Основоположник теории потока однородных событий

Сентябрь 12, 2022

Главная
Математика
Основоположник теории потока однородных событий

Содержание

2. Свойство марковости
3. Непрерывный Марковский процесс Рассмотрим два состояния Марковской цепи si и si. Переход из состояния в состояние
4. Непрерывный Марковский процесс Рассмотрим систему из n состояний s1…sn. Пусть имеется имеются интенсивности переходов между каждыми
5. Непрерывный Марковский процесс
6. Непрерывный Марковский процесс
7. Непрерывный Марковский процесс в сбалансированном режиме
8. Пример расчета стационарных вероятностей для непрерывного Марковского процесса Уравнения Колмогорова: P1’=P3λ31-P1 λ12 P2’=P1λ12+P4λ42-P2 λ23 P3’=P2λ23-P3 (λ31+
9. Пример расчета стационарных вероятностей для непрерывноного Марковского процесса Уравнения Колмогорова для стационарного режима: P1’=2P3 - P1
10. Пример расчета стационарных вероятностей для непрерывного Марковского процесса Заменим одну строку матрицы на условие нормировки, добавим
11. Системы массового обслуживания (СМО)
12. Основоположник теории массового обслуживания Андре́й Никола́евич Колмого́ров (1903—1987) Профессор МГУ с 1931 года. Один из крупнейших
13. Основоположник теории массового обслиживания Ангер Краруп Эрланг (1878—1929) Датский математик и инженер, один из основателей ТМО.
14. Процесс гибели и размножения – снова СМО Процесс гибели и размножения представляет собой процесс порождения заявок
15. Процесс гибели и размножения – основа СМО Решение системы уравнений: Система уравнений Колмогорова для стационарного состояния
16. Системы массового обслуживания (СМО) Системы массового обслуживания (СМО) или теория массового обслуживания (ТМО) – это частный
17. Классификация СМО По дисциплине обслуживания По количеству ОУ Одноканальные. Многоканальные. По приоритету С одинаковым приоритетом заявок.
18. Классификация СМО В ТМО существуют стандартные обозначения классов СМО: A/B/m Или A/B/m/K/M, где A,B – тип
19. Пример СМО
20. Пример СМО
21. Формула Литтла
22. Одноканальная СМО с отказами (M/M/1)
23. Одноканальная СМО с ограниченной очередью (M/M/1/K)
24. Одноканальная СМО с ограниченной очередью Pотк=РN= относительная пропускная способность абсолютная пропускная способность: А=q∙λ среднее число находящихся
25. Одноканальная СМО с неограниченной очередью (M/M/1/ ∞)
26. Одноканальная СМО с неограниченной очередью Среднее число заявок в системе Среднее время пребывания заявки в системе
27. Пример расчета одноканальной СМО с неограниченной очередью В порту имеется один причал для разгрузки судов. Интенсивность
28. Многоканальная СМО с отказами (M/M/K)
29. Многоканальная СМО с отказами (M/M/K) Формула Эрланга!
30. Многоканальная СМО с ограниченной очередью ϕ=ρ/n – нагрузка на один канал (M/M/K/∞)
31. Многоканальная СМО с ограниченной очередью (M/M/K/L) Среднее число занятых работой ОУ
32. Многоканальная СМО с неограниченной очередью (M/M/K/∞)
33. Многоканальная СМО с неограниченной очередью Среднее число занятых каналов (M/M/K/∞)
35. Скачать презентацию

Слайд 2

Свойство марковости

Слайд 3

Непрерывный Марковский процесс
Рассмотрим два состояния Марковской цепи si и si. Переход

из состояния в состояние происходит под воздействием пуассоновского потока с интенсивностью λij. Пуассоновский поток обладает свойством отсутствием последействия, поэтому нам не надо будет заботиться о том, как система попала в состояние si.
Рассмотрим элементарный участок на оси времени Δt, примыкающий в точке времени t. Вероятность того, что система, находящаяся в состоянии si, перейдет в состояние si будет равна λijPi.

