Несобственные интегралы

1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования (1 рода)

Пусть функция y=f(x)

Несобственным интегралом

от функции y=f(x) на полуинтервале

называется предел функции Ф(t) при

Если такой предел существует и конечен,
то несобственный интеграл называется
сходящимся к

Геометрический смысл несобственного интеграла основан на геометрической интерпретации определенного интеграла на

Пример.

Вычислить интеграл

Решение.

Аналогично можно определить несобственный интеграл на промежутке

Рассмотрим несобственный интеграл на интервале

- сходятся. Тогда положим

и интеграл

тоже сходится.

Если хотя

Пример.

Вычислить интеграл

Решение.

Исследуем на сходимость интегралы

- сходится.

- расходится.

- расходится.

В рассмотренных примерах сначала с помощью первообразной вычислялся интеграл по конечному

Отсюда следует, что несобственный интеграл существует только в том случае, если

Аналогично:

Пример.

Вычислить интеграл

Решение.

2. Несобственные интегралы от неограниченных функций (2 рода)

Пусть функция y=f(x) непрерывна,

Несобственным интегралом

от функции y=f(x) на полуинтервале

называется предел

где

Если такой предел существует и конечен,
то несобственный интеграл называется
сходящимся.

Если конечного

Аналогично можно ввести понятие несобственного интеграла от функции y=f(x) непрерывной но

Пример.

Вычислить интеграл

Решение.

Особая точка х=0.

ЗАМЕЧАНИЕ 1.

Если функция y=f(x) неограничена при х=С, где

то интеграл

тоже называется

ЗАМЕЧАНИЕ 2.

Если a и b – особые точки, т.е. функция y=f(x)

Пример.

Вычислить интеграл

Решение.

Особые точки: х=-1, х=1.

Пусть функция y=f(x) интегрируема на всем промежутке [a,b], причем b –

Пример.

Вычислить интеграл