Множества. Основные понятия

Сентябрь 13, 2022

Главная
Математика
Множества. Основные понятия

Содержание

2. Основные понятия Множеством называется совокупность каких-либо объектов, обладающим общим для всех характеристическим свойством. «Множество есть многое,
3. Основные понятия Множество, число элементов которого конечно, называют конечным и бесконечным в противном случае. Бесконечные множества
4. Основные понятия Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается ∅. ∅ ⊆
5. Способы задания множеств 1. Перечисление элементов множества. A = {1, 3, 5, 7, 9} – конечное
6. Операции над множествами Объединением, или суммой множеств А и В называется множество С, элементы которого принадлежат
7. Операции над множествами Разность множеств А\ В – множество, состоящее из элементов множества А и не
8. Свойства операций над множествами 1. Коммутативность. а) A ∪ B = B ∪ A; б) A
9. Свойства операций над множествами 5. Идемпотентность. а) A ∪ A = A; б) A ∩ A
10. Свойства операций над множествами 9. Закон исключенного третьего. а) б) 10. Операции с пустым и универсальным
11. Геометрическое моделирование множеств. Диаграммы Эйлера-Венна Универсальное множество изображают в виде прямоугольника, а множества, входящие в универсальное
12. Порядок выполнения операций дополнение ( ), пересечение ( ), объединение( ).
13. Пример Доказать тождество: A \ (В \ C) = (A \ В) ∪ (A ∩ C).
14. Пример Доказать тождество: A \ (В \ C) = (A \ В) ∪ (A ∩ C).
15. Эквивалентность множеств Если каждому элементу множества A сопоставлен единственный элемент множества B и при этом всякий
16. Теорема Бернштейна Если множество A эквивалентно части множества B, а множество B эквивалентно части множества A,
17. Мощность множества Мощностью конечного множества А (обозначается ⎜А⎜) называется число элементов этого множества. Все счетные множества
18. Мощность объединения n конечных множеств n = 2 ⎜А∪B ⎜= ⎜А ⎜+ ⎜B ⎜– ⎜А∩B ⎜
19. Мощность объединения n конечных множеств n = 3 ⎜А∪B∪ С⎜= ⎜А ⎜+ ⎜B ⎜+ ⎜C ⎜–
20. Мощность объединения n конечных множеств В общем случае мощность объединения n множеств определяется по формуле: ⎜А1∪
21. Пример На трех станках должны пройти обработку 80 деталей. Известно, что 10 из них были обработаны
22. Решение Обозначим множество деталей, прошедших обработку на первом станке через А, на втором через В, на
23. Счётные множества Множество, эквивалентное множеству натуральных чисел N = {1, 2, 3, …, n,…}, называется счетным.
24. Теоремы о счётных множествах Всякое бесконечное подмножество счетного множества счетно. Объединение конечной или счетной совокупности счетных
25. Множества мощности континуума Существуют бесконечные множества, элементы которых нельзя перенумеровать. Такие множества называются несчетными. Теорема Кантора.
26. Теоремы о множествах мощности континуума Множество всех подмножеств счетного множества счетно. Множество иррациональных чисел имеет мощность
27. Пример Множество точек параболы y = x2 эквивалентно множеству точек прямой –∞
28. Отображения множеств Если каждому элементу x ∈ X поставлен в соответствие некоторый элемент y ∈ Y,
29. Сюрьективное, инъективное отображения Отображение f множества X в Y является отображением множества X на Y, если
30. Биективное отображение Если отображение f сюръективно и инъективно, оно называется биективным (взаимнооднозначное соответствие). Очевидно, биективное отображение
31. Пример Пусть Х={а, b, с, d} Y={2, 4, 6}. Зададим отображения f1 и f2 : f1:
32. Решение Отображение f1 X в Y является сюръективным, т.е. отображением X на Y, т.к. каждый элемент
34. Скачать презентацию

Слайд 2

Основные понятия
Множеством называется совокупность каких-либо объектов, обладающим общим для всех характеристическим

свойством.
«Множество есть многое, мыслимое как целое» – Г. Кантор
Объекты, составляющие множество, называются элементами множества.
Множества обозначают большими буквами, например, А, В, С,
элементы – маленькими буквами, например, а, b, c.
Множество и его элементы обозначаются следующим образом:
А = {a1, a2, a3} – множество, состоящее из трех элементов;
А = {a1, a2, …} – множество, состоящее из бесконечного числа элементов.