Слайд 4

Непрерывный Марковский процесс
Рассмотрим систему из n состояний s1…sn. Пусть имеется имеются

интенсивности переходов между каждыми двумя состояниями λij (i≠j), если две вершина не связаны, то интенсивность переходов между ними равна нулю. Обозначим pi(t) вероятность того, система в момент t находится в состоянии si (i=1…n). Пусть pi(t+Δt) вероятность того, что система будет в состоянии si в момент t+Δt. Обозначим эту вероятность A:A={S(t+Δt)=si}.
Событие A состоит из суммы двух возможных событий (A=B+C):
B – система уже была в состоянии si и за время Δt не вышла из него.
C – система была в одном из состоянии, из которых возможен переход в состояние si и за время Δt она перешла в состояние si.
Выясним вероятность события B

Слайд 5

Непрерывный Марковский процесс

Слайд 6

Непрерывный Марковский процесс

Слайд 7

Непрерывный Марковский процесс в сбалансированном режиме

Слайд 8

Пример расчета стационарных вероятностей для непрерывного Марковского процесса
Уравнения Колмогорова:
P1’=P3λ31-P1 λ12
P2’=P1λ12+P4λ42-P2 λ23
P3’=P2λ23-P3

(λ31+ λ34)
P4’=P3λ34-P4 λ42

P1’=2P3 - P1
P2’=P1 + 2P4-0,5P2
P3’=0,5P2 - 6P3
P4’=4P3 - 2P4

Слайд 9

Пример расчета стационарных вероятностей для непрерывноного Марковского процесса
Уравнения Колмогорова
для стационарного режима:
P1’=2P3

- P1 =0
P2’=P1 + 2P4-0,5P2=0
P3’=0,5P2 - 6P3 =0
P4’=4P3 - 2P4 =0

Уравнения Колмогорова
в матричном виде

Слайд 10

Пример расчета стационарных вероятностей для непрерывного Марковского процесса
Заменим одну строку матрицы

на условие нормировки, добавим столбец свободных членов, все элементы которого равны 0 кроме ячейки напротив строки с условием нормировки. Решим систему уравнений и получаем стационарные вероятности.

Слайд 11

Системы массового обслуживания (СМО)

Слайд 12

Основоположник теории массового обслуживания
Андре́й Никола́евич Колмого́ров (1903—1987)
Профессор МГУ с 1931 года.
Один

из крупнейших математиков XX века.
Один из основоположников современной теории вероятностей.
Создатель теории случайных процессов и теории массового обслуживания.

Слайд 13

Основоположник теории массового обслиживания
Ангер Краруп Эрланг (1878—1929)
Датский математик и инженер, один из

основателей ТМО.
1909 год – опубликована работа «Теория вероятностей и телефонные разговоры» (The Theory of Probabilities and Telephone Conversations.) , получившая признание во всем мире.
В его честь названа единица измерения трафика в телекоммуникационных системах – эрланг. 1 эрланг (1 Эрл) эквивалентен разговору двух абонентов в течение 1 часа.
Формулой Эрланга пользуются до сих пор.

Слайд 14

Процесс гибели и размножения – снова СМО
Процесс гибели и размножения представляет

собой процесс порождения заявок и их обработку (гибель) в моделируемой системе.
Этот процесс может быть описан Марковской системой, где каждое состояние связано с только с двумя соседними состояниями (за исключением нулевого и n-го состояний, где n – число состояний в Марковской системе; n может быть равным ∞).
λi - интенсивность рождения заявок;
μi - интенсивность гибели (обслуживания) заявок.

Слайд 15

Процесс гибели и размножения – основа СМО

Решение системы уравнений:
Система уравнений Колмогорова

для стационарного состояния системы рождения и гибели

Слайд 16

Системы массового обслуживания (СМО)
Системы массового обслуживания (СМО) или теория массового обслуживания

(ТМО) – это частный случай непрерывной Марковской системы. ТМО рассматривает наиболее часто встречающийся на практике случай – процессы гибели и размножения.

СМО – это системы из трёх типов элементов:
Источник заявок (ИЗ) - порождает поток заявок.
Обслуживающее устройство (ОУ) – обслуживает заявки.
Очередь ожидания (Оч.). В очередь попадают заявки, в случае занятости ОУ облуживанием предыдущей заявки.

