Отображения. Тождественное отображение

Август 2, 2022

Главная
Математика
Отображения. Тождественное отображение

Содержание

2. Определение 1. Говорят, что задано отображение f: A → B, если заданы, во-первых, множество А (называемое
3. Упражнение 1. Петя сопоставил каждому городу России, где он бывал, число 1, каждому городу России, где
4. Упражнение 2 «Вершины A и C параллелограмма ABCD жестко закреплены, а вершина B пробегает прямую l.
5. Z0 – центральная симметрия с центром O (O – середина отрезка BD). Она является отображением плоскости
6. Упражнение 3 «a1 = 1, an+1 = an+1/n(n+1) при всех n ≥ 1. Чему равно a2018?»
7. Отображение, область определения которого --- множество всех натуральных чисел, называется последовательностью. У последовательностей аргумент по традиции
8. Упражнение 4 Задайте формулами последовательности: а) 2, 5, 8, 11, …; б) 2, 5, 10, 17,
9. Упражнение 5 Имеются три автомата. Первый прибавляет к любому введённому в него числу единицу, второй —
10. f(x) = x+1, g(y) = y2, h(z) = z-3. h(g(f(x))) = (x+1)2-3 Отображение из числового множества
11. Определение 2. Пусть заданы отображения f: A → B и g: B → C. Сопоставим каждому
12. Отображения из числовых множеств в числовые называют числовыми функциями. В упражнении 5 функции были заданы описаниями.
13. Тождественное отображение Последовательность г) из упражнения 4 — пример тождественного отображения, при котором каждый элемент переходит
14. Упражнение 7 Докажите, что все точки графика арифметической прогрессии an = a+nd (n = 0, 1,
15. Доказательство: Это график линейной функции y = dx+a. Как видим, графики у арифметической прогрессии и функции
16. Упражнение 8 Проказница Мартышка, Осел, Козел и косолапый Мишка, а также Коза с баяном расселись, чтобы
17. Отображения из упражнения 8 удобно задавать орграфом или таблицей.
18. Определение 3 Если развернуть все стрелочки на их графах, задающих отображения в упражнении 8, то снова
19. Упражнение 9 Докажите следующие свойства обратных отображений: а) Если отображение f обратимо, то обратимо и отображение
20. Очевидно, отображение f: A → B обратимо тогда и только тогда, когда одновременно обладает двумя свойствами:
21. Определение 4 Отображение f: A → B называется инъективным/сюръективным, если в при этом отображении каждый элемент
22. Упражнение 10. Обратима ли композиция отображений h(g(f(x))) = (x+1)2-3 из упражнения 5?
23. Упражнение 11 Подберите в качестве областей определения и значений такие числовые множества, чтобы формула f(x) =
24. Упражнение 12 Многие комбинаторные задачи можно понимать как задачи о подсчёте тех или иных отображений. Так
26. Скачать презентацию

Слайд 2

Определение 1.
Говорят, что задано отображение f: A → B, если заданы, во-первых, множество

А (называемое областью определения), во-вторых, множество В (называемое областью значений), и, в третьих, правило f, которое каждому элементу а из множества A ставит в соответствие ровно один элемент f(a) из множества B. Элемент f(a) называют образом элемента a при отображении f, сам элемент a при этом называется аргументом. Множество f(C), состоящее из образов всех точек множества C ⊂ A, называется образом множества С.

Слайд 3

Упражнение 1.
Петя сопоставил каждому городу России, где он бывал, число

1, каждому городу России, где бывал его друг Вася, число 2, а каждому городу России, где не бывали ни он ни Вася, — число 0. Является ли такое сопоставление отображением из множества всех городов России в множество {0, 1, 2}?

Слайд 4

Упражнение 2
«Вершины A и C параллелограмма ABCD жестко закреплены, а

вершина B пробегает прямую l. Какую фигуру «вычерчивает» вершина D?»
Какое отображение работает в этой задаче?

Слайд 5

Z0 – центральная симметрия с центром O (O – середина отрезка BD). Она

является отображением плоскости в себя, как и все другие движения и подобия плоскости.
D = Z0(B)
A m = Z0(l)
O
С
B l

Слайд 6

Упражнение 3
«a1 = 1, an+1 = an+1/n(n+1) при всех n ≥ 1. Чему равно a2018?»
О

каком отображении идет речь в этой задаче?

