Методы решения задач повышенной сложности по геометрии (ЕГЭ). Семинар с практической частью

Основные методы решения геометрических задач

Метод дополнительных построений
Метод геометрических преобразований
Метод подобия
Метод площадей
Метод

Основные факторы успеха

Время (чем больше времени на подготовку, тем лучше)
Система (работа

Причины ошибок в решении геометрических задач

Незнание и/или непонимание аксиом, определений, теорем,

Данные о выполнении заданий с развернутым ответом по геометрии в 2017

Что нужно знать
Аксиомы и теоремы стереометрии и планиметрии
Правила изображения (проектирования) пространственных

Что нужно уметь

Применять знания в процессе решения задачи:
Увидеть, что

Задача. (Задание 14 ЕГЭ 2017 основная волна)
Основанием прямой треугольной призмы ABCA1B1C1

Решение. Способ 1

а)

a = c ?

AA1=AC.

Способ 2

l||A1C
AB1 – наклонная к плоскости AA1C1, AB1 ⊥ l (по

OK⊥AB1
A1C⊥(AB1C1)⇒
OK⊥A1C.
ΔAKO~Δ AB1C1

б)

ρ(a,b)=ρ(A, α)

ρ(AB1,A1C)=ρ(AB1,A1CM)= ρ(A,A1CM).

б)

ax+by+cz+d=0, d=0. ax+by+cz=0

7x+4y-4z=0

Способ 2

Основные методы построения сечений многогранников

Аксиоматический
Метод следов
Метод вспомогательных сечений (метод внутреннего проектирования)
Комбинированный

Метод следов

Понятие следа
Линия пересечения плоскости сечения и плоскости грани многогранника называется

Задача. а) Постройте проекцию (след) прямой KM на плоскость нижнего основания

A1S - проекция KM на плоскость AA1D1D

KC1 - проекция KM на

Задача. ABCDEFA1B1С1D1E1F1 правильная шестиугольная призма. Постройте проекцию (след) плоскости сечения MNK

а)

б) AA1B1B

в) A1B1С1D1E1F1

Комбинированный метод

Сочетание применения теорем о параллельности прямых и плоскостей в

в) A1B1С1D1E1F1 (комбинированный метод)

RM||LN

г) DD1E1E (комбинированный метод)

д) CC1D1D

e) AA1F1F

Задача. Постройте проекцию (след) плоскости сечения MNK на плоскости: а) ABC;

а)

Для пирамиды при построении сечения выполняем центральное проектирование с центром в

б) ABS; в) ASD.

MKNRG – сечение пирамиды плоскостью MNK

Метод вспомогательных сечений (метод внутреннего проектирования)

Универсальный метод, основанный на построении вспомогательных

Задача. Построить сечение призмы плоскостью PQR

1. В грани ABB1A1 проведём отрезок PR. 2. Проведём вспомогательную плоскость BB1Q

Проведем вспомогательную плоскость ADD1.
FF1 – линия пересечения ADD1 и BB1Q.

Задача. Построить сечение пирамиды SABCD плоскостью MNK, если известно, что точки

Задача

а)

1. Построение сечения.
Шаг 1. Проведем LM || BD1.
(Вспомогательная плоскость BB1D1D).

LM

Шаг 2.

Шаг 3.

Проведем FK||C1M.
FK-линия пересечения
грани AA1D1D
и плоскости β.
KM – линия

KFC1M – искомое сечение.

2. Доказательство

B1L:LD1=3:1 (по теореме Фалеса)

D1F:B1C1=1:3,
B1C1=A1D1
D1F:FA1=1:2.

Проведем D1E||C1M.
A1F:FD1=A1K:KE=2:1.
A1E:EA=3:1.
Следовательно, A1K=KA.
β проходит через
середину ребра AA1.

б)

Сечение KFC1M – трапеция, AB=12 по условию.

KP=FH

Задача 7 (№14 вариант 28 «Легион» ЕГЭ 2018 )

В правильной четырехугольной пирамиде

Дано: SABCD – правильная пирамида, AS=12,
SO – высота, SO=4.
BE=CF=12, AK=3.
а) Докажите,

Решение.

Способ 1

⇔

Способ 2

ρ(A, α)= ρ

Задача. (Досрочный экзамен 2017 г.)

а) Шаг 1 O – середина BD1 MN||AC

BMD1N по условию –
ромб

Шаг 2

∆ABM=∆BNC
по катету и гипотенузе,
откуда AB=BC,
значит прямоугольник ABCD

б) C1K ⊥ BN,D1C1⊥BCC1 ⇒D1K⊥BN⇒ ∠ D1KC – искомый. Пусть ∠

Способ 2

Параллелограмм BNC1L – проекция ромба BMD1N на плоскость BCC1.

Способ 3

Задача

На диагонали AB1 грани
ABB1А1 треугольной
призмы взята точка M
так,

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2018 задание 16

Задача 1 (задание 16 ЕГЭ 2017) основная волна

В прямоугольной трапеции

Рассмотрим два случая:

1. ∠ MNK= 90°. MC=NC,
что невозможно (катет

Решение.

∠AKL= , ∠ MKN=
∠AKL= ∠ MKN.

а)

б)

∆AKL=∆MHN AL=HN

ΔALK~ΔLKM, LM=6LA

6AL2=6·9,

AL=3,

LM=18,

KN=KH+HM=
=LM+LA=18+3=21.

SLOK=SLKM-SLOM

ΔLOM~ΔKON

=

Задача (№16 вариант 15 «Легион» ЕГЭ 2018 )

Две окружности с центрами O1

Решение.

а)

б)

MC=5

Доказать, что прямая, проходящая через основания двух высот остроугольного треугольника, отсекает

Решение.

Дано: ∆ABC – остроугольный,
BH, CD – высоты.
Доказать:
∆ABC ~ ∆ADH.

Построим вспомогательную окружность, с центром в точке О (середина ВС), которая

∆ABC~∆ADH по двум углам.

Задача

В параллелограмме АВСD проведены высоты ВN и ВМ. Известно, что МN=15,

Решение.

Ответ. 8

Задача

В треугольнике АВС точка М – середина АС.
а) Докажите, что длина