Обработка результатов эксперимента. Матричное исчисление

Сентябрь 12, 2022

Главная
Математика
Обработка результатов эксперимента. Матричное исчисление

Содержание

2. Регрессионный анализ Это статистический метод проверки гипотезы о пригодности модели и значимости коэффициентов. Он основывается на
3. Матричные исчисления в многомерной статистике Для нахождения коэффициента регрессии в матричном исчис-лении необходимо решить следующие уравнения:
4. Решим матрицу относительно В Умножив обе части равенства на транспонированную матрицу: Получим информационную матрицу Фишера Ее
5. Чтобы найти коэффициент уравнения, необходимо, чтобы в левой части получилась единичная матрица, тогда правая часть будет
6. Каждый bi определяется по следующей формуле При ортогональном планировании: Аналогичны рассуждения при проверке дисперсии экспериментов
7. Ковариация Если ковариация положительна, то с ростом значений одной случайной величины, значения второй имеют тенденцию возрастать,
8. КРИТЕРИИ ОПТИМАЛЬНОСТИ ПЛАНОВ
9. Требования к матрице ковариаций Построение плана эксперимента можно интерпретировать как выбор строк матрицы х, их числа
10. Первая группа 1.1. Ортогональность. а). диагональность матрицы дисперсии – ковариации. б). направление главных осей эллипсоида рассеяния
11. 1.4. Е – оптимальные планы (minmax). а). minmax собственного значения матриц дисперсии, ковариации. б). min максимальной
12. Вторая группа 2.1. ротатабельность. а). , где ρ - сферическая координата. в). одинаковая точность предсказаний для
13. Критерии насыщенности и композиционности плана. Насыщенность плана обеспечивает минимум числа опытов. Минимум задается числом коэффициентов модели.
14. ПЛАНЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА
15. Особенности планов второго порядка При наличии в исследуемой области не более одного экстремума в качестве модели
16. Планы типа 3n Планы с числом степеней свободы, достаточным для получения оценок всех коэффициентов данной модели,
17. Коэффициенты модели где A, B, C, D – некоторые коэффициенты, взятые из таблицы. Ошибки оценок коэффициентов
18. Центральные композиционные планы Планы второго порядка, построенные на базе линейных факторных планов типа 2n добавлением к
19. Параметры ортогональных композиционных панов
20. Расчет коэффициентов моделей
21. Влияние композицоинности плана Если в центре плана поставить не один эксперимент, то может быть определено такое
22. Пример использования симметричного ортогонального композиционного плана второго порядка Изучали механические свойства одного из алюминиевых деформированных сплавов
23. Дисперсия в определении коэффициентов: Дисперсия неадекватности: , где N- количество опытов. K’-количество коэффициентов. Модель не адекватна
24. Проведем дополнение модели В таком случае можно дополнить данную модель звездными точками и опытами в центре
25. Проводим эксперимент
26. По результатам эксперимента, используя коэффициенты рассчитываем коэффициенты регрессии: По критерию Стьюдента: статистически значимыми будут Уравнение регрессии:
27. Некомпозиционные планы Для системы с двумя независимыми переменными ротатабельными планами второго порядка будут планы, точки которых
28. Планы Хартли и Вестлейка Ортогональные и ротатабельные центральные композиционные планы второго порядка строятся на основе матриц
29. звездное плечо определяется по формуле: N0 – число точек в исходном ПФЭ. r – число повторений
30. Планы близкие к D-оптимальным Такие планы имеют минимальный объем эллипсоида ошибок оценок коэффициентов модели, однако планы
31. Параметры D-оптимальных планов Пример D- оптимального плана на базе плана Хартли при 5 факторах
32. Пример расчета для плана второго порядка Для алюминиевого сплава, легированного цинком (10,0-10,5%), магнием (2,0-2,5%), медью (2,5-3,0%),
33. Матрица исходных данных
34. Результаты На поле диаграммы выделены области, соответствующие принятому режиму старения (Л) и режимам, при которых достигаются
36. Скачать презентацию

