Методы интегрирования

Сентябрь 12, 2022

Главная
Математика
Методы интегрирования

Содержание

2. Метод замены переменной Сущность интегрирования методом замены переменной (способом подстановки) заключается в преобразовании интеграла в интеграл
3. Метод замены переменной Найдите следующие интегралы: Решение: Введём подстановку . Дифференцируя, имеем , откуда Подставив в
4. Метод замены переменной Найдите следующие интегралы: Решение: Введём подстановку . Дифференцируя, имеем , откуда . Таким
5. Метод замены переменной Найдите следующие интегралы: Решение: Введём подстановку . Дифференцируя, имеем , откуда . Таким
6. Интегрирование по частям Интегрируя обе части равенства , получим откуда (1) С помощью этой формулы вычисление
7. Интегрирование по частям Найдите следующие интегралы: Решение: Пусть тогда т.е. Используя формулу (1), получим: Решение: Пусть
8. Интегрирование по частям Задачи для самостоятельной работы:
9. Приложения определенного интеграла Определенный интеграл
10. Определенный интеграл В декартовой прямоугольной системе координат XOY фигура, ограниченная осью OX, прямыми x=a, x=b (a
11. Определенный интеграл Вычислим площадь криволинейной трапеции. Разобьем отрезок [a;b] на n равных частей. Проведем через полученные
12. Связь между определенным интегралом и первообразной (Формула Ньютона - Лейбница) Для непрерывной функции где F(x) –
13. Основные свойства определенного интеграла
14. Основные свойства определенного интеграла
15. Геометрический смысл определенного интеграла Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной положительной на промежутке [a;b] функции f(x),
16. Геометрический смысл определенного интеграла Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной отрицательной на промежутке [a;b] функции f(x),
17. Геометрический смысл определенного интеграла Замечание: Если функция изменяет знак на промежутке [a;b] , то
18. Физический смысл определенного интеграла При прямолинейном движении перемещение s численно равно площади криволинейной трапеции под графиком
19. Пример Вычислить определённый интеграл: = Решение: -2 1
20. с помощью определенного интеграла Вычисление площадей и объемов
21. Площадь фигуры, Ограниченной графиками непрерывных функций y=f(x) и y=g(x) таких, что для любого x из [a;b],
23. Скачать презентацию

Слайд 2

Метод замены переменной
Сущность интегрирования методом замены переменной (способом подстановки) заключается в

преобразовании интеграла в интеграл , который легко вычисляется по какой-либо из основных формул интегрирования.
Для нахождения интеграла заменяем переменную x новой переменной u с помощью подстановки . Дифференцируя это равенство, получим . Подставляя в подынтегральное выражение вместо x и dx их значения, выраженные через u и du, имеем
После того как интеграл относительно новой переменной u будет найден, с помощью подстановки он приводится к переменной x.

Слайд 3

Метод замены переменной
Найдите следующие интегралы:
Решение:
Введём подстановку . Дифференцируя, имеем , откуда

Подставив в данный интеграл вместо и их выражения, получим:
Заменив u его выражением через x, находим:

Слайд 4

Метод замены переменной
Найдите следующие интегралы:
Решение:
Введём подстановку . Дифференцируя, имеем ,
откуда

. Таким образом,
Решение:
Введём подстановку . Дифференцируя, имеем ,
откуда . Таким образом,

Слайд 5

Метод замены переменной
Найдите следующие интегралы:
Решение:
Введём подстановку . Дифференцируя, имеем ,
откуда

. Таким образом,
Задачи для самостоятельной работы:

Слайд 6

Интегрирование по частям
Интегрируя обе части равенства , получим
откуда
(1)
С помощью этой

формулы вычисление интеграла сводится к вычислению интеграла , если последний окажется проще исходного.

Слайд 7

Интегрирование по частям
Найдите следующие интегралы:
Решение:
Пусть тогда т.е. Используя формулу (1), получим:
Решение:
Пусть

тогда
Используя формулу (1), получим:

Слайд 8

Интегрирование по частям
Задачи для самостоятельной работы:

Слайд 9

Приложения определенного интеграла
Определенный интеграл

Слайд 10

Определенный интеграл
В декартовой прямоугольной системе координат XOY фигура, ограниченная осью OX,

прямыми x=a, x=b (a

Слайд 11

Определенный интеграл
Вычислим площадь криволинейной трапеции. Разобьем отрезок [a;b] на n равных

частей. Проведем через полученные точки прямые, параллельные оси OY. Заданная криволинейная трапеция разобьется на n частей. Площадь всей трапеции приближенно равна сумме площадей столбиков.
по определению , его называют
определенным интегралом от функции
y=f(x) по отрезку [a;b] и обозначают так:

Слайд 12

Связь между определенным интегралом и первообразной (Формула Ньютона - Лейбница)
Для непрерывной функции
где

F(x) – первообразная функции f(x).

