Определённый интеграл

ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ПОНЯТИЮ ОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА

Для функции y=f(x) на отрезке [a;b]:
Разбить отрезок [a;b] на n равных

Пусть графически задана функция f(x), непрерывная на своей области определения D(f)

y

Будем рассматривать её на отрезке

y

а

b

Построим фигуру, ограниченную графиком функции y = f(x), прямыми x =

Разделим основание [АD] трапеции ABCD точками х0=а;х1;х2;…; хn= b (x0= a

Каждой полосе поставим в соответствие прямоугольник, одна сторона которого есть отрезок

Основание i-го прямоугольника равно разности xi+1-хi, которую мы будем обозначать через

Площадь i-го прямоугольника равна:
Сложив площади всех прямоугольников,
получаем приближенное значение площади

Точное значение площади S получается как предел суммы площадей всех прямоугольников
Для

Если предел функции f(x) существует,
то f(x) называется
интегрируемой на отрезке [a,

Определенный интеграл не зависит от выбора первообразной для интегрирования функции.

Теорема.

Теорема.

Для всякой,

Свойства определенного интеграла

Пусть на отрезке существует определенный интеграл

где

4. Константу как множитель можно выносить за знак определенного интеграла.

5. Определенный

6. Если подынтегральная функция неотрицательна, то и определенный интеграл от нее

Геометрический смысл определенного интеграла

Теорема.

Определенный интеграл от
непрерывной неотрицательной на отрезке и численно

Следствие.

Если линейная трапеция ограничена графиком функции прямыми б б б б

Связь и отличие определенных и неопределенных интегралов

Связь:

Как в неопределенном, так и

Отличие:

Неопределенный интеграл – общее выражение для всех первообразных, определенный интеграл –

ТЕОРЕМА О СУЩЕСТВОВАНИИ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ

Если функция непрерывна на то существует такая точка

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

ФОРМУЛА НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦА

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА

ПРИМЕР

Вычислить .

ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА

Теорема. Дано:

Введем новую переменную,
связанную с формулой
b непрерывна

тогда

ПРИМЕР

ПРИМЕР

НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ПРИМЕР

. Вычислить несобственный интеграл
(или установить его расходимость)
.
Этот несобственный интеграл расходится.

ПРИМЕР

Несобственный интеграл

1. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ

Площадь фигуры в декартовых координатах:

Геометрические приложения определенного интеграла

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ

В случае параметрического задания
кривой, площадь фигуры, ограниченной
прямыми

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ

Площадь полярного сектора вычисляют по формуле

.

α

ПРИМЕРЫ

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями и

ПРОДОЛЖЕНИЕ

Получим

ПРИМЕРЫ

Найти площадь эллипса . Параметрические уравнения эллипса

ПРИМЕР

Площадь фигуры, ограниченной лемнискатой Бернулли
и лежащей вне круга

ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЛИНЫ ДУГИ

Если кривая задана параметрическими уравнениями , ,

ДЛИНА ДУГИ В ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТАХ

Если кривая задана уравнением ,
то

ДЛИНА ДУГИ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ

Если кривая задана уравнением в полярных

ПРИМЕРЫ

Вычислить длину дуги кривой
от точки до .
, тогда

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМА ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ.

Объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМА ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ

Объем тела, образованного вращением вокруг оси Oy

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМА ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ

Искомый объем можно найти как разность объемов,