Кут між прямими. Перпендикулярність прямих, прямої і площини. Перпендикуляр і похила до площини

найбільшого з них називається кутом між даними прямими, що перетинаються. Кут між прямими, що перетинаються, не перевищує 90º.

a

b

α

α

Теорема 14.
Якщо дві прямі, які перетинаються, паралельні іншим прямим, що перетинаються , то кут між першими прямими дорівнює куту між другими.

А

В

С

Аʹ

Сʹ

Вʹ

α

β

тому кута, як геометричної фігури, не утворюють. Вважають, що кут між паралельними прямими дорівнює 0º.
Кутом між мимобіжними прямими називають кут між прямими, які перетинаються і паралельні відповідно даним мимобіжним прямим.

Кут між мимобіжними прямими, як і між прямими однієї площини, не може мати більше від 90º

b

a

О

Оʹ

aʹ

bʹ

α

с

β

пряма перпендикулярна до однієї з двох паралельних прямих, то вона перпендикулярна і до другої прямої.

a

h

b

перпендикулярна до будь-якої прямої, що лежить у площині і проходить через точку перетину.

B

О

A

Теорема 16 (ознака перпендикулярнорсті прямої і площини)
Якщо пряма, яка перетинає площину, перпендикулярна до двох прямих цієї площини, що проходять через точку перетину, то вона перпендикулярна до площини

O

A

B

C

α

α

через ці прямі. Пряма, перпендикулярна до площини, перпендикулярна до будь-якої прямої, що лежить у цій площині.

O

A

a

b

c

Наслідок
Якщо пряма перпендикулярна до двох сторін трикутника, то вона перпендикулярна і до третьої його сторони

α

B

C

A

N

M

α

і друга пряма перпендикулярна до цієї площини.

Теорема 18
Дві прямі, перпендикулярні до однієї площини, паралельні.

α

a

b

α

a

b

перпендикулярної до площини, що міститься між даною точкою і площиною.

Теорема 19
Якщо з даної точки, взятої поза площиною, проведені до цієї площини перпендикуляр і похилі, то:
Дві похилі, які мають рівні проекції, рівні.
З двох похилих та більша, проекція якої більша.
Перпендикуляр коротший за будь-яку похилу.

α

A

C

B

Основа похилої

Основа перпендикуляра

Проекція похилої

Похила

α

A

B

K

C

P

перпендикулярна до цієї похилої. І навпаки, якщо пряма на площині перпендикулярна до похилої, то вона перпендикулярна і до проекції похилої.

Пряма, яка лежить у площині, перпендикулярна до похилої тоді і тільки тоді, коли цяпряма перпендикулярна до проекції похилої.

α

A

C

B

K

P