Методы решения нелинейных уравнений. Тема 7

Август 5, 2022

Главная
Математика
Методы решения нелинейных уравнений. Тема 7

Содержание

2. Решение нелинейных уравнений Математической моделью многих процессов является функциональная зависимость y = f(x). Одной из задач
3. Методы решения делятся на прямые и числен-ные (итерационные). Прямой метод – существует формула для определения значения
4. Решение уравнения f(x) = 0 осуществляется в два этапа: 1) приближенное определение местоположе-ния и вид интересующего
5. Первая задача может быть решена: 1) на заданном отрезке [a, b] вычисляется таблица значений функции с
6. Виды корней: а) х*1 – кратный корень; б) х*2 – простой корень; в) х*3 – вырожденный
7. Для кратного корня (а) : Для простого корня (б) : Для вырожденного корня (в) : не
8. Как видно из рисунка 2.1, в случаях a) и в) значение корня совпадает с точкой экстремума
9. Метод простой итерации Уравнение f(x) = 0 (1) записывают в разрешен-ном относительно x виде: x =
10. Исходя из (2) члены рекуррентной последо-вательности вычисляются по формуле xk = ϕ (xk − 1) ,
11. Геометрическая иллюстрация сходимости и расходимости метода простой итерации предста-влена на рисунке, из которого видно, что метод
12. Условия сходимости метода простой итера-ции: 1) ϕ (x) − дифференцируема; 2) выполняется неравенство | ϕ'(ξ) |
13. x0 – начальное приближение, е – точность, k – число итераций, x1 – очередное приближение, fi
14. Метод Ньютона Этот метод − модификация метода простой итерации. Если f(x) имеет непрерывную произво-дную и f(x)
15. Метод одношаговый (m = 1), т.к. для начала вычислений требуется задать одно начальное приближение x0 из
17. Метод секущих Это модификация метода Ньютона, позволяю-щая избавиться от вычисления производной пу-тем ее замены приближенной формулой,
18. Метод одношаговый (m = 1) и его условие сходимости при правильном выборе h такое же, как
19. Метод Вегстейна Этот метод – модификация метода секущих. В нем при расчете приближенного значения произ-водной используется
20. Метод двухшаговый (m = 2), т. к. для начала вычислений требуется задать 2 начальных при-ближения. Обычно
21. Иллюстрация метода Вегстейна
22. Метод деления отрезка пополам Его алгоритм основан на построении рекур-рентной последовательности по следующему правилу: 1) в
23. Алгоритм поиска всех простых корней 1. Начало цикла для x, изменяющегося от a до b с
24. Алгоритм поиска особых корней 1. Начало цикла для x, изменяющегося от a до b с шагом
25. Рассмотрим часть кода для поиска всех про-стых корней на отрезке [a, b]: . . . for
26. В предложенном коде объявляются: 1) тип указателя на функцию type_f, исполь-зующийся в функции Metod в качестве
27. Метод деления отрезка пополам Прототип функции имеет следующий вид: double Metod (type_f, double, double, double); первый
29. Скачать презентацию

Слайд 2

Решение нелинейных уравнений
Математической моделью многих процессов является функциональная зависимость y =

f(x).
Одной из задач исследования таких зависи-мостей является нахождение значений x, при которых функция f (x) обращается в ноль, т.е. за-дача решения уравнения:
f(x) = 0. (1)
Точное решение данного уравнения будем обозначать x, а приближенное x*.

Слайд 3

Методы решения делятся на прямые и числен-ные (итерационные).
Прямой метод – существует

формула для определения значения x, например, нахождение корней квадратного или кубического уравнения.
Точное решение удается получить только в исключительных случаях, и обычно для нахожде-ния корней уравнения применяются численные методы.

Слайд 4

Решение уравнения f(x) = 0 осуществляется в два этапа:
1) приближенное определение

местоположе-ния и вид интересующего нас корня – этап отделения корней (нахождение грубых корней);
2) вычисление выбранного корня с заданной точностью (погрешностью) ε.

Слайд 5

Первая задача может быть решена:
1) на заданном отрезке [a, b] вычисляется

таблица значений функции с некоторым шагом h и определяются интервалы (αi , βi) длиной h, на которых функция меняет знак (график функции пересекает ось Х), т.е. где находятся корни;
2) графическим методом: по построенной в п.1 таблице строится график и аналогично определя-ются интервалы, на которых находятся корни.

