Основные теоремы дифференциального исчисления

Доказательство:

Пусть функция y=f(x) дифференцируема на промежутке Х и в точке

принимает

и

По условию функция y=f(x) дифференцируема в точке х0, следовательно ее предел

Геометрический смысл теоремы Ферма

В точке наибольшего или наименьшего
значения, достигаемого внутри

Теорема Ролля

Пусть функция y=f(x) удовлетворяет следующим условиям:
Непрерывна на отрезке

Доказательство:

По теореме Вейерштрасса, функция, непрерывная на отрезке, достигает на нем своего

Геометрический смысл теоремы Ролля

Найдется хотя бы одна точка, в которой
касательная к

Если же хотя бы одно условие теоремы Ролля нарушено, то заключение

Отсутствует дифференцируемость на (a,b).

2

3

Теорема Лагранжа

Пусть функция y=f(x) удовлетворяет следующим условиям:
Непрерывна на отрезке

Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна такая точка ξ,

Доказательство:

Введем новую функцию g(x):

Эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля:
Она

Следовательно, по теореме Ролля существует точка

такая, что

или

отсюда

Эту теорему часто записывают в виде:

Геометрический смысл теоремы Лагранжа

Если перемещать прямую АВ параллельно начальному положению, то найдется хотя бы

Следствие.

Если производная функции y=f(x) равна 0 на некотором промежутке Х,