Правило Лопиталя раскрытия неопределенности вида

Июль 27, 2022

Главная
Математика
Правило Лопиталя раскрытия неопределенности вида

Содержание

2. Если функции f(x) и g(x) непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки x0 кроме, быть может, самой
3. Если дифференцируемая на интервале (a,b) функция y=f(x) возрастает (убывает), то для . Теорема Возрастание и убывание
4. Выпуклость функции Отрезком называется множество точек, удовлетворяющих равенству Определение
5. Выпуклость функции Функция y=f(x) называется выпуклой вниз (вогнутой) на промежутке X, если для любых двух значений
6. Выпуклость функции Функция y=f(x) называется выпуклой вверх (выпуклой) на промежутке X, если для любых двух значений
7. Если функция y=f(x) имеет то эта функция выпукла вниз(вверх) на интервале (a,b). Теорема Выпуклость функции (достаточное
8. Точки перегиба Точкой перегиба графика непрерывной функции называется точка, разделяющая интервалы,в которых функция выпукла вниз и
9. Максимум и минимум функции Точка называется точкой максимума функции y=f(x), если Определение Точка называется точкой минимума
10. Для того, чтобы функция y=f(x) имела экстремум в точке необходимо, чтобы ее производная в этой точке
11. Если непрерывная функция y=f(x) дифференцируема в некоторой - окрестности критической точки и при переходе через нее
12. Первое достаточное условие экстремума Максимум и минимум функции - точка максимума - точка минимума
13. Выбрать те, которые являются внутренними точками области определения функции Максимум и минимум функции Найти критические точки
14. Найти экстремум функции не существуют при и + + - - точка максимума - максимум функции
15. Если в точке , а существует и , то если , то в точке функция имеет
16. Вертикальная асимптота Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки x0 (исключая, быть может, саму эту
17. Горизонтальная асимптота Пусть функция y=f(x) определена при достаточно больших x и .Тогда прямая y=b является горизонтальной
18. Наклонная асимптота Пусть функция y=f(x) определена при достаточно больших x и существуют конечные пределы и .
19. Исследование на наличие асимптот y=0 – горизонтальная левосторонняя асимптота Так как , то вертикальных асимптот нет
20. Исследование на наличие асимптот x=1 – вертикальная асимптота при Так как и , то y=x+1 –
21. Найти (если возможно) точки пересечения графика с осями координат Общая схема исследования функции и построения графика
22. Исследовать функцию и построить ее график Точки пересечения с осями координат OX: y=0 - точки пересечения
23. Исследовать функцию и построить ее график Вертикальных асимптот нет, так как функция непрерывна - функция ни
24. Исследовать функцию и построить ее график при не существует при + + - - точка максимума
25. Исследовать функцию и построить ее график не существует при - точки перегиба + - -
27. Скачать презентацию

Слайд 2

Если функции f(x) и g(x) непрерывны и дифференцируемы в
окрестности точки

x0 кроме, быть может, самой точки x0 и
пусть в этой окрестности и
Если , то

Пример:

Правило Лопиталя раскрытия неопределенности вида

Слайд 3

Если дифференцируемая на интервале (a,b) функция
y=f(x) возрастает (убывает), то для

Теорема

Возрастание и убывание функции

(необходимое условие возрастания и убывания функции)

Если функция y=f(x) дифференцируемая на интервале
(a,b) и , то эта функция
возрастает (убывает) на интервале (a,b).

Теорема

(достаточное условие монотонности функции)

Слайд 4

Выпуклость функции
Отрезком называется множество точек,
удовлетворяющих равенству
Определение

Слайд 5

Выпуклость функции
Функция y=f(x) называется выпуклой вниз (вогнутой)
на промежутке X, если

для любых двух значений
из этого промежутка выполняется неравенство

Определение

y=f(x)

Если функция выпукла вниз, то
отрезок, соединяющий любые
точки графика, целиком лежит над
графиком функции.

Слайд 6

Выпуклость функции
Функция y=f(x) называется выпуклой вверх (выпуклой)
на промежутке X, если

для любых двух значений
из этого промежутка выполняется неравенство

Определение

y=f(x)

Если функция выпукла вниз, то
отрезок, соединяющий любые
точки графика, целиком лежит под
графиком функции.

Слайд 7

Если функция y=f(x) имеет
то эта функция выпукла вниз(вверх) на интервале (a,b).
Теорема

Выпуклость функции

(достаточное условие выпуклости функции вверх(вниз))

Слайд 8

Точки перегиба
Точкой перегиба графика непрерывной функции называется
точка, разделяющая интервалы,в которых

функция выпукла
вниз и вверх.