Слайд 6

Виды корней:
а) х1 – кратный корень;
б) х2 – простой корень;

в) х*3 – вырожденный корень.

Слайд 7

Для кратного корня (а) :
Для простого корня (б) :
Для

вырожденного корня (в) :

не существует,

Слайд 8

Как видно из рисунка 2.1, в случаях a) и в) значение

корня совпадает с точкой экстремума функции и для нахождения таких корней, назовем их особыми, рекомендуется исполь-зовать методы поиска минимума (максимума) функции.
Вычисление значения простого корня с заданной точностью осуществляется одним из итерационных методов.
Рассмотрим некоторые из них.

Слайд 9

Метод простой итерации
Уравнение f(x) = 0 (1) записывают в разрешен-ном

относительно x виде:
x = ϕ (x) . (2)
Переход от (1) к эквивалентной записи (2) мо-жно сделать многими способами, например,
ϕ (x) = x + ψ (x) ⋅ f (x) , (3)
где ψ(x) − произвольная, непрерывная, знако-постоянная функция (часто достаточно выбрать ψ = const из диапазона ±0.1 − 0.9).
В этом случае корни уравнения (2) являются также корнями (1), и наоборот.

Слайд 10

Исходя из (2) члены рекуррентной последо-вательности вычисляются по формуле
xk = ϕ

(xk − 1) , k = 1, 2, … (4)
Вычисления xk продолжаем до тех пор, пока
| xk − xk − 1 | > ε;
где ε − заданная точность решения.
Метод одношаговый, т.к. последователь-ность x0, x1, …, xk−1 имеет первый порядок (m=1) и для начала вычислений достаточно знать одно начальное приближение: x0 = α, или x0 = β, или x0 = (α + β) / 2.

Слайд 11

Геометрическая иллюстрация сходимости и расходимости метода простой итерации предста-влена на рисунке,

из которого видно, что метод не всегда сходится к точному решению.

Слайд 12

Условия сходимости метода простой итера-ции:
1) ϕ (x) − дифференцируема;
2) выполняется

неравенство
| ϕ'(ξ) | < 1,
для любого ξ ∈ (α, β); x* ∈ (α, β). (5)
Максимальный интервал (α, β), для которого выполняется (5), называется областью сходимо-сти.
При выполнении условия (5) метод сходится, если начальное приближение x0 выбрано из обла-сти сходимости.

Слайд 13

x0 – начальное приближение, е – точность, k – число итераций,

x1 – очередное приближение, fi − правая часть (4), т.е. вычислительная формула.
Число итераций рекомендуется ограничить.

Схема алгоритма метода простой итерации:

Слайд 14

Метод Ньютона
Этот метод − модификация метода простой итерации. Если f(x) имеет

непрерывную произво-дную и f(x) − дважды непрерывно дифференци-руемая функция, то, выбрав
ψ (x) = 1 / f '(x) ,
получаем эквивалентное уравнение
x = x − f(x) / f '(x) = ϕ(x) .
Расчетная формула метода Ньютона

(6)

Слайд 15

Метод одношаговый (m = 1), т.к. для начала вычислений требуется задать

одно начальное приближение x0 из области сходимости x0 = α при f (α) f "(α) > 0, или x0 = β при f (β) f "(β) > 0.
Метод Ньютона получил название «метод касательных» благодаря геометрической иллю-страции его сходимости (рис. 2.4).
Основной его недостаток − малая область сходимости и необходимость вычисления про-изводной f '(x).

Слайд 16

Слайд 17

Метод секущих
Это модификация метода Ньютона, позволяю-щая избавиться от вычисления производной пу-тем

ее замены приближенной формулой, т.е. вместо касательной проводится секущая.
Тогда вместо (6) получаем

(7)

Здесь h − некоторый малый параметр метода, который подбирается из условия наиболее точного вычисления производной.

Слайд 18

Метод одношаговый (m = 1) и его условие сходимости при правильном

выборе h такое же, как у метода Ньютона.
Начальное приближение выбирается сле-дующим образом:
если f (a) f "(х) < 0, то x0 = а;
если же f(b) f "(x) < 0, то x0 = b;
где значение x принадлежит интервалу с корнем.

