Матрицы и определители

Июль 31, 2022

Главная
Математика
Матрицы и определители

Содержание

2. 1. Понятие матрицы Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк одинаковой длинны (или n столбцов
3. Матрицу А называют матрицей размера m×n и пишут Am×n. Числа aij, составляющие матрицу, называются её элементами.
4. Матрица, содержащая один столбец или одну строку, называется вектором (или вектор-столбец, или вектор-строка, соответственно). Матрица, полученная
5. 2. Операции над матрицами Суммой (разностью) двух матриц Аm×n и Вm×n называется матрица Сm×n такая, что
6. Получение элемента сij схематично изображается так: Справедливо: A∙E=E∙A=A, где А – квадратная матрица, Е – единичная
7. Операции сложения матриц и умножения матрицы на число обладают следующими свойствами: 1. A+B=B+A; 2. A+(B+C)=(A+B)+C; 3.
8. 3. Определители второго и третьего порядков, их свойства Определителем (детерминантом) матрицы А называют число, которое ставится
9. Определитель матрицы третьего порядка При вычислении определителя 3-го порядка удобно пользоваться правилом треугольников (или Саррюса) +
10. Алгебраическим дополнением Аij элемента aij называется минор этого элемента, умноженный на (–1)i+j Ai j = (–1)i+
11. 4. Понятие определителя n-го порядка Определителем n-го порядка квадратной матрицы А называется алгебраическая сумма n!-слагаемых (n!
12. 5. Ранг матрицы Рангом матрицы rА называется наибольший из порядков ее миноров, отличных от нуля. Если
13. 6. Обратная матрица Матрица называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля. Матрица А-1 называется обратной
15. Скачать презентацию

Слайд 2

1. Понятие матрицы
Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк одинаковой

длинны (или n столбцов одинаковой длинны). Матрица записывается в виде
или, сокращённо, , где - номер строки, - номер столбца.

Слайд 3

Матрицу А называют матрицей размера m×n и пишут Am×n. Числа aij,

составляющие матрицу, называются её элементами.
Матрицы равны между собой, если равны все соответствующие элементы этих матриц, т. е. A=B, если aij= bij.
Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, называется единичной.

Слайд 4

Матрица, содержащая один столбец или одну строку, называется вектором (или вектор-столбец,

или вектор-строка, соответственно).

Матрица, полученная из данной заменой каждой её строки столбцом с тем же номером, называется матрицей транспонированной к данной. Обозначается АТ.

Так, если , то .

Слайд 5

2. Операции над матрицами
Суммой (разностью) двух матриц Аm×n и Вm×n называется

матрица Сm×n такая, что сij = аij + bij (сij = аij – bij ), (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n). Сумма ( разность) матриц А и В обозначается А + В ( А – В).

Произведением матрицы Аm×n на число α называется матрица Вm×n такая, что bij = αaij и обозначается αА.
Матрица –А называется противоположной А.

Произведением матрицы Аm×n на матрицу Вn×k называется матрица Сm×k такая, что

Слайд 6

Получение элемента сij схематично изображается так:
Справедливо: A∙E=E∙A=A, где А – квадратная

матрица, Е – единичная матрица того же размера.

Слайд 7

Операции сложения матриц и умножения матрицы на число обладают следующими свойствами:
1.

A+B=B+A;
2. A+(B+C)=(A+B)+C;
3. A+O=A;
4. A-A=O;
5. 1∙A=A;
6. α∙(A+B)=αA+αB;
7. (α+β)∙A=αA+βA;
8. α∙(βA)=(αβ)∙A,
где А, В, С – матрицы, α и β – числа.

Слайд 8

3. Определители второго и третьего порядков, их свойства
Определителем (детерминантом) матрицы А

называют число, которое ставится в соответствие данной матрице и обозначается

Определитель матрицы второго порядка

Слайд 9

Определитель матрицы третьего порядка

При вычислении определителя 3-го порядка

удобно пользоваться правилом треугольников (или Саррюса)

+ –

Слайд 10

Алгебраическим дополнением Аij элемента aij называется минор этого элемента, умноженный на

(–1)i+j

Ai j = (–1)i+ j Mi j.

Т. Сумма произведений элементов какой-нибудь строки (столбца) на их алгебраические дополнения равна определителю матрицы.

Минором элемента аij определителя n-го порядка называется определитель n-1-го порядка, полученный из исходного путём вычёркивания строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент.

Слайд 11

4. Понятие определителя n-го порядка
Определителем n-го порядка квадратной матрицы А называется

алгебраическая сумма n!-слагаемых (n! = 1 ∙2∙…·n) вида, состоящих из n сомножителей, взятых по одному из каждой строки и из каждого столбца. При этом слагаемые, у которых вторые индексы сомножителей образуют четную перестановку, берутся со знаком «+», нечетную перестановку – со знаком «–».

Слайд 12

5. Ранг матрицы
Рангом матрицы rА называется наибольший из порядков ее миноров,

отличных от нуля.
Если все миноры матрицы равны нулю, то ранг матрицы считается равным нулю.
Если ранг квадратной матрицы А порядка n равен r, то n – r называют дефектом матрицы А. Если А – невырожденная (det A ≠ 0), то r = n и дефект матрицы А равен нулю.

Слайд 13

6. Обратная матрица
Матрица называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля.
Матрица

А-1 называется обратной квадратной матрице А, если АА-1= = А-1А = Е.
Теорема. Для того, чтобы обратная матрица к А, существовала, необходимо и достаточно, чтобы А была невырожденной.
Теорема. Для невырожденной матрицы существует единственная обратная матрица.

Матрицы и определители

Содержание

1. Понятие матрицыМатрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк одинаковой

Матрицу А называют матрицей размера m×n и пишут Am×n. Числа aij,

Матрица, содержащая один столбец или одну строку, называется вектором (или вектор-столбец,

2. Операции над матрицами Суммой (разностью) двух матриц Аm×n и Вm×n называется

Получение элемента сij схематично изображается так:Справедливо: A∙E=E∙A=A, где А – квадратная

Операции сложения матриц и умножения матрицы на число обладают следующими свойствами:1.

3. Определители второго и третьего порядков, их свойстваОпределителем (детерминантом) матрицы А

Определитель матрицы третьего порядка При вычислении определителя 3-го порядка