Математические методы в инженерии

Сентябрь 12, 2022

Главная
Математика
Математические методы в инженерии

Содержание

2. 1. Теория и практика приближенных вычислений
3. 08.09.2016 Вопросы: Абсолютная и относительная погрешности Верные значащие цифры Правила округления чисел и погрешностей
4. ВВЕДЕНИЕ Под погрешностью понимается величина, характеризующая точность результата. Выделяют три основных вида погрешностей: 1. Неустранимая погрешность
6. 1. Абсолютная и относительная погрешности Пусть Х – точное значение некоторой величины, а х – ее
7. Абсолютной относительной погрешностью приближенного числа х называется отношение Абсолютная и относительная погрешности связаны соотношением Относительную погрешность
8. 2. Значащие цифры Первая слева, отличная от нуля цифра данного числа и все следующие за ней
9. Погрешность Δх подбирают так, чтобы : а) в записи Δх было не более 1 – 3
10. Верные значащие цифры 2.1. Значащая цифра числа называется верной в строгом (узком) смысле, если абсолютная погрешность
11. 6: стоит в разряде единиц, ½=0,5>0,007 - верная 8: стоит в разряде десятых, 0,1/2=0,05>0,007 - верная
12. 2.2. Значащая цифра числа называется верной в широком смысле, если абсолютная погрешность числа не превосходит единицы
13. 3. Правила округления чисел и погрешностей 3.1. При записи чисел руководствуются правилом: все значащие цифры должны
14. Примеры. Округлить числа до сотых: 1) 1,2537≈1,25; 2) 1,2563≈1,26,; 3) 2,36566≈2,37; 4) 2,665≈2,66,(т.к. 6 – четная);
15. Погрешность округления Пример. Пусть в приближенном значении а=16,395 все цифры верны в широком смысле. Округлим а
16. 3.2. Правила округления погрешностей Пример. Округлить до сотых число 4,5371±0,0482 Сначала округлим погрешность , оставив одну
17. 15.09.2016 Прямая задача теории погрешностей Вопросы: Учет погрешности приближенных вычислений. Систематический учет погрешностей при вычислениях Метод
18. Прямая задача теории погрешностей: Заключается в том, чтобы оценить погрешность вычисления значений функции по заданной погрешности
19. 1. Учет погрешности приближенных вычислений 1.1. Строгие методы оценки точности результатов вычислений: Систематический пооперационный учёт погрешностей;
20. Погрешность результатов арифметических операций Относительная погрешность алгебраической суммы равна Пусть известны погрешности Δх и Δу соответственно
21. Предельная относительная погрешность произведения (частного) равна сумме относительных погрешностей слагаемых (делимого и делителя). Предельные абсолютные погрешности
22. Пример 1. а) Записать порядок выполняемых операций, оценить погрешности их результатов, вычислить и оценить погрешность искомого
23. Предельная относительная погрешность операций возведения в степень и извлечения корня. Предельные абсолютные погрешности вычисляется по формулам
24. Погрешность вычисления функции Пусть задана дифференцируемая функция и абсолютные погрешности аргументов Тогда абсолютная погрешность функции вычисляется
25. Пример 2. а) Записать порядок выполняемых операций, оценить погрешности их результатов, вычислить и оценить погрешность искомого
26. Пример 3. Δπ=0,0016
28. Пример 4. а) Записать порядок выполняемых операций, оценить погрешности их результатов, вычислить и оценить погрешность искомого
29. Порядок выполняемых операций:
30. б) Для определения числа верных знаков воспользуемся определением и оценкой для абсолютной погрешности функции. Таким образом,
31. Метод границ
32. Метод границ
33. Оценить точность вычислений методом границ НГ(a-b)=НГа – ВГb = 9,20 – 3,07=6,13 ВГ(a-b)=ВГа – НГb =
35. Метод подсчета верных цифр – нестрогий метод оценки точности вычислений
38. 5. Обратная задача теории погрешностей Необходимо определить допустимую погрешность аргументов по допустимой погрешности функции. Для функции
39. Пример (обратная задача) Выяснить погрешность задания исходных данных, необходимую для получения результата с верными значащими цифрами.
40. Исходим из того, что Для использования принципа равных влияний считаем, что все слагаемые , равны между
42. Скачать презентацию