Определение

Теорема

(достаточное условие существования точки перегиба)

Если при переходе через точку , в которой она равна
нулю или не существует меняет знак, то точка является
точкой перегиба ее графика.

Слайд 9

Максимум и минимум функции
Точка называется точкой максимума функции y=f(x),
если
Определение
Точка называется точкой

минимума функции y=f(x),
если

Определение

Максимум(минимум) функции называется экстремумом функции.
Функция может иметь экстремум лишь во внутренних точках области определения. Поэтому часто экстремум функции называют локальным экстремумом.

Слайд 10

Для того, чтобы функция y=f(x) имела экстремум в
точке необходимо, чтобы ее

производная в этой
точке равнялась нулю или не существовала.

Необходимое условие экстремума

Максимум и минимум функции

Точки, в которых производная функции равна нулю
или не существует, называются критическими.

Определение

Слайд 11

Если непрерывная функция y=f(x) дифференцируема
в некоторой - окрестности критической точки и
при

переходе через нее (слева направо) производная
меняет знак с пляса на минус, то - точка
максимума; с минуса на плюс, то - точка минимума.

Теорема

Максимум и минимум функции

(1-ое достаточное условие экстремума)

Слайд 12

Первое достаточное условие экстремума
Максимум и минимум функции
- точка максимума
- точка минимума

Слайд 13

Выбрать те, которые являются внутренними
точками области определения функции
Максимум и

минимум функции

Найти критические точки функции y=f(x)

Правило исследования функции на экстремум

Исследовать знак производной слева и
справа от исследуемой внутренней критической точки

Найти экстремумы функции y=f(x)

Найти область определения функции y=f(x)

Слайд 14

Найти экстремум функции
не существуют при и
+
+
-
- точка максимума
- максимум функции
-

точка минимума

- минимум функции

Слайд 15

Если в точке , а существует и
, то если ,

то в точке функция
имеет максимум, если , то в точке функция
имеет минимум.

Теорема

Максимум и минимум функции

(2-ое достаточное условие экстремума)

Слайд 16

Вертикальная асимптота
Пусть функция y=f(x) определена в некоторой
окрестности точки x0 (исключая,

быть может, саму эту
точку) и хотя бы один из пределов или
. Тогда x= x0 является вертикальной
асимптотой графика функции y=f(x).

y=ln x

Вертикальные асимптоты следует
искать в точках разрыва функции
или на концах ее области определения

x= 0 – вертикальная асимптота графика функции y=lnx

Слайд 17

Горизонтальная асимптота
Пусть функция y=f(x) определена при достаточно
больших x и .Тогда

прямая y=b является
горизонтальной асимптотой графика функции y=f(x).

Если конечен только один из пределов или
то функция имеет лишь левостороннюю y=bл или правостороннюю y=bп горизонтальную асимптоту.

y= 0 – левосторонняя горизонтальная асимптота графика функции

Слайд 18

Наклонная асимптота
Пусть функция y=f(x) определена при достаточно
больших x и существуют конечные

пределы
и . Тогда y=kx+b является наклонной
асимптотой графика функции y=f(x).

Если функция может иметь наклонную асимптоту.

Наклонная асимптота так же может быть правосторонней или левосторонней.

Слайд 19

Исследование на наличие асимптот
y=0 – горизонтальная левосторонняя асимптота
Так как
, то вертикальных

асимптот нет

Слайд 20

Исследование на наличие асимптот
x=1 – вертикальная асимптота при
Так как
и
, то
y=x+1 –

наклонная асимптота при

Слайд 21

Найти (если возможно) точки пересечения графика с
осями координат
Общая схема исследования

функции и построения графика

Найти область определения функции

Найти интервалы знакопостоянства функции

Исследовать функцию на четность (нечетность)

Найти асимптоты графика функции

Найти интервалы монотонности функции

Найти экстремумы функции

Найти интервалы выпуклости и точки перегиба
графика функции

Слайд 22

Исследовать функцию и построить ее график
Точки пересечения с осями координат

OX: y=0

- точки пересечения с осью OX

OY: x=0

- точка пересечения с осью OY

Слайд 23

Исследовать функцию и построить ее график
Вертикальных асимптот нет, так как

функция непрерывна

- функция ни четна, ни нечетна

горизонтальных асимптот нет

наклонная асимптота

Слайд 24

Исследовать функцию и построить ее график
при
не существует при
+
+
-
- точка

максимума

- точка минимума

- минимум функции

- максимум функции

Слайд 25

Исследовать функцию и построить ее график
не существует при
- точки

перегиба

Правило Лопиталя раскрытия неопределенности вида

Содержание

Если функции f(x) и g(x) непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки

Если дифференцируемая на интервале (a,b) функция y=f(x) возрастает (убывает), то для

Выпуклость функцииОтрезком называется множество точек,удовлетворяющих равенствуОпределение

Выпуклость функцииФункция y=f(x) называется выпуклой вниз (вогнутой) на промежутке X, если

Выпуклость функцииФункция y=f(x) называется выпуклой вверх (выпуклой) на промежутке X, если

Если функция y=f(x) имеетто эта функция выпукла вниз(вверх) на интервале (a,b).Теорема

Точки перегибаТочкой перегиба графика непрерывной функции называется точка, разделяющая интервалы,в которых

Максимум и минимум функцииТочка называется точкой максимума функции y=f(x),еслиОпределениеТочка называется точкой

Для того, чтобы функция y=f(x) имела экстремум вточке необходимо, чтобы ее

Если непрерывная функция y=f(x) дифференцируемав некоторой - окрестности критической точки ипри

Первое достаточное условие экстремумаМаксимум и минимум функции- точка максимума- точка минимума

Выбрать те, которые являются внутренними точками области определения функцииМаксимум и

Найти экстремум функции не существуют при и++-- точка максимума- максимум функции-

Если в точке , а существует и , то если ,

Вертикальная асимптотаПусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки x0 (исключая,

Горизонтальная асимптотаПусть функция y=f(x) определена при достаточно больших x и .Тогда

Наклонная асимптотаПусть функция y=f(x) определена при достаточнобольших x и существуют конечные

Исследование на наличие асимптотy=0 – горизонтальная левосторонняя асимптотаТак как, то вертикальных

Исследование на наличие асимптотx=1 – вертикальная асимптота приТак каки, тоy=x+1 –

Найти (если возможно) точки пересечения графика с осями координатОбщая схема исследования

Исследовать функцию и построить ее график Точки пересечения с осями координат

Исследовать функцию и построить ее график Вертикальных асимптот нет, так как

Исследовать функцию и построить ее графикпри не существует при ++-- точка

Исследовать функцию и построить ее график не существует при - точки

Похожие презентации

Если функции f(x) и g(x) непрерывны и дифференцируемы в
окрестности точки

Если дифференцируемая на интервале (a,b) функция
y=f(x) возрастает (убывает), то для

Выпуклость функции
Отрезком называется множество точек,
удовлетворяющих равенству
Определение

Выпуклость функции
Функция y=f(x) называется выпуклой вниз (вогнутой)
на промежутке X, если

Выпуклость функции
Функция y=f(x) называется выпуклой вверх (выпуклой)
на промежутке X, если

Если функция y=f(x) имеет
то эта функция выпукла вниз(вверх) на интервале (a,b).
Теорема

Точки перегиба
Точкой перегиба графика непрерывной функции называется
точка, разделяющая интервалы,в которых

Максимум и минимум функции
Точка называется точкой максимума функции y=f(x),
если
Определение
Точка называется точкой

Для того, чтобы функция y=f(x) имела экстремум в
точке необходимо, чтобы ее

Если непрерывная функция y=f(x) дифференцируема
в некоторой - окрестности критической точки и
при

Первое достаточное условие экстремума
Максимум и минимум функции
- точка максимума
- точка минимума

Выбрать те, которые являются внутренними
точками области определения функции
Максимум и

Найти экстремум функции
не существуют при и
+
+
-
- точка максимума
- максимум функции
-

Если в точке , а существует и
, то если ,

Вертикальная асимптота
Пусть функция y=f(x) определена в некоторой
окрестности точки x0 (исключая,

Горизонтальная асимптота
Пусть функция y=f(x) определена при достаточно
больших x и .Тогда

Наклонная асимптота
Пусть функция y=f(x) определена при достаточно
больших x и существуют конечные

Исследование на наличие асимптот
y=0 – горизонтальная левосторонняя асимптота
Так как
, то вертикальных

Исследование на наличие асимптот
x=1 – вертикальная асимптота при
Так как
и
, то
y=x+1 –

Найти (если возможно) точки пересечения графика с
осями координат
Общая схема исследования

Исследовать функцию и построить ее график
Точки пересечения с осями координат

Исследовать функцию и построить ее график
Вертикальных асимптот нет, так как

Исследовать функцию и построить ее график
при
не существует при
+
+
-
- точка

Исследовать функцию и построить ее график
не существует при
- точки