Множества и операции над множествами

МНОЖЕСТВ

НАХОДИТЬ
ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОЖЕСТВ

ИЗОБРАЖАТЬ
С ПОМОЩЬЮ КРУГОВ
ЭЙЛЕРА

РЕШАТЬ ЗАДАЧИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ИМЕЮЩИХСЯ ЗНАНИЙ

Георг Кантор

(1845-1918) — немецкий математик, логик, теолог, создатель теории бесконечных множеств, оказавшей определяющее влияние на развитие математических наук на рубеже 19-20 вв.

понедельник, вторник, среда, четверг, пятница, суббота, воскресенье.
Множество месяцев – из элементов: январь, февраль, март, апрель, май, июнь, июль, август, сентябрь, октябрь, ноябрь, декабрь.

определяется через другие.

Объекты, из которых образованно множество, называются элементами.

Множества принято обозначать прописными буквами латинского алфавита: A, B, C, …, Z.

Элементы множества принято обозначать строчными буквами латинского алфавита: a, b, c, …, z.

Множество, не содержащее ни одного объекта, называется пустым и обозначается так: Ø

… X, Y, Z - множества

{ ; } – используется для перечисления элементов
| - заменяет словосочетание «…таких, что …»

- знак принадлежности, a А

- знак включённости, A B

«Множество – единое имя для совокупности всех
объектов, обладающих данным свойством»

10, 11…

Квадраты чисел

Цифры десятичной системы счисления

10, 12, 14, 16 … 96, 98

х <12}

Конечные множества

{1; 4; 9; 16; 25; …};
{10; 20; 30; 40; 50; …};

Бесконечные множества

И}

{К, И, Н, О}

– множество целых чисел;
Q – множество рациональных чисел;
I - множество иррациональных чисел;
R – множество действительных чисел.

множеству, и не обладает ни один элемент, который ему не принадлежит.
Например, множество А={1,3,5,7,9} можно задать через характеристическое свойство – множество однозначных, нечетных натуральных чисел.
Так множества обычно задают в том случае, когда множество содержит большое количество элементов или множество бесконечно.

… X, Y, Z - множества

- знак принадлежности, a А

- знак включённости, A B

{ ; } – используется для перечисления элементов
| - заменяет словосочетание «…таких, что …»

Леонард Эйлер
(1707 – 1783)

А

В

«Множество – единое имя для совокупности всех
объектов, обладающих данным свойством»

– элементы множества
A, B, … X, Y, Z - множества

- знак принадлежности, a А

- знак включённости, A B

{ ; } – используется для перечисления элементов
| - заменяет словосочетание «…таких, что …»

«Множество – единое имя для совокупности всех
объектов, обладающих данным свойством»

и

Пересечение множеств

Пересечением множеств А и В называют множество,
состоящее из всех общих
элементов множеств А и В

В ∩ С )

) U ( В ∩ С )

…, x, y, z – элементы множества
A, B, … X, Y, Z - множества

- знак принадлежности, a А

- знак включённости, A B

{ ; } – используется для перечисления элементов
| - заменяет словосочетание «…таких, что …»

и

«Множество – единое имя для совокупности всех
объектов, обладающих данным свойством»

Объединением множеств А и В называют множество,
состоящее из всех элементов,
которые принадлежат хотя бы
одному из этих множеств –
или множеству А или
множеству В

Объединение множеств

или

= А
Для любых множеств А, В и С справедливо равенство:

А ∪ В = В ∪ А

( А ∪ В ) ∪ С = А ∪ ( В ∪ С )

А ∩ (В ∪ С) = (А ∩ В) ∪ ( А ∩ С )

б)

А ∪ (В ∩ С) = (А ∪ В) ∩ ( А ∪ С )

только те элементы, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В.
А\В={х|х Є А и х ∉ В}
Дополнением множества В до множества А называется множество, содержащее те и только те элементы множества А, которые не принадлежат множеству В.
a
d

А

В

b
c

∪ (А \ С)
б) А \ (В ∪ С) = (А \ В) ∩ (А \ С) = (А \ В) \ С

и российский математик, внёсший значительный вклад в развитие математики, а также механики, физики, астрономии и ряда прикладных наук.