Слайд 7

Отображение, область определения которого --- множество всех натуральных чисел, называется последовательностью.

У последовательностей аргумент по традиции пишут как индекс: an вместо a(n).
Последовательность в упражнении 3 задана рекуррентно (индуктивно). Чтобы, работая с ней, обойтись без длинных вычислений, её надо задать формулой, выражающей образ натурального числа n (то есть n-ый член последовательности) через само это число.

Слайд 8

Упражнение 4
Задайте формулами последовательности:
а) 2, 5, 8, 11, …;
б)

2, 5, 10, 17, …;
в) 1, 2, 6, 24, …;
г) 1, 2, 3, …

Слайд 9

Упражнение 5
Имеются три автомата. Первый прибавляет к любому введённому в

него числу единицу, второй — возводит введённое в него число в квадрат, третий — вычитает 3. В первый автомат ввели число x, результат y ввели во второй автомат, а новый результат z — в третий. Получилось число t.
а) Выразите t через x.
б) Можно ли по известному t восстановить x?
в) Каким будет ответ на вопрос б), если вто-рой автомат возводит не в квадрат, а в куб?

Слайд 10

f(x) = x+1, g(y) = y2, h(z) = z-3.

h(g(f(x))) = (x+1)2-3
Отображение из числового множества в числовое называется числовой функцией, а образы аргументов – значениями функции.
В упражнении 5 функции были заданы описаниями. Решая его, мы заменили эти описания формулами. Именно так числовые функции обычно и задают.

Слайд 11

Определение 2.
Пусть заданы отображения f: A → B и g: B → C. Сопоставим каждому элементу

x∈A элемент y = f(x) ∈ B, а тому — элемент z = g(y) ∈ C. Получится «сквозное» отображение h: A → C, заданное правилом h(x) = g(f(x)). Оно называется композицией отображений g и f. Операция композиции обозначается кружочком: пишут h = g°f.

У функций, заданных формулами, легко искать композицию: достаточно подставить одну формулу в другую, что мы в упр. 5 и сделали.

Слайд 12

Отображения из числовых множеств в числовые называют числовыми функциями.
В упражнении

5 функции были заданы описаниями. Решая его, мы заменили эти описания формулами. Именно так числовые функции обычно и задают: из школьного курса Вам известны линейные функции f(x) = ax+b, квадратичная функция f(x) = x2, обратная пропорциональность f(x) = 1/x.
У функций, заданных формулами, легко искать композицию: достаточно подставить одну формулу в другую.

Слайд 13

Тождественное отображение
Последовательность г) из упражнения 4 — пример тождественного отображения, при

котором каждый элемент переходит в себя, а область определения совпадает с областью значений. Тождественное отображение множества А обозначается idA.
Упражнение 6. Пусть f: A → B — произвольное отображение. Найдите композиции idB°f и f°idA.

Слайд 14

Упражнение 7
Докажите, что все точки графика арифметической прогрессии an = a+nd (n = 0, 1, …) лежат

на одной прямой.

Слайд 15

Доказательство: Это график линейной функции y = dx+a.
Как видим, графики у арифметической

прогрессии и функции из R в R, заданной тем же законом, различны, то есть отображения, заданные одной и той же формулой, но с разными областями определения, имеют разные свойства (ещё пример различия в свойствах: линейную функцию из R в R рекуррентно не задашь).

Слайд 16

Упражнение 8
Проказница Мартышка, Осел, Козел и косолапый Мишка, а также Коза

с баяном расселись, чтобы сыграть концерт. Играли они отвратительно, и потому дважды менялись местами. Сначала Мартышка села на место Осла, Осел — на место Козла, Козел — на место Козы, а Коза — на место Мишки, а Мишка — на оставшееся место. Затем Коза поменялась местами с Ослом, а Козел — с Мартышкой. Выясните, кто на чьем месте в итоге оказался.

Слайд 17

Отображения из упражнения 8 удобно задавать орграфом или таблицей.

Слайд 18

Определение 3
Если развернуть все стрелочки на их графах, задающих отображения в

упражнении 8, то снова получатся отображения. Такие отображения называются обратимыми, а отображение f–1: B → A, получающееся из обратимого отображения f: A → B «разворотом всех стрелочек» — обратным к отображению f.
Аналитически определение обратного отображения записывается так:
x = f–1(y) ⇔ y = f(x).

