Определенный интеграл. Основные свойства и теоремы. Формула Ньютона-Лейбница. (Семинар 17)

n отрезков неограниченно возрастает, а наибольшая длина отрезка

называют определенным интегралом

от функции y=f(x) на отрезке [a,b].

Обозначение

a– нижний предел интегрирования;
b – верхний предел интегрирования;
[a,b] – отрезок интегрирования;
f(x) – подынтегральная функция;
x – переменная интегрирования.

Формула Ньютона-Лейбница

Вычисление интеграла основано на применении формулы Ньютона-Лейбница

Пусть f(x) – интегрируема на отрезке [a,b] и F(x) – одна из первообразных функции f(x), то есть f(x)=F’(x). Тогда приращение первообразной на отрезке [a,b], то есть F(b)-F(a) равно значению определенного интеграла

Другая форма

двойная подстановка
от a до b

формулы Ньютона-Лейбница

(1), где f(x) – непрерывна на отрезке [a,b] , f(x)=F’(x).

Величина определенного интеграла не зависит от обозначения
переменной интегрирования, то есть

=

=...=

II. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен 0, то есть

=F(a)-F(a)=0

III. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет свой знак на обратный.

Действительно, переставляя пределы интегрирования, в силу формулы (1), получим

(2)

то определенный интеграл, взятый по отрезку
[a,b] равен сумме определенных интегралов, взятых по всем
частичным отрезкам.

Пусть

, где

. Полагая F’(x)=f(x)

(3)

V. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла

VI. Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного
числа непрерывных функций равен такой же алгебраической сумме
определенных интегралов от этих функций.

VII. Если подынтегральная функция определенного интеграла
непрерывна и неотрицательна, а верхний предел интегрирования
больше нижнего или равен ему, то определенный интеграл также
неотрицателен.

случае при

имеем

VIII. Неравенство между непрерывными функциями можно интегрировать поэлементно при условии, что верхний предел интегрирования больше нижнего.

Пусть

при

, f(x),g(x) – непрерывные функции на

отрезке [a,b].

Так как

, то в силу свойств VI и VIII имеем

, отсюда

Примеры с решениями

1) Вычислить интеграл
как предел интегральной суммы.

Решение

Здесь

Разделим отрезок [0;1] на n конгруэнтных

частей, тогда

и выберем

формуле Ньютона-Лейбница

Решение. Имеем

3)Оценить интеграл

Решение. Так как

, то при x>10 получим неравенство

Следовательно,