Слайд 19

Метод Вегстейна
Этот метод – модификация метода секущих. В нем при расчете

приближенного значения произ-водной используется вместо точки xk−1 – h в (7) точка xk−2 , полученная на предыдущей итерации (рис. 2.7).
Расчетная формула метода Вегстейна:

Слайд 20

Метод двухшаговый (m = 2), т. к. для начала вычислений требуется

задать 2 начальных при-ближения.
Обычно выбирают: x0 = α, x1 = β.
Метод Вегстейна сходится медленнее ме-тода секущих, однако, требует в 2 раза меньше вычислений f (x) и за счет этого оказывается бо-лее эффективным.

Слайд 21

Иллюстрация метода Вегстейна

Слайд 22

Метод деления отрезка пополам
Его алгоритм основан на построении рекур-рентной последовательности

по следующему правилу:
1) в качестве начального приближения выби-раются границы интервала, на котором точно находится один простой корень x0 = a, x1 = b;
2) находится его середина x2 = (x0 + x1) / 2;
3) очередная точка x3 выбирается как середина интервала [x0, x2] или [x2, x1], на котором находится корень.

Слайд 23

Алгоритм поиска всех простых корней
1. Начало цикла для x, изменяющегося от

a до b с шагом h (h > ε, например h = ε * 10).
2. Если условие f (x) ⋅ f (x + h) < 0 выполня-ется, то на отрезке [x, x + h] существует простой корень уравнения f (x).
3. Вызываем созданную функцию, реализу-ющую выбранный алгоритм, с параметрами: отре-зок [x, x + h], на котором существует корень, вид функции f (x) и заданная точность ε.
4. Выводим на экран полученное значение.
5. Конец цикла.

Слайд 24

Алгоритм поиска особых корней
1. Начало цикла для x, изменяющегося от a

до b с шагом h (h ≤ ε).
2. Если f (x) < ε, то xn = x – начало отрезка, на котором вероятно существует особый корень ура-внения f (x), продолжаем цикл (continue;).
3. Если f (x) > ε, то xk = x – конец искомого отрезка. Выводим на экран полученный интервал [xn, xk] и либо продолжаем поиск другого корня, либо выходим из цикла (break;).
5. Конец цикла.

Слайд 25

Рассмотрим часть кода для поиска всех про-стых корней на отрезке [a,

b]:
. . .
for ( x = a; x <= b; x += h)
if ( fun (x) * fun (x + h) < 0) {
nom++;
y = Metod ( fun, x, x + h, eps );
// Вывод номера nom и приближенного корня y
cout << " Root " << nom
<< " = " << y << endl;
}
if (nom == 0)
// Вывод сообщения, что корней нет

Слайд 26

В предложенном коде объявляются:
1) тип указателя на функцию type_f, исполь-зующийся в

функции Metod в качестве первого параметра:
typedef double ( *type_f ) ( double );
2) прототипы функций пользователя:
double fun (double);
double Metod ( type_f, double, double, double);
. . .
Определение заданной функции f (x):
double fun (double x) {
return «Вид функции»; // 4*x - 7*sin(x);
}

Слайд 27

Метод деления отрезка пополам
Прототип функции имеет следующий вид:
double Metod (type_f, double,

double, double);
первый параметр type_f – объявленный ранее операцией typedef, тип указателя на функцию;
три double параметра используются для передачи значений начала и конца отрезка, на котором существует корень, и для заданной точности ε.

Методы решения нелинейных уравнений. Тема 7

Содержание

Решение нелинейных уравненийМатематической моделью многих процессов является функциональная зависимость y =

Методы решения делятся на прямые и числен-ные (итерационные).Прямой метод – существует

Решение уравнения f(x) = 0 осуществляется в два этапа: 1) приближенное определение

Первая задача может быть решена:1) на заданном отрезке [a, b] вычисляется

Виды корней: а) х*1 – кратный корень; б) х*2 – простой корень;

Для кратного корня (а) : Для простого корня (б) : Для

Как видно из рисунка 2.1, в случаях a) и в) значение

Метод простой итерации Уравнение f(x) = 0 (1) записывают в разрешен-ном

Исходя из (2) члены рекуррентной последо-вательности вычисляются по формулеxk = ϕ