Слайд 2

Регрессионный анализ
Это статистический метод проверки гипотезы о пригодности модели и значимости

коэффициентов. Он основывается на следующих постулатах:
Параметр у – есть случайная величина.
Дисперсия у – не зависит от абсолютной величины у.
Значения факторов – есть не случайные величины.
Наиболее простым классом регрессионной модели является
y=b0+b1x1+b2x2+….+ξ
Вектор параметров такой модели находят при условии минимизации ее ошибки, т.е. МНК

Слайд 3

Матричные исчисления в многомерной статистике
Для нахождения коэффициента регрессии в матричном исчис-лении

необходимо решить следующие уравнения:
, где X– матрица условий эксперимента. Y – матрица результатов эксперимента, В - матрица столбец коэффи-циентов уравнения
x 0…N условный фактор для оценки b0 , т.к. для остальных b1 ,b2 и т.д. есть значения .

Слайд 4

Решим матрицу относительно В
Умножив обе части равенства на транспонированную матрицу:
Получим

информационную матрицу Фишера
Ее структура
приведенная информационная матрица

Слайд 5

Чтобы найти коэффициент уравнения, необходимо, чтобы в левой части получилась единичная

матрица, тогда правая часть будет решением данного уравнения. Найдем матрицу обратную А и умножим на нее слева обе части уравнения.
Отбросив единичную матрицу.
определитель матрицы
присоединенная матрица
Структура матрицы Фишера

Слайд 6

Каждый bi определяется по следующей формуле
При ортогональном планировании:
Аналогичны рассуждения при

проверке дисперсии экспериментов

Слайд 7

Ковариация
Если ковариация положительна, то с ростом значений одной случайной величины, значения

второй имеют тенденцию возрастать, а если знак отрицательный — то убывать.
Однако по абсолютному значению ковариации нельзя судить о том, насколько сильно величины взаимосвязаны, так как её масштаб зависит от их дисперсийОднако по абсолютному значению ковариации нельзя судить о том, насколько сильно величины взаимосвязаны, так как её масштаб зависит от их дисперсий. Масштаб можно нормировать, поделив значение ковариации на произведение среднеквадратических отклоненийОднако по абсолютному значению ковариации нельзя судить о том, насколько сильно величины взаимосвязаны, так как её масштаб зависит от их дисперсий. Масштаб можно нормировать, поделив значение ковариации на произведение среднеквадратических отклонений, т.е.это коэффициент корреляции, который всегда находится в интервале от −1 до 1.

Слайд 8

КРИТЕРИИ ОПТИМАЛЬНОСТИ ПЛАНОВ

Слайд 9

Требования к матрице ковариаций
Построение плана эксперимента можно интерпретировать как выбор строк

матрицы х, их числа и последовательности проведения. Этот выбор осуществляется разными способами, а => коэффициенты b могут быть оценены с разной точностью, будут иметь разные ковариации (критерий оптимальности). Требования к модели удобно формировать в терминах свойств матрицы .
Первая группа коэффициентов – критерии, связанные с точностью оценок коэффициентов регрессии. (Интерпретация может быть алгебраической (а), геометрической (б) и статистической (в).)
Критерии, определяющие точность предсказаний значений отклика с помощью построенных моделей.

Слайд 10

Первая группа
1.1. Ортогональность.
а). диагональность матрицы дисперсии – ковариации.
б). направление главных осей

эллипсоида рассеяния совпадает с направлением координатных осей пространства.
в). оценки параметров коэффициентов независимы друг от друга.
1.2. D – оптимальные планы.
а). минимум определителя матрицы дисперсии – ковариации.
б). минимум объема эллипсоида рассеяния параметров.
в). минимум обобщенной дисперсии всех коэффициентов.
1.3. А – оптимальность.
а). минимум следа матрицы дисперсии, ковариации.
б). минимум суммы квадратов длин осей эллипсоида рассеяния и минимум длины диагонали прямоугольника, описанного около эллипсоида.
в). минимальная средняя дисперсия оценок эксперимента.