Слайд 3

Основные понятия
Множество, число элементов которого конечно, называют конечным и бесконечным в

противном случае.
Бесконечные множества разделяются на счётные и несчётные. Если элементы бесконечного множества можно пронумеровать с помощью натурального ряда чисел, то оно называется счётным и несчётным в противном случае.
a ∈ А – элемент a принадлежит множеству А
a ∉ А – элемент a не принадлежит множеству А
Если все элементы множества А являются элементами множества В и наоборот, то говорят, что множества А и В совпадают и пишут А = В
Если каждый элемент множества А является элементом множества В, говорят, что множество А является подмножеством множества В, и записывают А ⊆ В или В ⊇ А
Если А ⊆ В и В ⊆ А, то по ранее введенному определению А = В.
Если А ⊆ В и А ≠ В, то А есть собственное подмножество В, А ⊂ В.
Если А не является собственным подмножеством В, то записывают А ⊄ В.

Слайд 4

Основные понятия
Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством и

обозначается ∅.
∅ ⊆ А, где А – любое множество
Множество всех элементов, которые могут встретиться в данном исследовании, называют универсальным и обозначают U.
Множество всех подмножеств данного множества А называется множеством-степенью и обозначается P(A).
Число подмножеств любого конечного множества, содержащего n элементов равно 2n

Слайд 5

Способы задания множеств
1. Перечисление элементов множества. A = {1, 3, 5, 7,

9} – конечное множество
B = {1, 2, …, n, …} – бесконечное множество
2. Указание свойств элементов множества:
A = {a ⎜указание свойства элементов}. Здесь a является элементом множества A, a ∈ А.
A = {a ⎜a – простое число} – множество простых чисел
B = {b ⎜b2 – 1 = 0, b – действительное число} – множество, состоящее из двух элементов, B = {– 1, 1}
Z = {x ⎜ } – множество, состоящее из одного числа, x = 0

Слайд 6

Операции над множествами
Объединением, или суммой множеств А и В называется множество

С, элементы которого принадлежат хотя бы одному из множеств А или В:
Пересечением множеств А и В называется множество С, элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В:
Дополнением А множества А есть множество, элементы которого принадлежат универсальному множеству U и не принадлежат А:

Слайд 7

$Операции над множествами Разность множеств А\ В – множество, состоящее из$

Операции над множествами
Разность множеств А\ В – множество, состоящее из элементов

множества А и не принадлежащих множеству В:
Симметрическая разность:
Декартовым произведением является множество С всех упорядоченных пар , где :

Слайд 8

Свойства операций над множествами
1. Коммутативность.
а) A ∪ B = B ∪

A;
б) A ∩ B = B ∩ A.
2. Ассоциативность.
а) A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ C) ∪ C;
б) A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C.
3. Дистрибутивность.
а) A∪ (B∩C) = (A∪B) ∩ (A∪C);
б) A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C).
4. Закон де Моргана.
а)
б)

Слайд 9

Свойства операций над множествами
5. Идемпотентность.
а) A ∪ A = A;
б) A

∩ A = A.
6. Поглощение.
а) A ∪ (A ∩ B) = A;
б) A ∩ (A ∪ B) = A.
7. Расщепления (склеивания).
а)
б)
8. Двойное дополнение.

Слайд 10

Свойства операций над множествами
9. Закон исключенного третьего.
а)
б)
10. Операции с пустым

и универсальным множествами.
а) A ∪ U = U;
б) A ∪ ∅ = A;
в) A ∩ U = A;
г) A ∩ ∅ = ∅;
д)
е)
11.

Слайд 11

Геометрическое моделирование множеств. Диаграммы Эйлера-Венна
Универсальное множество изображают в виде прямоугольника, а

множества, входящие в универсальное множество, – в виде кругов внутри прямоугольника; элементу множества соответствует точка внутри круга.

