Основы математической статистики (МС). Математика – царица наук!

интерпретацию данных.
От лат. status - «состояние, положение вещей»
1746 г. – Г.Ахенваль ввел термин в науку

Получились следующие результаты:
162, 168, 157, 176, 185, 160, 162, 158, 181, 179, 164, 176, 177, 180, 181, 179, 175, 180, 176, 165, 168, 164, 179, 163, 160, 176, 162, 178, 164, 190, 181, 178, 168, 165, 176, 178, 185, 179, 180, 168, 160, 176, 175, 177, 176, 165, 164, 177, 175, 181.

Недостатки данной информации:
Трудно «читается»
Не наглядна
Зани­мает много места

Другие задачи статистики:
полу­чение и хранение информации
выработка различных прогно­зов
оценка их достоверности

Выход:
— пре­образовать данные, получить небольшое количество характеристик начальной информа­ции.
⇒ Одна из основных задач статистики: обработка инфор­мации.

из­мерения

Значения всех резуль­татов измере­ния, перечис­ленные по по­рядку

Генеральная совокупность

Статистическая выборка, статистический ряд

Варианта

Вариационный ряд

Множество всех в принципе возможных результатов измерения

Множество результатов, реально полученных в данном измерении

Одно из значений эле­ментов выборки

Упорядоченное множе­ство всех вариант

Получились следующие результаты:
162, 168, 157, 176, 185, 160, 162, 158, 181, 179, 164, 176, 177, 180, 181, 179, 175, 180, 176, 165, 168, 164, 179, 163, 160, 176, 162, 178, 164, 190, 181, 178, 168, 165, 176, 178, 185, 179, 180, 168, 160, 176, 175, 177, 176, 165, 164, 177, 175, 181.

С некоторым за­пасом можно считать, что рост девятиклассника находит­ся в пределах от 140 до 210 см.
⇒
Общий ряд данных этого измере­ния: 140; 141; 142; ...; 208; 209; 210

1.

Ряд данных — все реальные результаты изме­рения, выписанные в определенном порядке без повторений, например, по возрастанию:
157; 158; 160; 162; 163; 164; 165; 168; 175; 176; 177; 178; 179; 180; 181; 185; 190

Выборка — это данные реального измере­ния роста
(выписаны выше)

2.

3.

Варианта — это любое из чи­сел выборки

4.

такие количества баллов (оценки на экзаменах выставлялись по пятибалльной системе):
20; 19; 12; 13; 16; 17; 15; 14; 16; 20; 15; 19; 20; 20; 15; 13; 19; 14; 18; 17; 12; 14; 12; 17; 18; 17; 20; 17; 16; 17.
Составьте общий ряд данных, выборку из результатов, стоящих на четных ме­стах и соответствующий ряд данных.
Решение:
После получения двойки дальнейшие экзаме­ны не сдаются, поэтому сумма баллов не может быть меньше 12 (12 — это 4 «тройки»). ⇒ Общий ряд данных: 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20
Выборка состоит из 15 результатов: 19; 13; 17; 14; 20; 19; 20; ..., расположенных на четных местах
Ряд данных: 13; 14; 17; 19; 20

Составим таблицу распреде­ления выборки и частот выборки

такие количества баллов (оценки на экзаменах выставлялись по пятибалльной системе):
20; 19; 12; 13; 16; 17; 15; 14; 16; 20; 15; 19; 20; 20; 15; 13; 19; 14; 18; 17; 12; 14; 12; 17; 18; 17; 20; 17; 16; 17.
Составьте общий ряд данных, выборку из результатов, стоящих на четных ме­стах и соответствующий ряд данных.
Решение:
Составим таблицу распреде­ления выборки и часто выборки

2

3

6

2

2

Всего: 5 вариант

Сумма =15
(объем выборки)

Сумма =1
(так всегда)

Иногда измеряется в процентах (·100%)

значения из первой строки таблицы
Отложить по оси ординат — значения из ее второй строки
Построить соответствующие точки в координатной плоскости
Построенные точки для наглядности соединить отрезками
Примечание:
Если заменить вторую строку таблицы ее третьей строкой, то получится график распределения частот выборки.

Таблицы образуют «мостик», по которому от выборок данных можно перейти к функциям и их графикам.
Пример 2.

2

3

6

2

2

Всего: 5 вариант

Сумма =15 (объем выборки)

Сумма =1 (так всегда)

Термин «график распределения частот выборки» заменяют кратким — многоугольник частот или полигон частот.
(polygon – многоугольник)

эк­замена по математике:

Решение:
Выборка объема 40.
Ряд данных — 2; 3; 5; 6; 7; 8; 9; 10
Составим таблицу и построим график

Всего 8 вариант

Сумма = 40

5

3

2

11

9

4

5

1

Сумма = 1

0,125

0,075

0,05

0,275

0,225

0,1

0,125

0,025

Сумма = 100%

12,5

7,5

5

27,5

22,5

10

12,5

2,5

в процентах.

большой вариантой на уча­стки:
«Плохие» оценки ∈ [2; 4]
«Средние» оценки ∈ [5; 7]
«Хорошие» оценки ∈ [8; 10]
Получили интервальный ряд данных: 2—4; 5—7; 8—10.

Пример 3.
Постройте график распределения и много­угольник частот для следующих результатов письменного эк­замена по математике:

8

22

10

0,2

0,55

0,25

20

55

25

быстро
Наглядно видна качественная оценка распределения данных

из большого количества чисел (сотни, тысячи и т. п.).
Если ширина столбцов гистограммы мала, а основания столбцов в объединении дают некоторый промежу­ток, то сама гистограмма похожа на график непре­рывной функции.
Та­кую функцию называют выравнивающей функцией.

