Неопределенный интеграл

1. Первообразная

Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на промежутке Х,

Совокупность всех первообразных для функции f(x) на промежутке Х называется неопределенным

Геометрический смысл неопределенного интеграла: семейство интегральных кривых.

Интегрирование является операцией, обратной дифференцированию.

Для проверки правильности результата интегрирования надо продифференцировать

2. СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

1

Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции.

2

Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению.

3

Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью

4

Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла.

5

Интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен алгебраической сумме

3. Таблица интегралов

4. Замена переменной в неопределенном интеграле.

4.1. Непосредственное интегрирование

Пример 1

Вычислить интеграл

Решение.

4.2. Подведение множителя под знак дифференциала

Таблица дифференциалов

Пример 2

Вычислить интеграл

4.3. Метод замены переменной или метод подстановки

Метод замены переменной описывается

Пример 3

Вычислить интегралы:

Решение:

Пример 4

Решение:

Теорема

Пусть F(x) – некоторая первообразная для функции f(x).
Тогда

Пример 5

Вычислить интеграл: