Пределы и непрерывность

Август 23, 2022

Главная
Математика
Пределы и непрерывность

Содержание

2. 6.1. ПРЕДЕЛ ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Если каждому натуральному числу n по некоторому закону поставлено в соответствие определенное
3. Числа a1,a2…an называются членами последовательности, а число an называется общим членом или n-ым членом данной последовательности.
4. Изобразим члены последовательности (2) точками на числовой оси. Можно заметить, что члены последовательности с ростом n
5. Последовательность {an} называется ограниченной сверху (снизу), если существует такое число М (m), что любой элемент этой
6. Последовательность {an} называется ограниченной, если она ограничена сверху и снизу:
7. Последовательность (1) ограничена снизу, но не сверху. Последовательность (2) ограничена, т.к. все ее элементы находятся внутри
8. Число А называется пределом числовой последовательности {an}, если для любого, сколь угодно малого числа ε>0, найдется
9. Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся. В противном случае последовательность расходящаяся. Смысл определения предела числовой последовательности: Для
10. ПРИМЕР. Дана последовательность Показать, что предел этой последовательности равен 1. 3
11. РЕШЕНИЕ: Пусть ε=0.1 Тогда неравенство примет вид:
12. Если ε=0.01, то неравенство выполняется при Для любого ε >0, неравенство выполняется при Т.е. для любого
13. Рассмотрим геометрический смысл предела числовой последовательности. Для этого изобразим члены последовательности (3) точками на числовой оси.
14. Неравенство равносильно двойному неравенству которое соответствует попаданию членов последовательности в ε – окрестность точки А.
16. Скачать презентацию

Слайд 2

6.1. ПРЕДЕЛ ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Если каждому натуральному числу n по
некоторому закону

поставлено в соответствие
определенное число an , то говорят, что
задана числовая последовательность

Слайд 3

Числа a1,a2…an называются членами последовательности, а число an называется общим членом

или n-ым членом данной последовательности.

Например:

1

2

Слайд 4

Изобразим члены последовательности (2) точками на числовой оси.
Можно заметить, что члены

последовательности с ростом n сколь угодно близко приближаются к нулю.

Слайд 5

Последовательность {an} называется
ограниченной сверху (снизу), если существует
такое число М

(m), что любой элемент этой
последовательности удовлетворяет
неравенству:

Слайд 6

Последовательность {an} называется
ограниченной, если она ограничена
сверху и снизу:

Слайд 7

Последовательность (1) ограничена снизу, но не сверху.
Последовательность (2) ограничена, т.к. все

ее элементы находятся внутри промежутка [0,1].

Если выполняется условие

то последовательность называется возрастающей.

Если выполняется условие

то последовательность называется убывающей.

Последовательность (1) возрастающая.
Последовательность (2) убывающая.

Слайд 8

Число А называется пределом числовой
последовательности {an}, если для любого,
сколь угодно

малого числа ε>0, найдется такой
номер N, что при всех n>N, выполняется
неравенство:

Слайд 9

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся.
В противном случае последовательность расходящаяся.
Смысл определения предела

числовой
последовательности:
Для достаточно больших номеров n члены
последовательности очень мало отличаются от
числа А (меньше, чем на число , ε , каким бы
малым оно не было).

Слайд 10

ПРИМЕР.
Дана последовательность
Показать, что предел этой последовательности
равен 1.
3

Слайд 11

РЕШЕНИЕ:
Пусть ε=0.1
Тогда неравенство
примет вид:

Слайд 12

Если ε=0.01, то неравенство выполняется при
Для любого ε >0, неравенство

выполняется при

Т.е. для любого ε >0 существует номер

Что для всех n>N, выполняется неравенство:

Слайд 13

Рассмотрим геометрический смысл предела числовой последовательности. Для этого изобразим члены последовательности

(3) точками на числовой оси.

Слайд 14

Неравенство
равносильно двойному неравенству
которое соответствует попаданию членов последовательности в ε

– окрестность точки А.