которых поёт или танцует. Известно, что поют 17 человек, а танцевать умеют 19 человек. Сколько человек поёт и танцует одновременно?

в нём по условию равно n = 17. Пусть В - множество учеников, умеющих танцевать. Количество элементов в нём - m = 18. Множество совпадает со всем классом, т.к. каждый ученик в классе поёт или танцует. - это множество тех учеников класса, которые поют и танцуют одновременно. Пусть их количество равно k.
Согласно формуле доказанной выше
n + m- k = 17+ 19- k = 30 k = 6.
Ответ: 6 учеников в классе поют и танцуют одновременно.

47 знают английский язык, 35 - немецкий язык, а 23 - оба языка. Сколько человек в фирме не знают ни английского, ни немецкого языков?

ИЗУЧАЮТ 25 УЧАЩИХСЯ, ФРАНЦУЗСКИЙ — 27 УЧАЩИХСЯ, А ДВА ЯЗЫКА — 18 УЧАЩИХСЯ. СКОЛЬКО УЧАЩИХСЯ В КЛАССЕ?

Ответ: в классе 34 ученика

Английский 25

Немецкий 27

Только английский
25 – 18 = 7

Только немецкий
27 – 18 = 9

7 + 9 + 18 = 34

18

7

9

них было по 3 элемента.

множество А ∩ В – 2 элемента. Сколько элементов в множестве А U В?

Объединение содержит 9 элементов

и то и другое вместе. 75 семей
выписывают газету, а 27 семей выписывают журнал и лишь 13 семей выписывают и журнал, и газету. Сколько семей живет в нашем доме?

Всего: 14 + 13 + 62 =89

или по бегу, или по прыжкам в высоту. Оба норматива выполнили 7 человек, а 11 учеников выполнили норматив по бегу, но не выполнили норматив по прыжкам в высоту. Сколько учеников выполнили норматив: а) по бегу; б) по прыжкам в высоту; в) по прыжкам при условии, что не выполнен норматив по бегу?

– и значки, и марки. Остальные не увлекаются коллекционированием. Сколько школьников не увлекаются коллекционированием?

был в театре, посмотрев спектакли А, В или С. При этом спектакли А, В, С видели соответственно 25, 12 и 23 ученика. Сколько учеников в классе?

в цирке и 6 – на стадионе. Планетарий и цирк посетили 5 учеников; планетарий и стадион - 3; цирк и стадион - 1. Сколько учеников в нашем классе, если никто не успел посетить все три места, а три ученика не посетили ни одного места?

но только по одному разу. Это синяя ручка, оранжевый карандаш и красный ластик.
Ответ
 Синяя ручка, оранжевый карандаш, красный ластик.

Задача
В первом пенале лежат лиловая ручка, зелёный карандаш и красный ластик; во втором  — синяя ручка, зелёный карандаш и жёлтый ластик; в третьем  — лиловая ручка, оранжевый карандаш и жёлтый ластик. Содержимое этих пеналов характеризуется такой закономерностью: в каждых двух из них ровно одна пара предметов совпадает и по цвету, и по назначению. Что должно лежать в четвёртом пенале, чтобы эта закономерность сохранилась?

Подсказка
Подумайте, может ли в четвёртом пенале лежать лиловая ручка.

если:
а) K L
б) L K
в) K = L
г) K L =

Тогда число математиков равно 7x, а число философов — 9x.
Если x 0, то философов больше. А что значит, что x = 0? Это значит, что ни тех, ни других нет вообще, то есть их ''поровну''. Это правильный ответ, формально удовлетворяющий условию задачи. И те, кто его указал, вдвойне молодцы! Хотя решение засчитывалось и тем, кто разобрал только случай, когда математики всё-таки есть.
Ответ:  Если есть хотя бы один философ или математик, то философов больше.

Задача
Среди математиков каждый седьмой — философ, а среди философов каждый девятый — математик. Кого больше: философов или математиков?

Подсказка
Рассмотрите людей, являющихся математиками и философами одновременно.