Слайд 12

Порядок выполнения операций
дополнение ( ),
пересечение ( ),
объединение( ).

Слайд 13

$Пример Доказать тождество: A \ (В \ C) = (A \ В) ∪ (A ∩ C).$

Пример
Доказать тождество: A \ (В \ C) = (A \

В) ∪ (A ∩ C).

Слайд 14

$Пример Доказать тождество: A \ (В \ C) = (A \$

Пример
Доказать тождество: A \ (В \ C) = (A \

В) ∪ (A ∩ C).
Воспользуемся следующими тождествами:
A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C).
Получим следующее:

Слайд 15

Эквивалентность множеств
Если каждому элементу множества A сопоставлен единственный элемент множества B

и при этом всякий элемент множества B оказывается сопоставленным одному и только одному элементу множества A, то говорят, что между множествами A и B существует взаимно однозначное соответствие.
Множества A и B в этом случае называют эквивалентными или равномощными.
Эквивалентность множеств обозначается A ~ B.
Эквивалентность множеств обладает свойством транзитивности, т.е. если A ~ B и B ~ C, то A ~ C.
Два конечных множества эквивалентны тогда и только тогда, когда количество элементов в них одинаково

Слайд 16

Теорема Бернштейна
Если множество A эквивалентно части множества B, а множество B

эквивалентно части множества A, то множества A и B эквивалентны
Докажем, что множество точек любого отрезка эквивалентно множеству точек любого интервала.
Пусть A = [a, b] – произвольный отрезок, а B = (c, d) – произвольный интервал.
Пусть A1 = (a1, b1 )– любой внутренний интервал отрезка [a, b], A1⊂ A.
Тогда A1 ~ B.
Пусть B1 = [c1, d1] – любой внутренний отрезок интервала (c, d), B1⊂ B.
Тогда B1 ~ A.
Таким образом, выполняются условия теоремы Бернштейна. Поэтому A ~ B.
Итак, все интервалы, отрезки и вся прямая эквивалентны между собой

Слайд 17

Мощность множества
Мощностью конечного множества А (обозначается ⎜А⎜) называется число элементов этого

множества.
Все счетные множества имеют мощность, равную мощности натурального ряда чисел.
Мощность натурального ряда чисел обозначается – алеф-нуль.
Мощность несчетного множества, эквивалентного множеству всех действительных чисел, называется мощностью континуума (continuum – непрерывный). Мощность континуума обозначается готической буквой C. Между этими мощностями существует следующая связь:

Слайд 18

Мощность объединения n конечных множеств
n = 2
⎜А∪B ⎜= ⎜А ⎜+ ⎜B

⎜– ⎜А∩B ⎜
⎜А∪B ⎜= n1+n2+n3;
⎜А ⎜= n1+n2;
⎜B ⎜= n2+n3;
⎜А∩B ⎜= n2.
Очевидно, что
n1+n2+n3 = (n1+n2) +(n2+n3) – n2

Слайд 19

Мощность объединения n конечных множеств
n = 3
⎜А∪B∪ С⎜= ⎜А ⎜+ ⎜B

⎜+ ⎜C ⎜– ⎜А∩B ⎜– ⎜А∩C ⎜– ⎜B∩C ⎜+ ⎜А∩B ∩C ⎜
⎜А∪B∪ С⎜= n1+n2+n3+n4+n5+n6+n7;
⎜А ⎜= n1+n2+n4+n5;
⎜B ⎜= n2+n3+n5+n6;
⎜С⎜=n4+n5+n6+n7;
⎜А∩B ⎜= n2+n5;
⎜А∩C ⎜= n4+n5;
⎜B∩C ⎜= n5+n6;
⎜А∩B ∩C ⎜= n5.
n1+n2+n3+n4+n5+n6+n7 =(n1+n2+n4+n5) + (n2+n3+n5+n6) +(n4+n5+n6+n7) –
–(n2+n5) – (n4+n5) – (n5+n6) + n5

Слайд 20

Мощность объединения n конечных множеств
В общем случае мощность объединения n множеств