Слайд 11

1.4. Е – оптимальные планы (minmax).
а). minmax собственного значения матриц дисперсии,

ковариации.
б). min максимальной оси эллипсоида рассеяния.
в). отдельные оценки параметров не обладают слишком большими дисперсией и ковариацией.
1.5. minmax оценки дисперсии коэффициентов.
а). minmax диагонали элемента матрицы.
б). минимум максимальной проекции оси эллипсоида рассеяния на координатные оси пространства параметров.
в). minmax дисперсии оценки коэффициентов.

Слайд 12

Вторая группа
2.1. ротатабельность.
а). , где ρ - сферическая координата.
в). одинаковая точность

предсказаний для точек, равноудаленных от центра плана по любому направлению.
2.2. униформность.
а). при
в). дисперсия предсказания постоянна в некоторой области вокруг центра эксперимента (интервал варьирования может увеличиваться и уменьшаться без болезненно).
2.3. G – оптимальность.
а)
в) Minmax – максимального значения дисперсии оценки поверхности отклика.
2.4.Q – оптимальность. а)
б) Минимум средних дисперсий оценки поверхности отклика.
Критерии насыщенности плана и критерии композиционности плана.

Слайд 13

Критерии насыщенности и композиционности плана.
Насыщенность плана обеспечивает минимум числа опытов. Минимум

задается числом коэффициентов модели. Приближение к нему служит мерой насыщенности плана.
В общем случае Кнас≈N→(k+1), где k- число констант модели.
Процессы, протекающие в многофазных системах, как правило, не удается описать линейными регрессионными закономерностями. Поэтому необходимо использовать математические модели более высокого порядка. Это и есть ортогональное композиционное планирование эксперимента.

Слайд 14

ПЛАНЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Слайд 15

Особенности планов второго порядка
При наличии в исследуемой области не более одного

экстремума в качестве модели системы используют зависимость следующего вида:
η -истинная величина отклика.
β -истинное значение коэффициента.
Особенность данного метода: число опытов для построения такой модели должно быть не меньше:
Если k число варьирования факторов.
Для данного вида эксперимента каждый фактор должен варьироваться, по крайней мере на трех уровнях. Для построения модели существует огромное число планов, приведенных в справочниках.

Слайд 16

Планы типа 3n
Планы с числом степеней свободы, достаточным для получения оценок

всех коэффициентов данной модели, можно было бы построить, например, введением трех уровней варьирования для каждой из переменных исследуемой системы. Но такие планы обладали бы большой избыточностью степеней свободы, т. е. избыточностью числа опытов.
n = 2, коэффициентов – 6, опытов – 9.
Для n = 3, 27 опытов, 10 коэффициентов.
Поэтому такие планы полностью никогда не реализуют. Действительно реализуемыми остаются например:
Это матрица плана второго порядка,
построенного для n=3 на базе
матрицы ПФЭ З3. Как видно, из 27
опытов в матрице плана осталось
всего 12 и добавлены три опыта в
центре, т. е. предусматривается
всего 15 опытов

Слайд 17

Коэффициенты модели
где A, B, C, D – некоторые коэффициенты, взятые

из таблицы.
Ошибки оценок коэффициентов
модели могут быть вычислены
через соответствующие
дисперсии
Геометрический смысл плана

Данной моделью целесообразно пользоваться
только, если используется сразу полином
второй степени. Эту модель не рационально
использовать, если до этого проводился ПФЭ.

