Узы дружбы в мире чисел. Исследовательская работа. 9 класс

в решение проблемы дружественных чисел.

Задачи:
изучить литературу по данному вопросу;
составить список математиков, открывших пары дружественных чисел;
оценить вклад Л.Эйлера в отыскание дружественных чисел.

период.
3. Французский период.

делителей другого.
Первый документ:
«Изложение пифагорейского учения», 3-ий век н.э., Ямвлих из Хальциса.
220 = 22 • 5 • 11, 220 = 1 + 2 + 4 + 71 + 142;
284 = 22 • 71, 284 = 1 + 2 + 4 + 5 +10 + 11 + 20 + 22 + 44+ + 55 + 110.
Вывод: в античный период было дано определение дружественных чисел и найдена единственная пара таких чисел .

· 2n-1 – 1,q = 3 · 2n - 1 и r = 9 · 2n-1 – 1 – простые, то числа А = 2n · р · q и В = 2n · r – дружественные.
«Числа 17 296 и 18 416 являются дружественными; одно из них избыточно, другое недостаточно. Аллах всеведущ».
ибн аль – Банна (1300 г.)
Вывод: в арабский период была сформулирована важнейшая теорема в истории дружественных чисел и найдена вторая пара таких чисел.

1638 г. «переоткрыли» формулы Сабита и вывели формулу, дающую сумму делителей числа по его представлению в виде произведения степеней простых чисел.

Рене Декарт в 1638 году открыл пару дружественных чисел:
9 363 584 и 9 437 056.
Поиск дружественных чисел способствовал открытию малой теоремы Ферма.
Вывод: французский период охарактеризовался открытием третьей пары дружественных чисел.

двух видов:
А = 2n · p · q и B = 2n · r;
А = а · p · q и B = a · r
с простыми p, q, r.
С 1747 г. по 1750 г. Л.Эйлер открыл 59 новых пар дружественных чисел.
Вывод: за три года работы Л. Эйлер открыл в 20 раз больше пар дружественных чисел, чем за 20 веков до него.

Методы Эйлера:
Задавшись общим множителем а, получал для определения p и q диофантово уравнение второй степени;
Задавшись двумя из трех простых чисел p, q, r, искал подходящий общий множитель а;
Задавшись всеми тремя простыми числами, искал подходящий общий множитель а.

целом

Тождества Макдональда
частный случай (1972)
Формула Якоби (1928)
частный случай (важная роль в теории эллиптических функций)
поиски доказательства Тождество Эйлера
эмпирический путь Рекуррентная формула Эйлера
для суммы делителей
Обширные вычисления
Л.Эйлера, связанные
с дружественными числами