Отношения и отображения

Отношения

Определение. Пусть X и Y - два произвольных множества.
Если какому-либо элементу x∈X по некоторому правилу

Не исключено, что X=Y, тогда говорят, что отношение установлено между элементами множества X.

xRy, x∈X, y∈Y - x и y находятся в отношении R.
xRy, x∈X, y∈Y - x и y не находятся в отношении R.

Рассмотрим отношение R между множествами X и Y.
Графиком отношения R называется множество Γ={(x,y)|x∈X, y∈Y, xRy}⊇X×Y.
Определение. Декартовым произведением множеств X и Y называется множество

Всякое отношение имеет график - некоторое подмножество декартового произведения X и Y, и наоборот,

Отношение эквивалентности

Определение. Отношение R, заданное на множестве X, называется отношением эквивалентности, если оно обладает

 С отношением эквивалентности тесно связано разбиение множества на классы.
Определение. Множество X разбито на классы

Отношение >

Определение. Отношение >  заданное на множестве X называется отношением частичного строгого порядка, если оно

Отношение ≥
Определение. Отношение ≥, заданное на множестве X, назывется отношением частичного нестрогого порядка,

Множество X, в котором определены отношения частичного порядка (строгие и нестрогие) называется

Отображения

Пусть X и Y - два произвольных множества.
Определение. Соответствие, при котором каждому из элементов множества X сопоставляется

Множество X называется областью определения отображения и обозначается X=D(f).
E(f) называется множеством значений отображения, и E(f)={y∈Y|∃x∈X, y=f(x)}.
Множество Γ(f) называется графиком отображенияΓ(f)={(x,y)∈X×Y, y=f(x),∀x∈X, y∈Y}.

Пусть f - некоторое отображение из множества X в множество Y. Если x при этом отображении сопоставляется y, то y=f(x).

Определение. Совокупность всех элементов из множества X, образом которых является y из Y, называется полным прообразом  Y

Виды отображений

Определение. Отображение f называется инъективным отображением, если ∀ y∈Y  y=f(x) является образом не более одного x.

Х

У

Отображение f называется сюръективным отображением, если все элементы в множестве Y являются образами хотя бы одного x. (Это

 Отображение f называется биективным, если оно инъективно и сюръективно, (взаимно однозначным соответствием).

Х

У

Примеры

Отображение. Инъективное, не сюръективное.

Не отображение.

Не отображение.

Отображение. Не инъективное, сюръективное.