Слайд 19

Упражнение 9
Докажите следующие свойства обратных отображений:
а) Если отображение f обратимо, то

обратимо и отображение f–1, и обратным к нему является отображение f. б) Отображения g: B → A и f: A → B являются взаимно обратными тогда и только тогда, когда g°f = idA и f°g = idB. в) Если отображения f: A → B и g B → C обратимы, то обратима и их композиция, причём (g°f)–1 = f–1°g–1.

Слайд 20

Очевидно, отображение f: A → B обратимо тогда и только тогда, когда одновременно обладает

двумя свойствами:
1) в каждый элемент множества B «входит стрелочка», то есть каждый элемент из B является образом какого-то элемента из A;
2) ни в какой элемент множества B не входит двух стрелочек, то есть разные элементы множества A переходят в разные элементы множества B.
Первое свойство называется сюръективностью, второе — инъективностью, а оба вместе — биективностью или взаимной однозначностью.
Инъективные, сюръективные и биективные отображения коротко называют инъекциями, сюръекциями и биекциями. Биекции множества на себя называют ещё преобразованиями этого множества. Например, движения и подобия плоскости являются её преобразованиями.

Слайд 21

Определение 4
Отображение f: A → B называется инъективным/сюръективным, если в при этом отображении каждый

элемент множества B переходит не больше/не меньше одного элемента множества A. Отображение, которое одновременно и инъективно, и сюръективно, называется биективным или взаимно-однозначным.

Отображение имеет обратное тогда и только тогда, когда оно биективно.

Слайд 22

Упражнение 10.
Обратима ли композиция отображений
h(g(f(x))) = (x+1)2-3
из упражнения 5?

Слайд 23

Упражнение 11
Подберите в качестве областей определения и значений такие числовые

множества, чтобы формула f(x) = x2 задавала отображение, которое
а) биективно;
б) инъективно, но не сюръективно;
в) сюръективно, но не инъективно;
г) не сюръективно и не инъективно.

Слайд 24

Упражнение 12
Многие комбинаторные задачи можно понимать как задачи о подсчёте тех

или иных отображений. Так преобразования конечного множества известны вам под названием его перестановок. Сформулируйте как задачи о подсчёте количества отображений задачи о нахождении
а) числа размещений с повторениями n предметов по m местам;
б) числа размещений (без повторений) n предметов по m местам;
в) числа перестановок с повторениями n1 предметов типа 1, n2 предметов типа 2, …, nk предметов типа k;
г) числа всех подмножеств данного конечного множества;
д) числа разбиений множества {1, 2, …, n} на k непустых подмножеств, выстроенных в ряд.

Отображения. Тождественное отображение

Содержание

Определение 1. Говорят, что задано отображение f: A → B, если заданы, во-первых, множество

Упражнение 1. Петя сопоставил каждому городу России, где он бывал, число

Упражнение 2 «Вершины A и C параллелограмма ABCD жестко закреплены, а

Z0 – центральная симметрия с центром O (O – середина отрезка BD). Она

Упражнение 3 «a1 = 1, an+1 = an+1/n(n+1) при всех n ≥ 1. Чему равно a2018?» О

Отображение, область определения которого --- множество всех натуральных чисел, называется последовательностью.

Упражнение 4 Задайте формулами последовательности:а) 2, 5, 8, 11, …; б)

Упражнение 5 Имеются три автомата. Первый прибавляет к любому введён­ному в

f(x) = x+1, g(y) = y2, h(z) = z-3.

Определение 2. Пусть заданы отображения f: A → B и g: B → C. Сопоставим каждому элементу

Отображения из числовых множеств в числовые называют числовыми функциями. В упражнении

Тождественное отображениеПоследовательность г) из упражнения 4 — пример тождественного отображения, при

Упражнение 7Докажите, что все точки графика арифметической прогрессии an = a+nd (n = 0, 1, …) лежат

Доказательство: Это график линейной функции y = dx+a. Как видим, графики у арифметической

Упражнение 8Проказница Мартышка, Осел, Козел и косолапый Мишка, а также Коза