Слайд 2

1. Теория и практика приближенных вычислений

Слайд 3

08.09.2016 Вопросы:
Абсолютная и относительная погрешности
Верные значащие цифры
Правила округления чисел и погрешностей

Слайд 4

ВВЕДЕНИЕ
Под погрешностью понимается величина, характеризующая точность результата.
Выделяют три основных

вида погрешностей:
1. Неустранимая погрешность – эта погрешность связана:
а) с ошибками или неточностями исходных данных
б) несоответствие математического описания задачи реальности.
2. Погрешность метода связана со способом решения поставленной математической (инженерной) задачи с тем, что исходные данные заменяются приближенными. Например, заменяют интеграл суммой, производную – разностью, функцию – многочленом или строят бесконечный итерационный процесс, который обрывают после конечного числа итераций.
3. Погрешность вычислений возникает при округлении промежуточных и конечных результатов.

Слайд 5

Слайд 6

1. Абсолютная и относительная погрешности
Пусть Х – точное значение некоторой величины,

а х – ее известное приближенное значение.
Абсолютной погрешностью приближенного числа х называется наименьшая величина, удовлетворяющая условию
.

т.е. точное значение величины Х лежит в интервале

Слайд 7

Абсолютной относительной погрешностью приближенного числа х называется отношение
Абсолютная и относительная погрешности

связаны соотношением

Относительную погрешность часто выражают в процентах

Слайд 8

2. Значащие цифры
Первая слева, отличная от нуля цифра данного числа и

все следующие за ней цифры называются значащими.
Пример.
В числе х=78,23 – четыре значащих цифры (7,8,2,3)
х =0,01280 – значащие цифры 1,2,8,0
х=2270000 – значащие все семь цифр
х=2,27⋅106 – значащие только 2,2,7
Приближенные числа записываются в форме:

Слайд 9

Погрешность Δх подбирают так, чтобы :
а) в записи Δх было не

более 1 – 3 значащих цифр;
б) младшие разряды в записи числа х и погрешности Δх должны соответствовать друг другу
Пример: 102,1±0,2; 4,531±0,011; -10,92±0,06

Слайд 10

Верные значащие цифры
2.1. Значащая цифра числа называется верной в строгом (узком)

смысле, если абсолютная погрешность числа не превосходит 1/2 единицы разряда, в котором стоит эта цифра.
Пример 1. Определить, какие цифры числа 46,852±0,007 являются верными в строгом (узком) смысле.
Решение. Будем последовательно рассматривать все цифры числа
4 – стоит в разряде десятков, возьмем ½ от десяти = 5 и сравним число 5 > 0,007, следовательно, цифра 4 – верная в узком смысле

Слайд 11

6: стоит в разряде единиц, ½=0,5>0,007 - верная
8: стоит в разряде

десятых, 0,1/2=0,05>0,007 - верная
5: стоит в разряде сотых, 0,01/2=0,005<0.007 – цифра 5 не является верной в узком смысле, а следовательно, и следующая цифра 2 тоже не является верной в узком смысле.
Таким образом, в записи числа 46,852±0,007 верными являются цифры 4,6 и 8, поэтому можно записать это число 46,8 отметив, что все цифры верны в узком смысле.

Пример 2. Определить какие цифры числа а= 2,91385, Δа=0,00097являются верными в узком смысле.
Пример 3. Если в числе а=6,92 все цифры верны в узком смысле, то Δа=

Слайд 12

2.2. Значащая цифра числа называется верной в широком смысле, если абсолютная

погрешность числа не превосходит единицы разряда, в котором стоит эта цифра.
Цифры в записи числа, о которых неизвестно верны они или нет, называются сомнительными.
Пример 4. Если в числе b=4,1 все цифры верны в широком смысле, то Δb=0,1
Пример 4. Если в числе b=4,100 все цифры верны в широком смысле, то Δb=0,001
ВЫВОД. Записи 4,1 и 4,100 в теории приближенных вычислений означают не одно и тоже.

