Решение финансовых задач. Задание 17

с известными выплатами

Кредиты с дифференцированными платежами

Другие задачи

Систематизация типов 17 задач

Задачи без зависимости дохода/затрат от объемов производства

Задачи с зависимостью дохода/затрат от объемов производства

1
https://vk.com/lifehackege

в конкретный момент или период времени необходимо остаток долга умножить на процентную ставку, переведенную в доли.
S*r/100
Например, если на 1000 рублей были начислены проценты, то проценты составят:
1000*=1000*0,15=150 руб.

2

https://vk.com/lifehackege

прибавить начисленные проценты. Однако так как в задачах на банковскую тематику с такими суммами работать неудобно, требуется также вынести общий множитель.
S+S*r/100=S*(1+r/100)
Например, если нам нужно посчитать, сколько составит долг по кредиту (1000 руб.) после начисления 15 %:
1000+1000*0,15=1000*1,15=1150

Как рассчитать долг после начисления процентов?

3
https://vk.com/lifehackege

замена

4
https://vk.com/lifehackege

которые включают в себя сумму начисленных процентов и сумму погашаемого основного долга.
Кредит с дифференцированными платежами – кредит, по которому предусмотрено гашение основного долга равными частями. Платежи различны, поскольку сокращение основного долга приводит к сокращению процентов по кредиту. Равными долями выплачивается только основной долг!

Виды кредитов

5
https://vk.com/lifehackege

под 10 % годовых с ежегодным начислением процентов.

Структура платежей

Аннуитетный кредит

Кредит с дифференцированными платежами

6
https://vk.com/lifehackege

платежами

Использование арифметической прогрессии

7
https://vk.com/lifehackege

каждого года банк начисляет по кредиту 18 %. После этого клиент вносит платеж. Какой должна быть наименьшая выплата Х тыс. руб. (Х – целое число), такая чтобы клиент рассчитался не более, чем за 3 года.

Составление уравнений и неравенств с использованием временной оси

Банк

Клиент

Время

0

1

2

3

Выдан кредит: 200

Начислены проценты:
200*1,18

Осуществлена первая выплата:
200*1,18-Х

Начислены проценты:
(200*1,18-Х)*1,18

Осуществлена вторая выплата:
(200*1,18-Х)*1,18-Х

Осуществлена третья выплата
((200*1,18-Х)*1,18-Х)*1,18-Х

Начислены
проценты:
((200*1,18-Х)*1,18-Х)*1,18

((200*1,18-Х)*1,18-Х)*1,18-Х≤0

9
https://vk.com/lifehackege

под 10% в месяц.
Банк в конце каждого месяца начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем клиент переводит в банк фиксированную сумму и в результате выплачивает весь долг тремя равными платежами. Найти величину платежа.

10

Задача 1. Аннуитетный кредит

под 10% в месяц.
Банк в конце каждого месяца начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем клиент переводит в банк фиксированную сумму и в результате выплачивает весь долг тремя равными платежами. Найти величину платежа.

Пусть х руб. – платеж по кредиту

Так как тремя платежами долг погашен полностью:
((993000*1,1-х)*1,1-х)*1,1-х
993000*1,1^3-1,21x-1,1x-x=0
3,31x=993000*1,1^3
x=399300
Ответ: 399300 руб.
https://vk.com/lifehackege

рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплат кредита следующая — 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Алексей переводит в банк x рублей. Какой должна быть сумма x, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?

Задача 2. Аннуитетный кредит c «неудобной ставкой»

12

000 рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплат кредита следующая — 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Алексей переводит в банк x рублей. Какой должна быть сумма x, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?
https://vk.com/lifehackege

902 000 рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплат кредита следующая — 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Алексей переводит в банк x рублей. Какой должна быть сумма x, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?

14
https://vk.com/lifehackege

кредит со следующими условиями возврата долга:
- каждый год долг увеличивается на r%;
- с февраля по июль необходимо выплатить часть долга.
Кредит можно выплатить за четыре года равными платежами по 620928 рублей, или за два года равными платежами по 937728 рублей.
Найдите r.

15

1+0,01*r=k. Рассмотрим изменение основного долга по кредиту при различных условиях возврата. Возврат кредита за 4 года:

16
В августе 2019 года взяли кредит со следующими условиями возврата долга:
каждый год долг увеличивается на r%;
с февраля по июль необходимо выплатить часть долга.
Кредит можно выплатить за четыре года равными платежами по 620928 рублей, или за два года равными платежами по 937728 рублей. Найдите r.