Слайд 17

Классификация СМО
По дисциплине обслуживания
По количеству ОУ
Одноканальные.
Многоканальные.
По приоритету
С одинаковым приоритетом заявок.
С разным

приоритетом заявок.
По времени ожидания
Без ограничения времени ожидания.
С ограничением времени ожидания.

Слайд 18

Классификация СМО
В ТМО существуют стандартные обозначения классов СМО:
A/B/m
Или
A/B/m/K/M, где
A,B – тип

потока входящих событий и дисциплины обслуживания.
m – количество ОУ в СМО.
K – количество мест для заявок в очереди
Типы потока заявок:
M – простейший поток.
Er – поток Эрланга порядка r.
D – детерминированное.
HR- гиперпоказательное порядка R.
G – распределение произвольного типа.

Слайд 19

Пример СМО

Слайд 20

Пример СМО

Слайд 21

Формула Литтла

Слайд 22

Одноканальная СМО с отказами (M/M/1)

Слайд 23

Одноканальная СМО с ограниченной очередью (M/M/1/K)

Слайд 24

Одноканальная СМО с ограниченной очередью
Pотк=РN=
относительная пропускная способность
абсолютная пропускная способность: А=q∙λ
среднее

число находящихся в системе заявок:

среднее время пребывания заявки в системе:

средняя продолжительность пребывания клиента (заявки) в очереди: Wq=Ws- 1/μ;
среднее число заявок (клиентов) в очереди (длина очереди): Lq=λ(1-PN)Wq.

(M/M/1/K)

Слайд 25

Одноканальная СМО с неограниченной очередью (M/M/1/ ∞)

Слайд 26

Одноканальная СМО с неограниченной очередью
Среднее число заявок в системе
Среднее время пребывания

заявки в системе

Средне число заявок под обслуживанием

Время пребывания заявки в очереди

Среднее число работающих ОУ в системе

LSIST=

(M/M/1/∞)

Слайд 27

Пример расчета одноканальной СМО с неограниченной очередью
В порту имеется один причал

для разгрузки судов. Интенсивность потока судов равна 0,4 (судов в сутки). Среднее время разгрузки одного судна составляет 2 суток. Предполагается, что очередь может быть неограниченной длины. Найти показатели эффективности работы причала, а также вероятность того, что ожидают разгрузки не более чем 2 судна.
Решение

Вероятность ожидания не более, чем 2-х судов

Слайд 28

Многоканальная СМО с отказами (M/M/K)

Слайд 29

Многоканальная СМО с отказами (M/M/K)
Формула Эрланга!

Слайд 30

Многоканальная СМО с ограниченной очередью

ϕ=ρ/n – нагрузка на один канал
(M/M/K/∞)

Слайд 31

Многоканальная СМО с ограниченной очередью (M/M/K/L)

Среднее число занятых работой ОУ

Слайд 32

Многоканальная СМО с неограниченной очередью

(M/M/K/∞)

Слайд 33

Основоположник теории потока однородных событий

Содержание

Свойство марковости

Непрерывный Марковский процессРассмотрим два состояния Марковской цепи si и si. Переход

Непрерывный Марковский процессРассмотрим систему из n состояний s1…sn. Пусть имеется имеются

Непрерывный Марковский процесс

Непрерывный Марковский процесс

Непрерывный Марковский процесс в сбалансированном режиме

Пример расчета стационарных вероятностей для непрерывного Марковского процессаУравнения Колмогорова:P1’=P3λ31-P1 λ12P2’=P1λ12+P4λ42-P2 λ23P3’=P2λ23-P3

Пример расчета стационарных вероятностей для непрерывноного Марковского процессаУравнения Колмогоровадля стационарного режима:P1’=2P3

Пример расчета стационарных вероятностей для непрерывного Марковского процессаЗаменим одну строку матрицы

Системы массового обслуживания (СМО)

Основоположник теории массового обслуживания Андре́й Никола́евич Колмого́ров (1903—1987)Профессор МГУ с 1931 года.Один

Основоположник теории массового обслиживанияАнгер Краруп Эрланг (1878—1929)Датский математик и инженер, один из

