Метод координат

называют осью абсцисс, а вертикальную ось называют осью ординат. Точку пересечения осей называют началом координат. Ось абсцисс и ось ординат образуют вместе прямоугольную систему координат.

Абсцисса всегда пишется на первом месте, а ордината на втором.

М

(-4; -2)

Отметим на координатной плоскости точку М. Проведем из этой точки перпендикуляры к осям координат.

Координаты точки записываются в скобках.

Обобщим координатную систему на случай трехмерного пространства. Для этого…

начала координат перпендикулярно плоскости Оху

Ось аппликат

Выберем некоторую точку М

М

Проведем из точки М перпендикуляры:

спроектируем точку М на плоскость Оху

и проведем перпендикуляры к осям (параллельно осям координат)

M’

ум

хм

zм

Всегда записываются на первом месте абсцисса, на втором – ордината , на третьем – аппликата

М(х, у, z)

координатной плоскости.

Замечание: если две координаты точки равны 0, то точка лежит на координатной прямой

Попробуйте сами изобразить точки по заданным координатам: А(2; 4; 5), В(-1; 6; 3), С(3; -3; 4), D(5; 3; 0), Е(4; 0; 9), К(0; 8; 0)

Задание для практической работы

у

х

z

А

Если точка имеет отрицательную координату, ось нужно продолжить за начало координат в противоположную сторону

В

С

D

Е

К

За единичный отрезок можно выбрать одну клетку

(в направлении оси) отложим вектор единичной длины – единичный вектор

векторов равны суммам координат слагаемых

Координаты разности векторов равны разностям координат векторов

Координаты произведения вектора на число равны произведениям координат заданного вектора на это число

Действия с векторами, записанными в координатной форме выполняются покоординатно

A

B

C

xa=xp ya=yp za=zp

xAB + xBC = xAC
xAB = xAC – xBC yAB + yBC = yAC
yAB = yAC – yBC
zAB + zBC = zAC
zAB = zAC – zBC

k{x, y, z} = {kx, ky, kz}

векторов есть число, найденное по правилу

Если векторы заданы в координатной форме, их можно записать каждый в виде и

Воспользуемся свойствами выполнения скалярного произведения (аналогичными умножению многочлена на многочлен), получим сумму девяти скалярных произведений координатных орт-векторов:

из них произведения ортогональных векторов равны нулю

остаются скалярные квадраты единичных векторов

Получаем формулу скалярного произведения векторов, записанных своими координатами

концов

М

О

хм

ум

zм

Точка М (х, у, z)

Радиус-вектор ОМ

А

В

О

проведем радиус-векторы в точки А и В

Получили {xAB, yAB, zAB} = {xB-xA, yB-yA, zB-zA}

концами

A

B

(xA, yA, zA)

(xB, yB, zB)

M

Пусть в системе координат задан отрезок АВ координатами своих концов

Выразим координаты середины М отрезка АВ через заданные координаты точек А и В

Проведем радиус-векторы в точки А, В, М.

О

по правилу действий над векторами

{xM, yM, zM} = ½ ({xA, yA, zA} + {xB, yB, zB})

xM = ½ (xA + xB)
yM = ½ (yA + yB)
zM = ½ (zA + zB)

Следует запомнить: если точка М – середина отрезка АВ, её координаты находятся по правилу:

(xB, yB, zB)

конец вектора проведем прямые, параллельные осям координат

Получился прямоугольный параллелепипед, ребра которого численно равны координатам заданного вектора

По свойству диагонали прямоугольного параллелепипеда получаем

х

у

z

yA, zA)

(xB, yB, zB)

Пусть точки А и В заданы в системе координат

их координаты соответственно
А (xA, yA, zA), B (xB, yB, zB)

и воспользуемся формулой длины вектора

получим формулу для расстояния между точками, координаты которых известны

заданными своими направляющими векторами

Пусть даны две прямые в пространстве

а

с

На каждой из прямых выберем какой-нибудь вектор и зададим его в координатной форме

{xp, yp, zp}

{xq, yq, zq}

Угол между прямыми а и с либо равен углу между их направляющими векторами, либо дополняет его до 1800. Найдем cos угла между векторами

Запишем скалярное произведение векторов и их длин в координатной форме:

Получаем формулу угла между прямыми, заданными своими направляющими векторами