Так как после 4ой выплаты долг полностью погашен:
(((Sk-620928)*k-620928)k-620928)*k-620928=0
https://vk.com/lifehackege

со следующими условиями возврата долга:
каждый год долг увеличивается на r%;
с февраля по июль необходимо выплатить часть долга.
Кредит можно выплатить за четыре года равными платежами по 620928 рублей, или за два года равными платежами по 937728 рублей. Найдите r.

. Так как после 2ой выплаты долг полностью погашен:
(Sk-937728)*k-937728=0
https://vk.com/lifehackege

долга:
каждый год долг увеличивается на r%;
с февраля по июль необходимо выплатить часть долга.
Кредит можно выплатить за четыре года равными платежами по 620928 рублей, или за два года равными платежами по 937728 рублей. Найдите r.

k=7/5 или k=-7/5 (не имеет смысла)
Обратная замена: 1+0,01r=1,4 r=40.
Ответ: 40%
https://vk.com/lifehackege

рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая — 1-го числа каждого следующего месяца банк начисляет 1 процент на оставшуюся сумму долга (т. е. увеличивает долг на 1%), затем Всеволод Ярославович переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев Всеволод Ярославович мог взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 300 000 рублей?

Задача 4. Метод бухгалтерской выписки

19

рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая — 1-го числа каждого следующего месяца банк начисляет 1 процент на оставшуюся сумму долга (т. е. увеличивает долг на 1%), затем Всеволод Ярославович переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев Всеволод Ярославович мог взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 300 000 рублей?

Предположим, что все выплаты кроме, возможно, последней составляли 300 000 рублей, оценим величину долга Всеволода Ярославовича после начисления процентов и после осуществления платежей. 900 000*1,01=909 000

Таким образом, долг может быть погашен за 4 месяца при условии, что все платежи составляют не более 300 000 рублей.
Ответ: 4 месяца.
https://vk.com/lifehackege

S тыс. рублей, где S — натуральное число, на 3 года. Условия его возврата таковы
− каждый январь долг увеличивается на 15% по сравнению с концом предыдущего года;
− с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
− в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.
Найдите наименьшее значение S, при котором каждая из выплат будет составлять целое число тысяч рублей.

21

Задача 5. Задача с заданной схемой погашения основного долга

S тыс. рублей, где S — натуральное число, на 3 года. Условия его возврата таковы
− каждый январь долг увеличивается на 15% по сравнению с концом предыдущего года;
− с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
− в июле каждого года долг должен составлять часть кредита: S; 0,7 S; 0,4S; 0. Найдите наименьшее значение S, при котором каждая из выплат будет составлять целое число тысяч рублей.

Переводим платежи в обыкновенные дроби и сокращаем:
0,45S=9S/20 0,405S=81S/200 0,46S=23S/50.
Т.к. все выплаты – целые числа, S должно делиться на 20;50;200.
Наименьшее общее кратное 200. Наименьшее S=200 тыс. руб.
Ответ: 200 тыс. руб.
https://vk.com/lifehackege

24 месяца. По договору Жанна должна вносить в банк часть денег в конце каждого месяца. Каждый месяц общая сумма долга возрастает на 2%, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Жанной банку в конце месяца. Суммы, выплачиваемые Жанной, подбираются так, чтобы сумма долга уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину каждый месяц. Какую сумму Жанна выплатит банку в течение первого года кредитования?

Задача 6. Кредит с дифференцированными платежами

23

процентам за первый год: 0,02*(1200+1150+1100+…650)= =0,02*(1200+650)/2*12=222 тыс. руб.
Итого уплачено за первый год:600+222=822 тыс. руб.
Ответ: 822 тыс. руб. (
Жанна взяла в банке в кредит 1,2 млн рублей на срок 24 месяца. По договору Жанна должна вносить в банк часть денег в конце каждого месяца. Каждый месяц общая сумма долга возрастает на 2%, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Жанной банку в конце месяца. Суммы, выплачиваемые Жанной, подбираются так, чтобы сумма долга уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину каждый месяц. Какую сумму Жанна выплатит банку в течение первого года кредитования?

24
https://vk.com/lifehackege

его возврата таковы:
− 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1%  процента по сравнению с концом предыдущего месяца;
− со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
− 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что восьмая выплата составила 108 тыс. руб. Какую сумму планируется вернуть банку в течение всего срока кредитования?

25

Задача 7. Кредит с дифференцированными платежами

равномерно S/15 тыс. рублей – ежемесячная выплата по основному долгу.
Поскольку сначала идет начисление процентов, а затем выплата основного долга, проценты будут начисляться на остаток основного долга на начало месяца. Рассчитаем платежи:

15-го января планируется взять кредит в банке на 15 месяцев. Условия его возврата таковы:
− 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1%  процента по сравнению с концом предыдущего месяца;
− со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
− 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что восьмая выплата составила 108 тыс. руб. Какую сумму планируется вернуть банку в течение всего срока кредитования?