Пример 4.
Гистограмма роста женщин, построенная по выборке, в которой было 1375 женщин.

На графике по оси абсцисс отложены величины ошибок («левее или правее» цели), а по оси ординат отложены частоты этих ошибок.

отклонений от среднего размера бобов, а по оси ординат соответствующие частоты

друг на друга.
Такому же закону распределения подчиняется:
Распределение горошин по размеру
Распределение новорож­денных младенцев по весу
Распределение частиц газа по скоростям дви­жения
…
Все эти кривые получаются из одной кривой.
Её называют кривой нормального рас­пределения или, в честь Карла Га­усса, гауссовой кривой.

части плоскости, ограниченной кривой и осью Ох равна 1.
«Ветви» очень быстро приближаются к оси абсцисс: площадь «под гауссовой кривой» на [-3; 3] равна 0,99

Для значений функции составлены таблицы

e (число Эйлера) = 2,7182818284590452353602874713527…

распределения

Принцип действия:
Падающие сверху шарики распределяются между правильными шестиугольниками
В результате попадают на горизонтальную поверхность
Образуют картинку, похожую на «подграфик» гауссовой кривой.

числовыми характеристиками
1) Размах (R)
— это разница между наибольшей и наименьшей вариантой
(R = Xmax - Xmin)
2) Мода (Mo)
— это наиболее часто встречающаяся ее варианта

Длина области определения

Точка, в которой достигается максимум
(Если одна, то выборка – унимодальная)

вариант называется варианта, записанная посередине в упорядоченной выборке
Медианой выборки с четным числом вариант называется среднее арифметическое двух вариант, записанных посередине в упорядоченной выборке

26; 15; 21; 26

1.

2.

Хmax: 32
Хmin: 15
R = Хmax – Хmin = 32 – 15 = 17

3.

Мо = 26

б) 21; 18,5; 25,3; 18,5; 17,9

1.

2.

Xmax: 25,3
Xmin: 17,9
R = Xmax – Xmin = 25,3 – 17,9 = 7,4

3.

Мо = 18,5

число оказалось стертым.
Восстановите его, зная, что среднее значение этих чисел равно 14.
Решение:
Пусть искомое число Х

Ответ: 15

52;
Пример 10.
Зная, что в упорядоченном ряду содержится m чисел, где m — нечетное число, укажите номер члена, являющегося медианой, если m равно: 5

Решение:
1) Упорядочить выборку: 30, 32, 37, 40, 41, 42, 45, 49, 52
2) Число членов ряда: n = 9
3) Серединный элемент (5-ый): 41
4) Ме = 41

Решение:
Номер члена, являющегося медианой: 3

на 6. Изменятся ли при этом и как:
а) среднее значение;
б) размах;
в) мода;
г) медиана?

Увеличится на 1/2

Увеличится на 6

Не изменится (?)

Не изменится (?)

вариант выборки от их среднего значения.
6) Дисперсия (D)
Величина колебания вариант около их среднего значения
7) Среднее квадратичное отклонение (σ - сигма)
8) Коэффициент вариации (CV)

0 ≤ CV ≤ 10% - выборка однородна
11 ≤ CV ≤ 20% - средняя степень однородность
21 ≤ CV – низкая степень однородности

50; 59; 60; 55; 49

319

7,2

3,2

5,8

6,8

1,8

4,2

29

51,4

10,0

34,0

46,7

3,4

17,4

162,9

0 ≤ CV ≤ 10% - выборка однородна

Р в зависимости от того, выпал «орел» или «решка».
После n бросаний при неизменных условиях этого испытания, получится случайная последовательность.
Например: О, О, Р, О, Р, Р, О, Р, Р, Р, О, О, Р, О, Р, О, О, Р, Р, О, О, Р...
Т.о., имеется выборка, в которой две варианты О и Р.
Сделаем расчеты для указанной последовательности.

При достаточно боль­шом числе бросаний частота приближается к некоторому по­стоянному числу.
В данном случае к 0,5.

случаях.

Бросил монету 24000 раз, и при этом герб выпал в 12012 случаях.

опыта в неизменных условиях частота появления определенного случайного события практически совпадает с некоторым постоянным числом. Такое число назы­вают статистической вероятностью этого события.
СУ имеет место при:
Выпадении определенно­го числа очков на игральных кубиках
Рождении мальчиков
Времени восхода солнца
…
СУ соединяет реально проводимые испытания с теоретическими моделями этих испытаний.

или иной буквы (или пробела между словами) стремятся при увеличении объема текста к некоторым кон­стантам.
Таблицы, в которых собраны буквы того или иного языка и соответствующие константы, называют частотными таблицами языка.
Таблица для букв русского ал­фавита и пробелов
(частоты приведены в процентах)

Многие считают, что в 23 года М. А. Шоло­хов такую глубокую и поистине великую книгу написать не мог.
Особенно жаркими были споры в момент при­суждения М. А. Шолохову Нобелевской премии в области литературы (1965 г.).
Статистический анализ романа и сличе­ние его с текстами, в авторстве которых не было сомнений, подтвердил гипотезу о М. А. Шолохове, как об истинном авторе «Тихого Дона».

М.А. Шолохов
(1905 — 1984)

были опубликованы «очерняющие прогрессивный характер социа­листической системы» литературные произведения.
Автором был А. Терц, но это псевдоним.
Был проведен сравнительный ана­лиз опубликованных «вредительских» текстов и результаты были сличены с произведениями ряда возможных кандидатов в авторы.

А.Д. Синявский (1925 — 1997)

Ответ оказался однозначным:
настоящим автором был литературовед А.Д. Синявский.
В 1967 году («Процесс Синяв­ского и Даниэля») получил 5 лет тюрьмы и 7 лет ссылки.