О некоторых особенностях использования численных методов приближения функций

Сентябрь 13, 2022

Главная
Математика
О некоторых особенностях использования численных методов приближения функций

Содержание

2. Построить многочлен (1) принимающий в заданных узлах заданные значения: (2) Получается система линейных уравнений относительно неизвестных
3. 1. Интерполяционный многочлен Лагранжа строится в виде: , где 2. Интерполяционный многочлен Ньютона имеет вид: Коэффициенты
4. где , Если достаточно гладкая, то погрешность стремится к нулю с увеличением n: О погрешностях интерполяционных
5. Случай гладкой функции
6. Случай негладкой функции
7. Наличие случайных погрешностей эксперимента Вывод: при построении интерполяционных формул для данных, полученных экспериментально, из-за наличия даже
8. На каждом промежутке строится многочлен третьей степени коэффициенты которого находятся из условий интерполяции и условий непрерывности
9. Добавлены случайные отклонения Выводы: 1) качество приближения может ухудшаться только в промежутках негладкости функции; 2) сплайн-интерполяция
10. Метод наименьших квадратов Задача: требуется приблизить функцию , заданную таблицей своих значений в точках в некотором
11. Пример, иллюстрирующий устойчивость метода наименьших квадратов к случайным отклонениям.
13. Скачать презентацию

Слайд 2

Построить многочлен
(1)
принимающий в заданных узлах заданные
значения:
(2)
Получается

система линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов

Задача интерполяции

Слайд 3

1. Интерполяционный многочлен Лагранжа строится в виде:
, где
2. Интерполяционный

многочлен Ньютона имеет вид:
Коэффициенты могут быть найдены последовательно из условий интерполяции (2).

Интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона

Слайд 4

где ,
Если достаточно гладкая, то погрешность стремится к нулю с увеличением

О погрешностях интерполяционных формул

Слайд 5

Случай гладкой функции

Слайд 6

Случай негладкой функции

Слайд 7

Наличие случайных погрешностей эксперимента
Вывод: при построении интерполяционных формул для данных,

полученных экспериментально, из-за наличия даже небольших случайных погрешностей с увеличением числа узлов может сильно ухудшаться качество приближения.

Слайд 8

На каждом промежутке строится многочлен третьей степени
коэффициенты которого находятся из условий

интерполяции и условий непрерывности первой и второй производных. При этом получается система линейных уравнений с трехдиагональной матрицей, которая эффективно решается методом прогонки.

Сплайн-интерполяция

Слайд 9

Добавлены случайные
отклонения
Выводы: 1) качество приближения может ухудшаться только

в промежутках негладкости функции;
2) сплайн-интерполяция устойчива к случайным погрешностям измерения.

Слайд 10

Метод наименьших квадратов
Задача: требуется приблизить функцию , заданную таблицей своих

значений в точках в некотором классе функций
Метод наименьших квадратов состоит в таком подборе параметров при котором сумма квадратов отклонений значений функции от в точках минимальна.
В качестве функции часто берут многочлены, причем невысокой степени. Например при m=2 МНК приводит к следующей системе линейных уравнений:

Слайд 11

О некоторых особенностях использования численных методов приближения функций

Содержание

Построить многочлен (1) принимающий в заданных узлах заданные значения: (2)Получается

1. Интерполяционный многочлен Лагранжа строится в виде: , где 2. Интерполяционный

где ,Если достаточно гладкая, то погрешность стремится к нулю с увеличением

Случай гладкой функции

Случай негладкой функции

Наличие случайных погрешностей эксперимента Вывод: при построении интерполяционных формул для данных,

На каждом промежутке строится многочлен третьей степеникоэффициенты которого находятся из условий

Добавлены случайные отклонения Выводы: 1) качество приближения может ухудшаться только

Метод наименьших квадратов Задача: требуется приблизить функцию , заданную таблицей своих

Пример, иллюстрирующий устойчивостьметода наименьших квадратов к случайным отклонениям.

Похожие презентации