26

его возврата таковы:
− 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1%  процента по сравнению с концом предыдущего месяца;
− со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
− 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что восьмая выплата составила 108 тыс. руб. Какую сумму планируется вернуть банку в течение всего срока кредитования?

27
https://vk.com/lifehackege

В конце каждого года цена бумаги возрастает на 3000 рублей. В начале любого года Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счет. Каждый год сумма на счете будет увеличиваться на 10 %. В начале какого года Алексей должен будет продать ценную бумагу, чтобы через пятнадцать лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счете была наибольшей?

Задача 8. Выбор варианта вложения

28

будет владеть ценной бумагой и если он ее продаст и откроет счет в банке. Так как цена ценной бумаги возрастает всегда на 3000, а % начисляется на сумму всех денег в предыдущем периоде, то после момента, когда получать проценты станет выгоднее, обратно к получению фиксированного дохода мы не вернемся.
Ответ: 2005 год
В начале 2001 года Алексей приобрел ценную бумагу за 19000 рублей. В конце каждого года цена бумаги возрастает на 3000 рублей. В начале любого года Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счет. Каждый год сумма на счете будет увеличиваться 10 %. В начале какого года Алексей должен будет продать ценную бумагу, чтобы через пятнадцать лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счете была наибольшей?

29
https://vk.com/lifehackege

на вклад под 10 % годовых на срок 3 года. Проценты начисляются в конце года, после чего клиенты имеют право на внесение или снятие средств. Лера дополнительно внесла 1000 рублей в конце 1 года и сняла 500 рублей в конце 2 года. Вера сняла 500 рублей в конце 1 года и внесла 1000 рублей в конце 2 года. У кого из девушек сумма на счете через 3 года оказалась больше и на сколько?

Задача 9. Сравнение вкладов

29

Вклад Леры:
Вклад Веры:
,

30
Сестры Вера и Лера 1 января 2018 года внесли равные суммы на вклад под 10 % годовых на срок 3 года. Проценты начисляются в конце года, после чего клиенты имеют право на внесение или снятие средств. Лера дополнительно внесла 1000 рублей в конце 1 года и сняла 500 рублей в конце 2 года. Вера сняла 500 рублей в конце 1 года и внесла 1000 рублей в конце 2 года. У кого из девушек сумма на счете через 3 года оказалась больше и на сколько?  
https://vk.com/lifehackege

1 января 2018 года внесли равные суммы на вклад под 10 % годовых на срок 3 года. Проценты начисляются в конце года, после чего клиенты имеют право на внесение или снятие средств. Лера дополнительно внесла 1000 рублей в конце 1 года и сняла 500 рублей в конце 2 года. Вера сняла 500 рублей в конце 1 года и внесла 1000 рублей в конце 2 года. У кого из девушек сумма на счете через 3 года оказалась больше и на сколько?  
Сестры Вера и Лера 1 января 2018 года внесли равные суммы на вклад под 10 % годовых на срок 3 года. Проценты начисляются в конце года, после чего клиенты имеют право на внесение или снятие средств. Лера дополнительно внесла 1000 рублей в конце 1 года и сняла 500 рублей в конце 2 года. Вера сняла 500 рублей в конце 1 года и внесла 1000 рублей в конце 2 года. У кого из девушек сумма на счете через 3 года оказалась больше и на сколько?  
https://vk.com/lifehackege

возврата таковы:
- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- 15-го числа каждого месяца с 1-го по 25-й долг должен быть на 20 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
- к 15-му числу 26-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Какой долг будет 15-го числа 25-го месяца, если общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1407 тысяч рублей?

Задача 10. Кредит с равными выплатами по основному долгу кроме последнего платежа

32

на 26 месяцев. Условия возврата таковы:
- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- 15-го числа каждого месяца с 1-го по 25-й долг должен быть на 20 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
- к 15-му числу 26-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Какой долг будет 15-го числа 25-го месяца, если общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1407 тысяч рублей?
https://vk.com/lifehackege

используйте признаки делимости.
Решение должно быть расписано поэтапно.
Если задача не доведена до ответа, но составлена математическая модель, стоит оформить решение в чистовике, это возможность получить неполный балл за задание.

35
https://vk.com/lifehackege

с экономическим содержанием. Задача 17 (профильный уровень) / Под ред. И. В. Ященко.—М.: МЦНМО, 2018. — 208 с.
2. http://alexlarin.net/links.html
3. https://ege.sdamgia.ru
4. Математика. Подготовка к ЕГЭ 2018. Профильный уровень. Под ред. Д.А. Мальцева. — М., 2018. — 224 с.

36