определяется по формуле:
⎜А1∪ А2 ∪…∪Аn⎜= ⎜А1⎜+⎜А2⎜+…+ ⎜Аn⎜– (⎜А1∩ А2⎜+ ⎜А1∩ А3⎜+ … +
+⎜Аn–1∩Аn⎜)+ ⎜А∩B ∩C ⎜+ (⎜А1∩ А2 ∩ А3⎜ + … + ⎜Аn–2∩Аn–1∩Аn⎜) – … +
+ (–1)n – 1 ⎜А1∩А2 …∩Аn⎜.
Если множества Аi попарно не пересекаются, т.е. Аi ∩Аj = ∅, i ≠ j, то получим частный случай формулы:
⎜А1∪ А2 ∪…∪Аn⎜= ⎜А1⎜+⎜А2⎜+…+ ⎜Аn⎜.
В общем случае справедливо неравенство
⎜А1∪ А2 ∪…∪Аn⎜≤ ⎜А1⎜+⎜А2⎜+…+ ⎜Аn⎜.

Слайд 21

Пример
На трех станках должны пройти обработку 80 деталей. Известно, что

10 из них были обработаны на всех трех станках, 20 только на первом и втором, 5 только на первом и третьем, 15 только на втором и третьем. Определить, сколько деталей было обработано только на одном станке, если известно:
1) что на каждом из станков было обработано одинаковое число деталей;
2) детали, обрабатываемые на втором станке, обязательно проходили обработку на первом или на третьем станке.
3) все ли детали прошли обработку хотя бы на одном из станков?

Слайд 22

Решение
Обозначим множество деталей, прошедших обработку на первом станке через А,

на втором через В, на третьем через С.
Число деталей, обработанных на трех станках, есть число элементов множества А∩B∩C и равно 10.
Только на первом и втором станках прошли обработку 20 деталей, это число элементов множества
Аналогично проставляем цифры 5 и 15 из условия задачи.
Число деталей, прошедших обработку только на первом станке, обозначим через X, на третьем через Y, только на втором через Z. Из условия задачи Z = 0.
Число деталей, обработанных на каждом из станков одинаково, следовательно, X + 20 + 10+ 5 = Y + 15 + 10 + 5 = 20 + 10 + 15 + 0. Получаем систему двух уравнений c двумя неизвестными. Отсюда определяем Х = 10; Y = 15. Следовательно, только на одном станке (первом, втором или третьем) прошли обработку Х + Y + Z = 25 деталей;
хотя бы на одном станке обработано 10+ 20 + 10 + 5 + 15 + 15 + 0 = 75 деталей
Следовательно, 80 – 75 = 5 деталей не были обработаны ни на одном из станков

Слайд 23

Счётные множества
Множество, эквивалентное множеству натуральных чисел N = {1, 2, 3,

…, n,…}, называется счетным.
Множество счетно, если его элементы можно перенумеровать.
Примеры счётных множеств:
1. A1 = {–1, –2, …, – n, …};
2. A2 = {2, 22, …, 2n,…};
3. A3 = {2, 4, …, 2n,…};
4. A4 = {…, – n, …, – 1, 0, 1, …, n,…}.

Слайд 24

Теоремы о счётных множествах
Всякое бесконечное подмножество счетного множества счетно.
Объединение конечной или

счетной совокупности счетных множеств счетно.
Все счетные множества эквивалентны между собой.
Всякое множество, эквивалентное счетному множеству, счетно.
Множество всех рациональных чисел, т.е. чисел вида , где p и q целые числа, счетно.
Если А = {a1, a2, …} и B = {b1, b2, …} – счетные множества, то множество всех пар С = {(ak, bn), k = 1, 2,…; n = 1, 2, …} счетно.
Множество всех многочленов P(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + anxn любых степеней с рациональными коэффициентами a0, a1, a2, … an счетно.
Множество всех корней многочленов любых степеней с рациональными коэффициентами счетно.

Слайд 25

Множества мощности континуума
Существуют бесконечные множества, элементы которых нельзя перенумеровать. Такие множества

называются несчетными.
Теорема Кантора. Множество всех точек отрезка [0, 1] несчетно.
Множество, эквивалентное множеству всех точек отрезка [0, 1] называется множеством мощности континуума.

Слайд 26

Теоремы о множествах мощности континуума
Множество всех подмножеств счетного множества счетно.
Множество иррациональных

чисел имеет мощность континуума.
Множество всех точек n-мерного пространства при любом n имеет мощность континуума.
Множество всех комплексных чисел имеет мощность континуума.
Множество всех непрерывных функций, определенных на отрезке [a, b] имеет мощность континуума.
Мощность континуума больше, чем мощность счетного множества.

Слайд 27

Пример
Множество точек параболы y = x2 эквивалентно множеству точек прямой

–∞ < x < ∞ и, следовательно, имеет мощность континуума.

Слайд 28

Отображения множеств
Если каждому элементу x ∈ X поставлен в соответствие некоторый

элемент y ∈ Y, то говорят, что определено отображение f множества X во множество Y. Обозначают y = f(x).
Элемент у есть образ элемента х при данном отображении f,
х – прообраз элемента у и обозначают x = f-1(y).

Слайд 29

Сюрьективное, инъективное отображения
Отображение f множества X в Y является отображением множества

X на Y, если каждому элементу y ∈ Y был поставлен в соответствие какой-либо элемент x ∈X при данном отображении f. Такое соотношение называется сюръективным, т.е. если каждый элемент множества у имеет прообраз, то отображение f сюръективно.
Отображение X в Y называется инъективным, если для каждого элемента y ∈ Y существует не более одного прообраза.

Слайд 30

Биективное отображение
Если отображение f сюръективно и инъективно, оно называется биективным (взаимнооднозначное

соответствие).
Очевидно, биективное отображение между конечными множествами X и Y возможно только в случае, когда число элементов этих множеств совпадает.

Слайд 31

Пример
Пусть Х={а, b, с, d} Y={2, 4, 6}. Зададим отображения

f1 и f2 :
f1: a→2 f2: a→2
b→4 b→2
c→4 c→6
d→6 d→6
Определить тип отображения.

Слайд 32

Решение
Отображение f1 X в Y является сюръективным, т.е. отображением X на

Y, т.к. каждый элемент множества Y имеет прообраз. Отображение f2 несюръективно, элемент «4» не имеет прообраза.
Приведенные выше отображения f1 и f2 не являются инъективными (для каждого элемента y ∈ Y существует не более одного прообраза)

Множества. Основные понятия

Содержание

Основные понятияМножеством называется совокупность каких-либо объектов, обладающим общим для всех характеристическим

Основные понятияМножество, число элементов которого конечно, называют конечным и бесконечным в

Основные понятияМножество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством и

Способы задания множеств1. Перечисление элементов множества. A = {1, 3, 5, 7,

Операции над множествамиОбъединением, или суммой множеств А и В называется множество

Операции над множествамиРазность множеств А\ В – множество, состоящее из элементов

Свойства операций над множествами1. Коммутативность. а) A ∪ B = B ∪

Свойства операций над множествами5. Идемпотентность. а) A ∪ A = A; б) A

Свойства операций над множествами9. Закон исключенного третьего. а) б) 10. Операции с пустым

Геометрическое моделирование множеств. Диаграммы Эйлера-ВеннаУниверсальное множество изображают в виде прямоугольника, а

Порядок выполнения операцийдополнение ( ),пересечение ( ),объединение( ).

Пример Доказать тождество: A \ (В \ C) = (A \

Пример Доказать тождество: A \ (В \ C) = (A \

Эквивалентность множествЕсли каждому элементу множества A сопоставлен единственный элемент множества B

Теорема БернштейнаЕсли множество A эквивалентно части множества B, а множество B

Мощность множестваМощностью конечного множества А (обозначается ⎜А⎜) называется число элементов этого

Мощность объединения n конечных множеств n = 2 ⎜А∪B ⎜= ⎜А ⎜+ ⎜B

Мощность объединения n конечных множеств n = 3⎜А∪B∪ С⎜= ⎜А ⎜+ ⎜B

Мощность объединения n конечных множествВ общем случае мощность объединения n множеств