Слайд 13

3. Правила округления чисел и погрешностей
3.1. При записи чисел руководствуются

правилом: все значащие цифры должны быть верными. Поэтому округление чисел, записанных в десятичной системе, производится по правилу первой отбрасываемой цифры:
если первая из отбрасываемых цифр меньше 5, то оставляемые цифры сохраняются без изменения;
если первая из отбрасываемых цифр больше 5, то последняя оставляемая цифра увеличивается на единицу;
если первая из отбрасываемых цифр равна 5, а за ней идут не нули, то последняя оставляемая цифра увеличивается на единицу;
если первая из отбрасываемых цифр равна 5 и все значащие цифры, идущие за ней, – нули, то последняя оставляемая цифра увеличивается на единицу, если она нечетная, и остается без изменения, если – четная.

Слайд 14

Примеры. Округлить числа до сотых:
1) 1,2537≈1,25;
2) 1,2563≈1,26,;

3) 2,36566≈2,37;
4) 2,665≈2,66,(т.к. 6 – четная);
5) 2,635≈2,64,.

Слайд 15

Погрешность округления
Пример. Пусть в приближенном значении а=16,395 все цифры верны в

широком смысле. Округлим а до сотых аокр = 16,40. Тогда Δокр=0,005, а полная погрешность Δаокр = Δа+Δокр=0,001+0,005=0,006. Значит в аокр = 16,40 цифра 0 не верна в строгом смысле.

Слайд 16

3.2. Правила округления погрешностей
Пример. Округлить до сотых число 4,5371±0,0482
Сначала округлим погрешность

, оставив одну сомнительную цифру (правило 3) – получим 0,049
Округлим число – получим 4,54
Найдем погрешность округления 4,54 – 4,5371=0,0029
Найдем погрешность округленного числа 0,049+0,0029=0,0519 . Округлим – получим 0,06 (правило 1)
Окончательный ответ 4,54±0,06

Слайд 17

15.09.2016 Прямая задача теории погрешностей Вопросы:
Учет погрешности приближенных вычислений.
Систематический учет

погрешностей при вычислениях
Метод подсчета цифр при определении погрешностей
Метод границ определения погрешности

Слайд 18

Прямая задача теории погрешностей:
Заключается в том, чтобы оценить погрешность вычисления значений

функции по заданной погрешности аргументов.

Слайд 19

1. Учет погрешности приближенных вычислений
1.1. Строгие методы оценки точности результатов вычислений:
Систематический

пооперационный учёт погрешностей;
Метод границ.
При строгом методе формула итоговой погрешности вычислений выводится на основе формул учета погрешностей арифметических действий и вычисления функции.
1.2. Нестрогий метод оценки точности результатов вычислений – метод подсчета верных цифр

Слайд 20

Погрешность результатов арифметических операций
Относительная погрешность алгебраической суммы равна
Пусть известны погрешности Δх

и Δу соответственно чисел х и у.
Предельная абсолютная погрешность алгебраической суммы равна сумме абсолютных погрешностей слагаемых.

Слайд 21

Предельная относительная погрешность произведения (частного) равна сумме относительных погрешностей слагаемых (делимого

и делителя).

Предельные абсолютные погрешности произведения и частного вычисляется по формулам связи:

или

Слайд 22

Пример 1.
а) Записать порядок выполняемых операций, оценить погрешности их результатов, вычислить

и оценить погрешность искомого значения F=(a – b) ⋅c,
если a=0,8(±0,1) b=1,65(±0,01) c=0,153(±0,002)
Решение.

a – b = – 0,85;
Δа=0,1 , Δb = 0,01, ⇒ Δa-b=0,1+0,01=0,11
2) (a – b)c= – 0,13005;
Ответ: F= – 0,13005±0,01853

Слайд 23

Предельная относительная погрешность операций возведения в степень и извлечения корня.
Предельные абсолютные

погрешности вычисляется по формулам связи:

Слайд 24

Погрешность вычисления функции
Пусть задана дифференцируемая функция и абсолютные погрешности аргументов
Тогда абсолютная

погрешность функции вычисляется по формуле Лагранжа:

Если функция зависит от одного аргумента, то

Слайд 25

Пример 2.
а) Записать порядок выполняемых операций, оценить погрешности их результатов, вычислить