Слайд 18

Центральные композиционные планы
Планы второго порядка, построенные на базе линейных факторных планов

типа 2n добавлением к ним некоторого числа определенным образом расположенных экспериментальных точек (центральные композиционные планы второго порядка), получили в настоящее время наиболее широкое использование.
Дополнительными точками в центральных композиционных планах второго порядка являются так называемые “звездные” точки, задава-емые для независимых переменных координатами

Слайд 19

Параметры ортогональных композиционных панов

Слайд 20

Расчет коэффициентов моделей

Слайд 21

Влияние композицоинности плана
Если в центре плана поставить не один эксперимент,

то может быть определено такое число точек, что постоянство информации будет иметь место не только в равноотстоящих от центра плана точках, но и на большей части отрезка радиус-вектора 0 ≤ ρ ≤ 1.
Информационные контуры для центральных комплексных планов второго порядка:

Не ротатабельный план Ротатабельный план Информационный вектор

Слайд 22

Пример использования симметричного ортогонального композиционного плана второго порядка
Изучали механические свойства

одного из алюминиевых деформированных сплавов в зависимости от содержания лития, температуры и времени старения. В качестве отклика выбрали предел прочности. По результатам измерений, проведенных ранее, было установлено, что дисперсия 4, число степеней свободы 10.
Был реализован ПФЭ
23, по результатам кото-
рого рассчитаны
коэффициенты
для линейной модели:

Слайд 23

Дисперсия в определении коэффициентов:
Дисперсия неадекватности:
, где
N- количество опытов.
K’-количество

коэффициентов.

Модель не адекватна

Слайд 24

Проведем дополнение модели
В таком случае можно дополнить данную модель звездными точками

и опытами в центре плана.
Для того, чтобы сделать матрицу планирования ортогональной, мы должны ввести столбец новой переменной для нахождения коэффициентов регрессии при квадратичных планах.
Для 22=0,67; для 23=0,73.

Слайд 25

Проводим эксперимент

Слайд 26

По результатам эксперимента, используя коэффициенты рассчитываем коэффициенты регрессии:
По критерию Стьюдента:
статистически

значимыми будут
Уравнение регрессии:
Критерий Фишера расчетный
гипотеза об адекватности модели не отвергается.

Слайд 27

Некомпозиционные планы
Для системы с двумя независимыми переменными ротатабельными планами второго порядка

будут планы, точки которых являются вершинами правильного пяти- или шестиугольника. Добавив к этим точкам центральные точки, можно получить униформно – ротатабельные планы.
Униформность – это свойство планов, при котором вокруг центра плана дисперсия предсказаний остается одинаковой.
Понятно, что ротатабельные планы с пяти- и шестиугольниками не пересекаются с ПФЭ коэффициенты рассчитываются из матрицы исходных данных.

Слайд 28

Планы Хартли и Вестлейка
Ортогональные и ротатабельные центральные композиционные планы второго порядка

строятся на основе матриц ПФЭ 2n (для n <5), ДФЭ 2n-1 (для n =5) и ДФЭ 2п-2 для (n >8), обеспечивающих взаимно независимое (несмешанное) определение всех линейных и парных коэффициентов.
Планы Хартли для n = 2, 3, 4, 5 могут быть построены на базе полуреплик соответствующих размерностей; для n = 6 в качестве линейной основы плана может использоваться 1/4-реплика ДФЭ 26-2. Очевидно, что разрешающая способность планов Хартли и Вестлейка должна быть ниже, чем для планов ортогональных или ротатабельных, однако в ряде практических задач этой разрешающей способности может оказаться достаточно для получения удовлетворительной модели исследуемой системы. Планы Хартли можно сделать почти ортогональными, если в них, как и в ортогональных центральных композиционных
планах, сделать замену переменных
согласно уравнению:

Слайд 29

звездное плечо определяется по формуле:
N0 – число точек в исходном ПФЭ.
r

– число повторений в звездных точках и в центре плана.
N = N0+(2n+1)r – общее число опытов композиционного плана.
Планы Вестлейка дают достаточно хороший результат, если получается удовлетворительная модель системы. Но все коэффициенты оказываются взаимно коррелируемыми.
Линейная основа плана Хартли для п = 4
Это полуреплика 24-1, которую можно
использовать для построения
композиционного плана

