Математические предложения

Высказыванием называют любое повествовательное предложение, о котором можно сказать, истинно оно

«Истина» и «ложь» называются значениями истинности высказывания. Каждое высказывание либо истинно,

Существуют предложения, относительно которых без дополнительных условий нельзя установить, истинно оно

Два высказывания А и В равносильны (эквивалентны), если они одновременно истинны

Предикатом называется предложение с одной или несколькими переменными, обращающееся в высказывание

Вместе с предикатом, как правило, задается и множество, из которого выбираются

Множество значений переменной, которые обращают предикат в истинное высказывание, называется множеством

3) D(х): «х  у» х, у ∈ Х, где Х

Предложение называется простым (элементарным), если никакая его часть сама не является

Примеры:
1) Число 28 четное и делится на 7.
2) Число х

Упражнение
Среди следующих предложений укажите высказывания и предикаты. Для высказываний укажите значения

Операции над высказываниями и предикатами
Отрицание

Отрицание некоторого высказывания А можно получить, если

Отрицанием высказывания А называется такое высказывание Ā, которое истинно, если данное

И

И

Л

Л

Пример: А: «Число 6 четное»
: «Число 6 нечетное»
: «Число

Отрицанием предиката А(х), заданного на множестве Х, называют предикат Ā(х), определенный

Пример: Х = {10, 15, 20, 25, 30} А(х): «Число х

Упражнения
1. Образуйте отрицание каждого из следующих высказываний; укажите, является истинным данное

Логическая операция, в результате которой из двух высказываний А и В

Конъюнкция двух высказываний А и В - это такое высказывание А∧В,

И

И

И

Л

Л

И

Л

Л

Л

Л

Л

И

Примеры:
А: «15  3», В: «15  5»,
А ∧ В:

«Число

3) 3 < 8 < 11

А: «3 < 8», В:

И

Л

Л

Л

А ∧ В = В ∧ А

коммутативный закон конъюнкции

Пример:
А

И

И

Л

Л

Л

Л

Л

Л

И

Л

Л

Л

Л

Л

Л

Л

И

И

Л

Л

Л

Л

Л

Л

И

Л

Л

Л

Л

Л

Л

Л

(А ∧ В) ∧ С = А ∧ (В ∧ С)

Л

Л

Л

Л

И

И

А ∧ А = А

А ∧ Ā – тождественно ложная формула

Замечание:
В обыденной речи конъюнкция может выражаться с помощью различных союзов:

Конъюнкцией предикатов А(х) и В(х), заданных на множестве Х, называется предикат

Пример: А(х): «Число х четное»,
В(х): «Число х кратно 5», х∈Х,
Х

Дизъюнкция

Логическая операция, в результате которой из двух высказываний А и

Дизъюнкция двух высказываний А и В - это такое высказывание А

И

И

И

Л

Л

И

Л

Л

Л

И

И

И

Замечание: В обыденной речи союз «или» употребляется в двух смыслах:
как разделительный

Примеры:
1) А: «10 > 7» (И), В: «10 = 7»

И

И

И

Л

А ∨ В = В ∨ А

коммутативный закон дизъюнкции

И

И

И

И

И

И

Л

Л

И

И

И

И

И

И

И

Л

И

И

Л

И

Л

И

И

И

И

И

И

И

Л

И

И

И

(А ∨ В) ∨ С = А ∨ (В ∨ С)

Л

И

И

Л

И

И

А ∨ А = А

А ∨ Ā – тождественно истинная формула

Дизъюнкцией предикатов А(х) и В(х), заданных на множестве Х, называется предикат

Примеры:
Х = {10, 12, 15, 17, 20, 25}
А(х): «х

2) Х = {10, 12, 17, 20, 25}
А(х): «х 

ТА∨В = ТА ∪ ТВ

ТА∧В = ТА ∩ ТВ

ТĀ

Законы де Моргана

Доказательство

Л

Л

И

И

Л

И

И

Л

И

Л

Л

Л

Л

Л

И

И

И

И

И

И

Пример:
А: «Я играю в шахматы»,
В: «Я играю в

Упражнения
Известно, что высказывание А – истинно. Можно ли, зная лишь

3) Покажите, что выполняя следующие задания, мы находим множество истинности конъюнкции

Решение задач на распознавание объектов

Решение задач на распознавание объектов связано

Алгоритм распознавания

1. Проверить, истинно ли высказывание: х ∈ С.
2. Если х

Если видовое отличие представляет собой конъюнкцию свойств,
т.е. Р = Р1 ∧

Пример: Выяснить, в каком случае ВК является биссектрисой угла.
а) б) в)

Если видовое отличие представляет собой дизъюнкцию свойств:
Р = Р1 ∨ Р2

Пример: Даны множества А={1, 2, 3}, В={2, 4, 6}. Какие из

Импликация

Составное высказывание, которое образовано из двух элементарных высказываний с помощью

Импликацией высказываний А и В называется высказывание А ⇒ В, которое

Пример:
А: «Треугольник АВС прямоугольный»
В: «В треугольнике АВС квадрат одной стороны равен

1) «Если Наполеон – француз, то 2·2 = 4».
2) «Если 2

Замечание:
Употребление слов «Если…, то…» в логике отличается от употребления их

А ⇒ В = Ā ∨ В

Доказательство

И

И

И

Л

И

Л

Л

Л

Л

И

Л

И

И

И

Л

И

И

И

Л

И

А ⇒ В – данная импликация

В ⇒ А

- импликация обратная данной

-

А ⇒ В: «Если сумма цифр числа 126 кратна 3, то

А ⇒ В = Ā ∨ В

Отрицание импликации

Импликацией предикатов А(х) и В(х), заданных на множестве Х, называется предикат

Примеры: 1) А(х): «Число х кратно 3» и В(х): «Число х

2) А(х): «Число х - однозначное», В(х): «Число х – двузначное»,

2) А(х): «Число х кратно 4», В(х): «Число х кратно 2»,

Отношение следования

А(х), В(х), х ∈ Х

А(х) ⇒ В(х) истинна при всех

Пример: А(х)⇒В(х): «Если число х кратно 4, то оно кратно 2».

Эквиваленция

Составное высказывание, которое образовано из двух элементарных высказываний с помощью

Эквиваленцией высказываний А и В называется высказывание А ⇔ В, которое

А⇒В ∧ В⇒А = А⇔В

Доказательство

И

Л

И

И

И

Л

Л

И

Л

И

Л

И

Л

И

И

И

И

Л

И

И

Л

И

Л

Л

Эквиваленцией предикатов А(х) и В(х), заданных на множестве Х, называется предикат

Если предикаты А(х) и В(х) равносильны на множестве Х, то эквиваленция

Пример: А(х) «Число х делится на 10»,
В(х): «Запись числа х заканчивается

Пример: «Для того чтобы число делилось на 10, необходимо и достаточно,

Замечание. Из равносильности предикатов А(х) и В(х) на некотором множестве Х

на множестве параллелограммов:
А(х)⇔В(х): «Для того чтобы стороны параллелограмма были равны, необходимо

на множестве четырехугольников:
А(х)⇔В(х): «Для того чтобы стороны четырехугольника были равны, необходимо