Пример На трех станках должны пройти обработку 80 деталей. Известно, что

Решение Обозначим множество деталей, прошедших обработку на первом станке через А,

Счётные множестваМножество, эквивалентное множеству натуральных чисел N = {1, 2, 3,

Теоремы о счётных множествахВсякое бесконечное подмножество счетного множества счетно.Объединение конечной или

Множества мощности континуумаСуществуют бесконечные множества, элементы которых нельзя перенумеровать. Такие множества

Теоремы о множествах мощности континуумаМножество всех подмножеств счетного множества счетно.Множество иррациональных

Пример Множество точек параболы y = x2 эквивалентно множеству точек прямой

Отображения множествЕсли каждому элементу x ∈ X поставлен в соответствие некоторый

Сюрьективное, инъективное отображенияОтображение f множества X в Y является отображением множества

Биективное отображениеЕсли отображение f сюръективно и инъективно, оно называется биективным (взаимнооднозначное

Пример Пусть Х={а, b, с, d} Y={2, 4, 6}. Зададим отображения

РешениеОтображение f1 X в Y является сюръективным, т.е. отображением X на

Похожие презентации

Основные понятия
Множеством называется совокупность каких-либо объектов, обладающим общим для всех характеристическим

Основные понятия
Множество, число элементов которого конечно, называют конечным и бесконечным в

Основные понятия
Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством и

Способы задания множеств
1. Перечисление элементов множества. A = {1, 3, 5, 7,

Операции над множествами
Объединением, или суммой множеств А и В называется множество

Операции над множествами
Разность множеств А\ В – множество, состоящее из элементов

Свойства операций над множествами
1. Коммутативность.
а) A ∪ B = B ∪

Свойства операций над множествами
5. Идемпотентность.
а) A ∪ A = A;
б) A

Свойства операций над множествами
9. Закон исключенного третьего.
а)
б)
10. Операции с пустым

Геометрическое моделирование множеств. Диаграммы Эйлера-Венна
Универсальное множество изображают в виде прямоугольника, а

Порядок выполнения операций
дополнение ( ),
пересечение ( ),
объединение( ).

Пример
Доказать тождество: A \ (В \ C) = (A \

Пример
Доказать тождество: A \ (В \ C) = (A \

Эквивалентность множеств
Если каждому элементу множества A сопоставлен единственный элемент множества B

Теорема Бернштейна
Если множество A эквивалентно части множества B, а множество B

Мощность множества
Мощностью конечного множества А (обозначается ⎜А⎜) называется число элементов этого

Мощность объединения n конечных множеств
n = 2
⎜А∪B ⎜= ⎜А ⎜+ ⎜B

Мощность объединения n конечных множеств
n = 3
⎜А∪B∪ С⎜= ⎜А ⎜+ ⎜B

Мощность объединения n конечных множеств
В общем случае мощность объединения n множеств

Пример
На трех станках должны пройти обработку 80 деталей. Известно, что

Решение
Обозначим множество деталей, прошедших обработку на первом станке через А,

Счётные множества
Множество, эквивалентное множеству натуральных чисел N = {1, 2, 3,

Теоремы о счётных множествах
Всякое бесконечное подмножество счетного множества счетно.
Объединение конечной или

Множества мощности континуума
Существуют бесконечные множества, элементы которых нельзя перенумеровать. Такие множества

Теоремы о множествах мощности континуума
Множество всех подмножеств счетного множества счетно.
Множество иррациональных

Пример
Множество точек параболы y = x2 эквивалентно множеству точек прямой

Отображения множеств
Если каждому элементу x ∈ X поставлен в соответствие некоторый

Сюрьективное, инъективное отображения
Отображение f множества X в Y является отображением множества

Биективное отображение
Если отображение f сюръективно и инъективно, оно называется биективным (взаимнооднозначное

Пример
Пусть Х={а, b, с, d} Y={2, 4, 6}. Зададим отображения

Решение
Отображение f1 X в Y является сюръективным, т.е. отображением X на