Слайд 30

Планы близкие к D-оптимальным
Такие планы имеют минимальный объем эллипсоида ошибок оценок

коэффициентов модели, однако планы эти содержат практически неприемлемое число экспериментальных точек и поэтому не применяются.
Представляют практический интерес планы, содержащие приемлемое для практического использования число опытов и близкие по своим статистическим свойствам к D-оптимальным. В таблице приводятся основные статистические характеристики некоторых из таких планов.
В качестве оценки степени D-оптимальности планов используют обычно величину определителя информационной матрицы плана, поскольку D-оптимальным планам соответствуют информационные матрицы с максимальным на всевозможном множестве планов значением определителя.

Слайд 31

Параметры D-оптимальных планов
Пример D- оптимального плана на
базе плана Хартли при

5 факторах

Слайд 32

Пример расчета для плана второго порядка
Для алюминиевого сплава, легированного цинком (10,0-10,5%),

магнием (2,0-2,5%), медью (2,5-3,0%), марганцем (0,4%), титаном (0,05%) и цирконием (0,13%), проверяли оптимальность (с точки зрения прочности и пластичности при статическом растяжении) режима термообработки, применяемого обычно для алюминиевых высокопрочных сплавов системы Аl—Zn—Mg—Сu: закалка с 465° С в воде и старение при 140° С, 16 часов.
Расчет коэффициентов регрессии проводили по общему уравнению В=(XТ X) -1 XТ Y

Слайд 33

Матрица исходных данных

Слайд 34

Результаты
На поле диаграммы выделены области, соответствующие принятому режиму старения (Л) и

режимам, при которых достигаются максимальные значения прочности. Как видно, при режимах старения, соответствующих областям А' и А", сплав имеет не только более высокую, чем при старении 140°, 16 час, прочность, но и более высокую пластичность.

Обработка результатов эксперимента. Матричное исчисление

Содержание

Регрессионный анализЭто статистический метод проверки гипотезы о пригодности модели и значимости

Матричные исчисления в многомерной статистикеДля нахождения коэффициента регрессии в матричном исчис-лении

Решим матрицу относительно В Умножив обе части равенства на транспонированную матрицу:Получим

Чтобы найти коэффициент уравнения, необходимо, чтобы в левой части получилась единичная

Каждый bi определяется по следующей формулеПри ортогональном планировании: Аналогичны рассуждения при

КовариацияЕсли ковариация положительна, то с ростом значений одной случайной величины, значения

КРИТЕРИИ ОПТИМАЛЬНОСТИ ПЛАНОВ

Требования к матрице ковариацийПостроение плана эксперимента можно интерпретировать как выбор строк

Первая группа1.1. Ортогональность.а). диагональность матрицы дисперсии – ковариации.б). направление главных осей

1.4. Е – оптимальные планы (minmax).а). minmax собственного значения матриц дисперсии,

Вторая группа2.1. ротатабельность.а). , где ρ - сферическая координата.в). одинаковая точность

Критерии насыщенности и композиционности плана.Насыщенность плана обеспечивает минимум числа опытов. Минимум

ПЛАНЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Особенности планов второго порядкаПри наличии в исследуемой области не более одного

Планы типа 3nПланы с числом степеней свободы, достаточным для получения оценок

Коэффициенты модели где A, B, C, D – некоторые коэффициенты, взятые

Центральные композиционные планыПланы второго порядка, построенные на базе линейных факторных планов

Параметры ортогональных композиционных панов

Расчет коэффициентов моделей

Влияние композицоинности плана Если в центре плана поставить не один эксперимент,

Пример использования симметричного ортогонального композиционного плана второго порядка Изучали механические свойства

Дисперсия в определении коэффициентов:Дисперсия неадекватности: , где N- количество опытов. K’-количество

Проведем дополнение моделиВ таком случае можно дополнить данную модель звездными точками