ОПРЕДЕЛЕННЫЙ И НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛЫ.

Определенный интеграл.

Определенным интегралом функции
y=f(x) на [a,b] называется ,
если

Геометрический смысл определённого интеграла.

Свойства определённого интеграла.

1. 2.
3. , k-любое число
4.
5.Аддитивность определённого интеграла. Для

Формула Ньютона-Лейбница.

Если F(x) есть какая-либо первообразная
от непрерывной на [ , ]

Пример.

Замена переменной в определённом интеграле.

Интегрирование по частям в определённом интеграле.

Пример.

Геометрические приложения определенного интеграла.

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой, заданной параметрически.

x(t), y(t), x’(t), y’(t) – непрерывны на

, где

Пример.
Найти площадь фигуры, ограниченной осью OX и одной аркой
циклоиды:x=

(t-sin t),

Вычисление длины дуги кривой.

Пусть кривая задана уравнением y=f(x), где f(x) и f’(x) непрерывны на

Пусть кривая задана в параметрической
форме x=x(t), y=y(t), t , причём x(t),
y(t),

Несобственный интеграл.

Если существует конечный
(b> ), то этот предел называется
несобственным интегралом

Пример.

Функции нескольких переменных.

Определение

Функцией двух переменных называется правило, по
которому каждой упорядоченной паре чисел

Частные производные.

Частные производные по x.

Предел ,
если он существует, называется частной
производной

Частные производные по y.

называется частной производной
(I порядка) функции z=f(x,y) по

Частные производные высших порядков.

Пример.
. Вычислить частные производные
II порядка функции.
, , , ,

Полный дифференциал.

Скалярное поле.

Часть пространства или всё пространство, в каждой точке
p(x,y,z) которого

Производная по направлению.

Градиент

Экстремумы функции двух переменных.

Необходимое условие существования экстремума.

Пусть функция z=f(x, y) в точке
имеет экстремум

Достаточное условие существования экстремума.

Пусть для функции z=f(x, y) в критической

Пример исследовать на экстремум функцию
Решение. ; .
Решая систему получим четыре
стационарные точки