоскости рамы. Другим концом стержень АВ может свободно проходить через шайбу О, а эта последняя может свободно вращаться вокруг оси, перпендикулярной к плоскости рисунка, и закрепленной на нем в некоторой точке. Если взять рукой за раму и перемещать ее, прижимая к плоскости чертежа, то диск, вращаясь, будет оставлять на бумаге след в виде линии, составляющей с направлением стержня один и тот же угол.

Слайд 6

Уравнения
Уравнение в полярных координатах (полюс совпадает с полюсом спирали; полярная ось

проведена через произвольно взятую точку М0 спирали):

Натуральное уравнение:

Слайд 7

Свойства
Угол μ, составляемый касательной в произвольной точке логарифмической спирали с радиусом-вектором точки

касания за висит лишь от параметра а и, следовательно, для каждой спирали является величиной постоянной.
Полярная касательная, полярная нормаль, подкасательная и поднормаль пропорциональны радиусу-вектору точки касания.

Слайд 8

Радиус кривизны в произвольной точке логарифмической спирали пропорционален радиусу-вектору этой точки.
Длина

дуги логарифмической спирали равняется разности полярных касательных, проведенных в конце и начале дуги.

Свойства

Слайд 9

Длина дуги логарифмической спирaли от полюса до произвольной точки ее равна длине

полярной касательной; про· веденной к спирали в этой точке.
Длина дуги логарифмической спирали, отсчитываемая от полюса до некоторой точки, пропорциональна радиусу-вектору этой точки.
Длина дуги логарифмической спирали, отсчитываемая от полюса, пропорциональна радиусу кривизны конца этой дуги.
Если логарифмическая спираль катится по прямой MD, то геометрическое место центров кривизны, соответствующих точках касания, является прямой линией, проходящей через полюс.

Свойства

Слайд 10

Логарифмическая спираль

Содержание

Историческая справка Впервые логарифмическая спираль упоминается в письме Декарта к Мерсену

ОпределениеЛогарифмической спиралью называется кривая, выражаемая в полярной системе уравнением: где p

Построение Построение логарифмической спирали может быть осуществлено по точкам и с

Построение с помощью специального прибораПрибор для вычерчивания логарифмической спирали состоит из

УравненияУравнение в полярных координатах (полюс совпадает с полюсом спирали; полярная ось

СвойстваУгол μ, составляемый касательной в произвольной точке логарифмической спирали с радиусом-вектором точки

Радиус кривизны в произвольной точке логарифмической спирали пропорционален радиусу-вектору этой точки.Длина

Длина дуги логарифмической спирaли от полюса до произвольной точки ее равна длине