Предел функции в точке

точке х = а

f(a) – не существует, т.к. в точке х =а функция у = f(х) не определена

f(a) существует, но отличается от b

f(a) = b

*

называют непрерывной в точке х = а, если выполняется соотношение

Если выражение f(х) составлено из рациональных, иррациональных, тригонометрических и обратных тригонометрических выражений, то функция у = f(х) непрерывна в любой точке , в которой определено выражение f(х).

*

Функцию у = f(х) называют непрерывной на промежутке Х, если она непрерывна в каждой точке промежутка.

b+c

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ ФУНКЦИИ

2. Предел произведения равен произведению пределов
= b • c

3. Предел частного равен частному пределов (с≠0)
= b/c

4.

Правила вычисления пределов.

*

при этом получается конечное число, то предел равен этому числу.

Если при подстановки предельного значения x0 в функцию f(x) получаются выражения вида:

то предел будет равен:

выражения следующих видов:

Эти выражения называются неопределенности, а вычисление пределов в этом случае называется раскрытие неопределенности.

на множители числитель и знаменатель дроби

Если f(x) – иррациональная дробь, необходимо умножить числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное числителю.

дробь необходимо разделить числитель и знаменатель дроби на x в старшей степени

функция y=f(x), область определения нашей функции содержит луч [a; +∞), и пусть прямая y=b является горизонтальной асимптотой графика функции y=f(x), запишем все это на математическом языке:

Предел функции на бесконечности.

Предел функции на плюс бесконечности.

Будем читать наше выражение как:
предел функции y=f(x) при x стремящимся к плюс бесконечности равен b

нашей функции содержит луч (-∞; a], и пусть прямая y=b является горизонтальной асимптотой графика функции y=f(x), запишем все это на математическом языке:

Предел функции на бесконечности.

Будем читать наше выражение как:
предел функции y=f(x) при x стремящимся к минус бесконечности равен b

Предел функции на минус бесконечности.

функции на бесконечности.

Тогда принято записывать как:

или

предел функции y=f(x) при x стремящимся к бесконечности равен b

определения – множество действительных чисел.
f(x)- непрерывная функция

Решение:
Нам надо построить непрерывную функцию на (-∞; +∞). Покажем пару примеров нашей функции.

утверждениями:
1) Для любого натурально числа m справедливо следующее соотношение:
2) Если

то:

а) Предел суммы равен сумме пределов:
б) Предел произведения равен произведению пределов:
в) Предел частного равен частному пределов:
г) Постоянный множитель можно вынести за знак предела:

Основные свойства.

x.

Воспользуемся свойством предел частного равен частному пределов:

Пример.

Получим:

Ответ:

стремящимся к бесконечности.

Решение.

Разделим числитель и знаменатель дроби на x в третьей степени.

Воспользуемся свойствами предела на бесконечности

Предел числителя равен: 5-0=5; Предел знаменателя равен: 10+0=10

Пример.

стремящимся к бесконечности.

Решение.

Разделим числитель и знаменатель дроби на x в третьей степени.

Воспользуемся свойствами предела на бесконечности

Предел числителя равен: 0; Предел знаменателя равен: 8

Пример.

y=f(x). Такой что предел при x стремящимся к плюс бесконечности равен 7, а при x стремящимся к минус бесконечности 3.
Построить график непрерывной функции y=f(x). Такой что предел при x стремящимся к плюс бесконечности равен 5 и функция возрастает.
Найти пределы:
Найти пределы: