Содержание
- 2. Содержание Определение промежутков возрастания и убывания функции (исследование функции на монотонность) Нахождение точек экстремума функции Построение
- 3. Исследование функции на монотонность (т.е. определение промежутков возрастания и убывания функции).
- 4. Исследовать функцию на монотонность – это значит выяснить, на каких промежутках из области определения функция возрастает,
- 5. Вспомним
- 6. Возрастание и убывание функции можно изобразить так Иду в гору. Функция возрастает на промежутке[b;a] Иду под
- 7. Для определения промежутков возрастания и убывания функции можно использовать и производную .
- 8. Теорема: Если f(x) – непрерывна на промежутке и имеет f´(x), то а) если f´(x) > 0,
- 9. Алгоритм исследования функции на монотонность Найти производную функции f ΄(х) Найти стационарные (f ΄(х) = 0)
- 10. Определения Внутренние точки области определения функции, в которых производная функции равна нулю, называются стационарными. Внутренние точки
- 11. Например: найти промежутки монотонности функции f(x) = x³ - 6x² + 9x – 1 1) f´(x)
- 12. Найти промежутки монотонности функции у = 2х³ +3х² -100 у = х³ + 2х² + 6
- 13. Нахождение точек экстремума функции
- 14. Определения Точка хо называется точкой минимума функции у = f(х), если у этой точки существует окрестность,
- 15. Определения Значение функции в точке максимума обозначают уmax (но на определенном участке вокруг точки максимума, а
- 16. Теорема Пусть функция у = f(х) непрерывна на промежутке Х и имеет внутри промежутка стационарную или
- 17. б) если у этой точки существует такая окрестность, в которой при х 0, а при х>х0
- 18. в) если у этой точки существует такая окрестность, что в ней и слева и справа от
- 19. Алгоритм нахождения точек экстремума функции Найти производную функции f ΄(х) Найти стационарные и критические точки функции
- 20. Например: найти точки экстремума функции Решение. 1) у΄=12 х³ - 48х² + 48х = = 12х(х²-4х+4)
- 21. Найдите точки экстремума функции и определите их характер у = 7 + 12х - х² у
- 22. Построение графиков функций
- 23. В тех случаях, когда речь идет о построении графика незнакомой функции или когда заранее трудно представить
- 24. План построения графика функции с помощью производной Найти область определения функции и определить точки разрыва если
- 25. Как найти промежутки выпуклости, вогнутости и точку перегиба графика функции Промежутки выпуклости и вогнутости кривой можно
- 26. Для нахождения интервалов выпуклости графика функции используют следующий алгоритм: Находят f΄(х), а затем f ΄΄(х) Находят
- 27. Точкой перегиба кривой называется такая точка, которая отделяет выпуклую часть кривой от вогнутой её части. Точкой
- 28. Найти интервалы выпуклости и точку перегиба функции Решение. Найдем у΄(х) и у΄΄(х): у΄(х) = 4х³-12х =>
- 29. Например: исследовать функцию у = 2х³+3х² -1 и построить её график Решение. D(у)= (-∞; +∞), четность
- 30. Найдем промежутки монотонности: при x ϵ (-∞; -1] и [0; + ∞) - функция возрастает при
- 31. Найдем ещё некоторые точки (контрольные, дополнительные): т.к. х=-1 – точка максимума, то уmax=0 => (-1; 0)
- 32. Составим таблицу: Найдем f ΄΄(х). f΄΄(х) =(6х(х+1))΄=12х+6 = 6(2х+1) f΄΄(х)=0 => 6(2х+1)=0 => х = -0,5
- 33. Построим график функции: х у 0 -1 -2 4 1 -5
- 34. Исследовать функцию и построить её график 1) у = 3х² - х³ 2) у = -
- 35. Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке
- 36. Теорема Дифференцируемая на (а;b) и непрерывная на [a;b] функция у=f(x) достигает своего наибольшего (наименьшего) значения на
- 37. Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции у=f(х) на отрезке [а;в] 1) Найти производную f
- 38. Например: найти наименьшее и наибольшее значения функции у= х³ - 3х² - 45х + 1 на
- 39. Решение. б) на [-2;2] 1) у΄= 3х² - 6х – 45 2) у΄= 0 => 3х²
- 40. Самостоятельно найдите наименьшее и наибольшее значения функции у= х³ - 3х² - 45х + 1 на
- 41. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции на заданном промежутке. 1) у = х²-8х+19 на [-1;5] 2)
- 42. Работа с графиками функций
- 43. № 1. По графику функции ответьте на вопросы
- 44. 1) Отметьте стационарные точки. 2) Что можно сказать о производной в точке х1? 3) Назовите точки
- 45. Проверим ответы 1. (х1,х3,х4). 2. не существует. 3. (х2,х3,х4). 4. f′(х) ≤ 0. 5. [х2; х3]U
- 46. № 2. Постройте график непрерывной функции у = f(х), определенной на [а;в], удовлетворяющей следующим условиям: а)
- 47. б) а=0, в=5, f΄(х) График. 0 -2 3 5 2 1
- 48. № 3. По графику производной некоторой функции укажите интервалы, на которых функция монотонно возрастает, убывает, имеет
- 49. № 4. На рисунке изображён график производной функции y=f(x). Сколько точек максимума имеет эта функция? Назовите
- 50. № 5. По графику функции определить: а) сколько точек экстремума имеет функция? б) при каких х
- 51. Ответ
- 52. № 6. Дан график производной некоторой функции. Определить промежутки, на которых функция убывает?
- 53. Ответ
- 54. Верно или не верно №1 1. График производной. Точки х=-1, х=1, х=2 являются точками максимума? 2.
- 55. 4. Критическая точка является точкой экстремума. Верно ли? 5. Точка экстремума является критической точкой. Верно ли?
- 56. № 2. По данному графику функции определить верно или нет высказывание 0 х у Х1 Х2
- 57. Точка х1 – точка минимума. Точка х1 – точка перегиба. В точках х2 и х4 касательная
- 59. Скачать презентацию