и оценить погрешность искомого значения F=(a – b) ⋅c,
если a=0,8(±0,1) b=1,65(±0,01) c=0,153(±0,002)
Решение.
Рассмотрим F как функцию от трех аргументов a,b,c

ΔF=c⋅Δa+c⋅Δb+(a –b)⋅Δc= =0,153*0,1+0,153*0,01+0,85*0,002=0,01683+0,0017= =0,01853

Слайд 26

Пример 3.
Δπ=0,0016

Слайд 27

Слайд 28

Пример 4.
а) Записать порядок выполняемых операций, оценить погрешности их

результатов, вычислить и оценить погрешность искомого значения F .
б) Определить число верных (в узком и широком смысле) знаков в результате.
Решение. а) приближенные значения исходных данных:
, , .
Абсолютные погрешности исходных данных:
,
.
Относительные погрешности исходных данных:

Слайд 29

Порядок выполняемых операций:

Слайд 30

б) Для определения числа верных знаков воспользуемся определением и оценкой

для абсолютной погрешности функции.
Таким образом,
По определению числа верных знаков,
Ответ: число верных знаков m=3 и

Слайд 31

Метод границ

Слайд 32

Метод границ

Слайд 33

Оценить точность вычислений методом границ
НГ(a-b)=НГа – ВГb = 9,20 – 3,07=6,13

ВГ(a-b)=ВГа – НГb = 9,22 – 3,03 = 6,19

НГх = НГ(числителя)/ ВГ(знаменателя) = 14,22/12,29=1,15
ВГх = ВГ(числителя)/ НГ(знаменателя) = 14,29/12,23=1,19

Слайд 34

Слайд 35

Метод подсчета верных цифр – нестрогий метод оценки точности вычислений

Слайд 36

Слайд 37

Слайд 38

5. Обратная задача теории погрешностей
Необходимо определить допустимую погрешность аргументов по допустимой

погрешности функции.
Для функции одной переменной абсолютную погрешность можно приближенно вычислить по формуле
(14)
Для функции нескольких переменных :
применяют принцип равных влияний, т.е. считают, что все слагаемые
, равны между собой.
Тогда абсолютные погрешности всех аргументов определяются формулой
(15)

Слайд 39

Пример (обратная задача)
Выяснить погрешность задания исходных данных, необходимую для получения

результата с верными значащими цифрами.
Решение. Находим
(полагаем первые цифр верными).
Согласно определению -верного знака, абсолютная погрешность

Слайд 40

Исходим из того, что
Для использования принципа равных влияний считаем, что

все
слагаемые , равны между собой. Тогда абсолютные погрешности всех аргументов определяются формулой:
Находим

Математические методы в инженерии

Содержание

1. Теория и практика приближенных вычислений

08.09.2016 Вопросы: Абсолютная и относительная погрешностиВерные значащие цифрыПравила округления чисел и погрешностей

ВВЕДЕНИЕ Под погрешностью понимается величина, характеризующая точность результата. Выделяют три основных

1. Абсолютная и относительная погрешностиПусть Х – точное значение некоторой величины,

Абсолютной относительной погрешностью приближенного числа х называется отношениеАбсолютная и относительная погрешности

2. Значащие цифры Первая слева, отличная от нуля цифра данного числа и

Погрешность Δх подбирают так, чтобы : а) в записи Δх было не

Верные значащие цифры2.1. Значащая цифра числа называется верной в строгом (узком)

6: стоит в разряде единиц, ½=0,5>0,007 - верная8: стоит в разряде

2.2. Значащая цифра числа называется верной в широком смысле, если абсолютная

3. Правила округления чисел и погрешностей 3.1. При записи чисел руководствуются

Примеры. Округлить числа до сотых: 1) 1,2537≈1,25; 2) 1,2563≈1,26,;

Погрешность округленияПример. Пусть в приближенном значении а=16,395 все цифры верны в

3.2. Правила округления погрешностейПример. Округлить до сотых число 4,5371±0,0482Сначала округлим погрешность

15.09.2016 Прямая задача теории погрешностей Вопросы: Учет погрешности приближенных вычислений. Систематический учет

Прямая задача теории погрешностей:Заключается в том, чтобы оценить погрешность вычисления значений

1. Учет погрешности приближенных вычислений1.1. Строгие методы оценки точности результатов вычислений:Систематический

Погрешность результатов арифметических операцийОтносительная погрешность алгебраической суммы равнаПусть известны погрешности Δх

Предельная относительная погрешность произведения (частного) равна сумме относительных погрешностей слагаемых (делимого

Пример 1.а) Записать порядок выполняемых операций, оценить погрешности их результатов, вычислить

Предельная относительная погрешность операций возведения в степень и извлечения корня.Предельные абсолютные

Погрешность вычисления функцииПусть задана дифференцируемая функция и абсолютные погрешности аргументовТогда абсолютная

Пример 2.а) Записать порядок выполняемых операций, оценить погрешности их результатов, вычислить

Пример 3.Δπ=0,0016

Пример 4. а) Записать порядок выполняемых операций, оценить погрешности их

Порядок выполняемых операций:

б) Для определения числа верных знаков воспользуемся определением и оценкой

Метод границ

Метод границ

Оценить точность вычислений методом границНГ(a-b)=НГа – ВГb = 9,20 – 3,07=6,13

Метод подсчета верных цифр – нестрогий метод оценки точности вычислений

5. Обратная задача теории погрешностейНеобходимо определить допустимую погрешность аргументов по допустимой

Пример (обратная задача) Выяснить погрешность задания исходных данных, необходимую для получения

Исходим из того, чтоДля использования принципа равных влияний считаем, что

Похожие презентации

08.09.2016 Вопросы:
Абсолютная и относительная погрешности
Верные значащие цифры
Правила округления чисел и погрешностей

ВВЕДЕНИЕ
Под погрешностью понимается величина, характеризующая точность результата.
Выделяют три основных

1. Абсолютная и относительная погрешности
Пусть Х – точное значение некоторой величины,

Абсолютной относительной погрешностью приближенного числа х называется отношение
Абсолютная и относительная погрешности

2. Значащие цифры
Первая слева, отличная от нуля цифра данного числа и

Погрешность Δх подбирают так, чтобы :
а) в записи Δх было не

Верные значащие цифры
2.1. Значащая цифра числа называется верной в строгом (узком)

6: стоит в разряде единиц, ½=0,5>0,007 - верная
8: стоит в разряде

3. Правила округления чисел и погрешностей
3.1. При записи чисел руководствуются

Примеры. Округлить числа до сотых:
1) 1,2537≈1,25;
2) 1,2563≈1,26,;

Погрешность округления
Пример. Пусть в приближенном значении а=16,395 все цифры верны в

3.2. Правила округления погрешностей
Пример. Округлить до сотых число 4,5371±0,0482
Сначала округлим погрешность

15.09.2016 Прямая задача теории погрешностей Вопросы:
Учет погрешности приближенных вычислений.
Систематический учет

Прямая задача теории погрешностей:
Заключается в том, чтобы оценить погрешность вычисления значений

1. Учет погрешности приближенных вычислений
1.1. Строгие методы оценки точности результатов вычислений:
Систематический

Погрешность результатов арифметических операций
Относительная погрешность алгебраической суммы равна
Пусть известны погрешности Δх

Пример 1.
а) Записать порядок выполняемых операций, оценить погрешности их результатов, вычислить

Предельная относительная погрешность операций возведения в степень и извлечения корня.
Предельные абсолютные

Погрешность вычисления функции
Пусть задана дифференцируемая функция и абсолютные погрешности аргументов
Тогда абсолютная

Пример 2.
а) Записать порядок выполняемых операций, оценить погрешности их результатов, вычислить

Пример 3.
Δπ=0,0016

Пример 4.
а) Записать порядок выполняемых операций, оценить погрешности их

Оценить точность вычислений методом границ
НГ(a-b)=НГа – ВГb = 9,20 – 3,07=6,13

5. Обратная задача теории погрешностей
Необходимо определить допустимую погрешность аргументов по допустимой

Пример (обратная задача)
Выяснить погрешность задания исходных данных, необходимую для получения

Исходим из того, что
Для использования принципа равных влияний считаем, что