Процесс гибели и размножения – снова СМОПроцесс гибели и размножения представляет

Процесс гибели и размножения – основа СМО Решение системы уравнений:Система уравнений Колмогорова

Системы массового обслуживания (СМО)Системы массового обслуживания (СМО) или теория массового обслуживания

Классификация СМОПо дисциплине обслуживанияПо количеству ОУОдноканальные.Многоканальные.По приоритетуС одинаковым приоритетом заявок.С разным

Классификация СМОВ ТМО существуют стандартные обозначения классов СМО:A/B/mИлиA/B/m/K/M, гдеA,B – тип

Пример СМО

Пример СМО

Формула Литтла

Одноканальная СМО с отказами (M/M/1)

Одноканальная СМО с ограниченной очередью (M/M/1/K)

Одноканальная СМО с ограниченной очередьюPотк=РN= относительная пропускная способностьабсолютная пропускная способность: А=q∙λсреднее

Одноканальная СМО с неограниченной очередью (M/M/1/ ∞)

Одноканальная СМО с неограниченной очередьюСреднее число заявок в системеСреднее время пребывания

Пример расчета одноканальной СМО с неограниченной очередьюВ порту имеется один причал

Многоканальная СМО с отказами (M/M/K)

Многоканальная СМО с отказами (M/M/K)Формула Эрланга!

Многоканальная СМО с ограниченной очередью ϕ=ρ/n – нагрузка на один канал(M/M/K/∞)

Многоканальная СМО с ограниченной очередью (M/M/K/L) Среднее число занятых работой ОУ

Многоканальная СМО с неограниченной очередью (M/M/K/∞)

Многоканальная СМО с неограниченной очередьюСреднее число занятых каналов(M/M/K/∞)

Похожие презентации

Непрерывный Марковский процесс
Рассмотрим два состояния Марковской цепи si и si. Переход

Непрерывный Марковский процесс
Рассмотрим систему из n состояний s1…sn. Пусть имеется имеются

Пример расчета стационарных вероятностей для непрерывного Марковского процесса
Уравнения Колмогорова:
P1’=P3λ31-P1 λ12
P2’=P1λ12+P4λ42-P2 λ23
P3’=P2λ23-P3

Пример расчета стационарных вероятностей для непрерывноного Марковского процесса
Уравнения Колмогорова
для стационарного режима:
P1’=2P3

Пример расчета стационарных вероятностей для непрерывного Марковского процесса
Заменим одну строку матрицы

Основоположник теории массового обслуживания
Андре́й Никола́евич Колмого́ров (1903—1987)
Профессор МГУ с 1931 года.
Один

Основоположник теории массового обслиживания
Ангер Краруп Эрланг (1878—1929)
Датский математик и инженер, один из

Процесс гибели и размножения – снова СМО
Процесс гибели и размножения представляет

Процесс гибели и размножения – основа СМО

Решение системы уравнений:
Система уравнений Колмогорова

Системы массового обслуживания (СМО)
Системы массового обслуживания (СМО) или теория массового обслуживания

Классификация СМО
По дисциплине обслуживания
По количеству ОУ
Одноканальные.
Многоканальные.
По приоритету
С одинаковым приоритетом заявок.
С разным

Классификация СМО
В ТМО существуют стандартные обозначения классов СМО:
A/B/m
Или
A/B/m/K/M, где
A,B – тип

Одноканальная СМО с ограниченной очередью
Pотк=РN=
относительная пропускная способность
абсолютная пропускная способность: А=q∙λ
среднее

Одноканальная СМО с неограниченной очередью
Среднее число заявок в системе
Среднее время пребывания

Пример расчета одноканальной СМО с неограниченной очередью
В порту имеется один причал

Многоканальная СМО с отказами (M/M/K)
Формула Эрланга!

Многоканальная СМО с ограниченной очередью

ϕ=ρ/n – нагрузка на один канал
(M/M/K/∞)

Многоканальная СМО с ограниченной очередью (M/M/K/L)

Среднее число занятых работой ОУ

Многоканальная СМО с неограниченной очередью

(M/M/K/∞)

Многоканальная СМО с неограниченной очередью
Среднее число занятых каналов
(M/M/K/∞)