Слайд 13

Основные свойства определенного интеграла

Слайд 14

Основные свойства определенного интеграла

Слайд 15

Геометрический смысл определенного интеграла
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной положительной на промежутке

[a;b] функции f(x), осью x и прямыми x=a и x=b:

Слайд 16

Геометрический смысл определенного интеграла
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной отрицательной на промежутке

[a;b] функции f(x), осью x и прямыми x=a и x=b:

Слайд 17

Геометрический смысл определенного интеграла
Замечание: Если функция изменяет знак на промежутке [a;b] ,

то

Слайд 18

Физический смысл определенного интеграла
При прямолинейном движении перемещение s численно равно площади криволинейной

трапеции под графиком зависимости скорости v от времени t:

Слайд 19

Пример
Вычислить определённый интеграл:
=
Решение:
-2
1

Слайд 20

с помощью определенного интеграла
Вычисление площадей и объемов

Слайд 21

Площадь фигуры,
Ограниченной графиками непрерывных функций y=f(x) и y=g(x) таких, что
для любого

x из [a;b], где a и b – абсциссы точек пересечения графиков функций:

Методы интегрирования

Содержание

Метод замены переменнойСущность интегрирования методом замены переменной (способом подстановки) заключается в

Метод замены переменнойНайдите следующие интегралы:Решение:Введём подстановку . Дифференцируя, имеем , откуда

Метод замены переменнойНайдите следующие интегралы:Решение:Введём подстановку . Дифференцируя, имеем , откуда

Метод замены переменнойНайдите следующие интегралы:Решение:Введём подстановку . Дифференцируя, имеем , откуда

Интегрирование по частямИнтегрируя обе части равенства , получимоткуда (1)С помощью этой

Интегрирование по частямНайдите следующие интегралы:Решение:Пусть тогда т.е. Используя формулу (1), получим:Решение:Пусть

Интегрирование по частямЗадачи для самостоятельной работы:

Приложения определенного интегралаОпределенный интеграл

Определенный интегралВ декартовой прямоугольной системе координат XOY фигура, ограниченная осью OX,

Определенный интегралВычислим площадь криволинейной трапеции. Разобьем отрезок [a;b] на n равных

Связь между определенным интегралом и первообразной (Формула Ньютона - Лейбница)Для непрерывной функциигде

Основные свойства определенного интеграла

Основные свойства определенного интеграла

Геометрический смысл определенного интегралаПлощадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной положительной на промежутке

Геометрический смысл определенного интегралаПлощадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной отрицательной на промежутке

Геометрический смысл определенного интегралаЗамечание: Если функция изменяет знак на промежутке [a;b] ,

Физический смысл определенного интегралаПри прямолинейном движении перемещение s численно равно площади криволинейной

Пример Вычислить определённый интеграл:=Решение: -21

с помощью определенного интегралаВычисление площадей и объемов

Площадь фигуры,Ограниченной графиками непрерывных функций y=f(x) и y=g(x) таких, что для любого

Похожие презентации

Метод замены переменной
Сущность интегрирования методом замены переменной (способом подстановки) заключается в

Метод замены переменной
Найдите следующие интегралы:
Решение:
Введём подстановку . Дифференцируя, имеем , откуда

Метод замены переменной
Найдите следующие интегралы:
Решение:
Введём подстановку . Дифференцируя, имеем ,
откуда

Метод замены переменной
Найдите следующие интегралы:
Решение:
Введём подстановку . Дифференцируя, имеем ,
откуда

Интегрирование по частям
Интегрируя обе части равенства , получим
откуда
(1)
С помощью этой

Интегрирование по частям
Найдите следующие интегралы:
Решение:
Пусть тогда т.е. Используя формулу (1), получим:
Решение:
Пусть

Интегрирование по частям
Задачи для самостоятельной работы:

Приложения определенного интеграла
Определенный интеграл

Определенный интеграл
В декартовой прямоугольной системе координат XOY фигура, ограниченная осью OX,

Определенный интеграл
Вычислим площадь криволинейной трапеции. Разобьем отрезок [a;b] на n равных

Связь между определенным интегралом и первообразной (Формула Ньютона - Лейбница)
Для непрерывной функции
где

Геометрический смысл определенного интеграла
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной положительной на промежутке

Геометрический смысл определенного интеграла
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной отрицательной на промежутке

Геометрический смысл определенного интеграла
Замечание: Если функция изменяет знак на промежутке [a;b] ,

Физический смысл определенного интеграла
При прямолинейном движении перемещение s численно равно площади криволинейной

Пример
Вычислить определённый интеграл:
=
Решение:
-2
1

с помощью определенного интеграла
Вычисление площадей и объемов

Площадь фигуры,
Ограниченной графиками непрерывных функций y=f(x) и y=g(x) таких, что
для любого