Применение производной к исследованию функций. Готовимся к ЕГЭ. (Задание 7)

промежутке (- 8; 8). Исследуем свойства графика и мы можем ответить на множество вопросов о свойствах функции, хотя графика самой функции не представлено!

y = f /(x)

 

1 2 3 4 5 6 7

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

4
3
2
1

-1
-2
-3
-4
-5

y

x

Найдем точки, в которых f /(x)=0 (это нули функции).

+

–

–

+

+

= f /(x)

 

1 2 3 4 5 6 7

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

4
3
2
1

-1
-2
-3
-4
-5

y

x

+

–

–

+

+

Исследуйте функцию у =f (x) на экстремум и укажите количество ее точек минимума.

4 точки экстремума

Ответ:
2 точки минимума

-8

8

отрезке [– 6; –1]

Ответ: xmax = – 5

1 2 3 4 5 6 7

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

-8

8

на отрезке [– 3; 7]

Ответ: 3.

1 2 3 4 5 6 7

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

-8

8

–5, 0, 3 и 6
функция непрерывна, поэтому при записи промежутков возрастания эти точки включаем.

1 2 3 4 5 6 7

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

Ответ:
(–8; –5], [ 0; 3], [ 6; 8)

-8

8

ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

В точках –5, 0, 3 и 6
функция непрерывна, поэтому при записи промежутков возрастания эти точки включаем.

1 2 3 4 5 6 7

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

Сложим целые числа:
-7, -6, -5, 0, 1, 2, 3, 6, 7

-8

8

(–8; –5], [ 0; 3], [ 6; 8)

Ответ: 1

ответе укажите длину наибольшего из них.

1 2 3 4 5 6 7

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

Ответ: 5.

-8

8

у =f (x) принимает наибольшее значение?

1 2 3 4 5 6 7

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

Ответ: – 4.

-8

8

На отрезке [– 4; –1] функция у =f (x) убывает, значит, наибольшее значение на данном отрезке функция будет принимать в точке – 4.

у =f (x) принимает наименьшее значение?

1 2 3 4 5 6 7

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

Ответ: – 1.

-8

8

На отрезке [– 4; –1] функция у =f (x) убывает, значит, наименьшее значение на данном отрезке функция будет принимать в конце отрезка точке х= – 1.

у =f (x) принимает наибольшее значение?

1 2 3 4 5 6 7

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

Ответ: 3.

-8

8

На отрезке [ 0; 3] функция у =f (x) возрастает, значит, наибольшее значение на данном отрезке функция будет принимать в конце отрезка точке х=3.

у =f (x) принимает наибольшее значение?

1 2 3 4 5 6 7

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

Ответ: 3.

-8

8

Наибольшее значение на отрезке [ 1; 4] функция у =f (x) будет принимать в точке максимума х=3.

промежутке (- 6; 8). Исследуйте функцию у =f (x) на экстремум и укажите количество ее точек максимума.

y = f /(x)

 

1 2 3 4 5 6 7

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

4
3
2
1

-1
-2
-3
-4
-5

y

x

промежутке (- 5; 5). Исследуйте функцию у =f (x) на монотонность и укажите число ее промежутков убывания.

+

–

y = f /(x)

 

1 2 3 4 5 6 7

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

4
3
2
1

-1
-2
-3
-4
-5

y

x

+

промежутке (- 6; 8). Исследуйте функцию у =f (x) на экстремум и укажите количество ее точек экстремума.

+

–

y = f /(x)

 

1 2 3 4 5 6 7

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

4
3
2
1

-1
-2
-3
-4
-5

y

x

+

рисунке изображен график производной функции у =f /(x),
заданной на промежутке [-5;5]. Исследуйте функцию у =f (x) на
монотонность и укажите наибольшую точку максимума .

y = f /(x)
+ + +
- - -

Из двух точек максимума наибольшая хmax = 3

промежутке (- 6; 7). Исследуйте функцию у =f (x) на экстремум и укажите количество ее точек экстремума.

+

–

y = f /(x)

 

1 2 3 4 5 6 7

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

4
3
2
1

-1
-2
-3
-4
-5

y

x

+

–

+

на промежутке (- 6; 3). На рисунке изображен график ее производной. Найдите длину промежутка убывания этой функции.

+

–

1 2 3 4 5 6 7

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

4
3
2
1

-1
-2
-3
-4
-5

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

y

x

касательная параллельна оси Ох)

-9 -8 -7 -6 -5 - 4 -3 -2 -1

1 2 3 4 5 6 7 8

В8. На рисунке изображен график функции у = f(x), определенной на интервале (-9; 8). Определите количество целых точек, в которых производная функции  положительна.

y = f (x)

y

x

5
4
3
2
1

-1
-2
-3
-4

1). f/(x) > 0, значит, функция возрастает. Найдем эти участки графика.

2). Найдем все целые точки на этих отрезках.

Ответ: 8.

Решение:

касательная параллельна оси Ох)
х=0 точка перегиба, в этой точке производная равна 0!

-9 -8 -7 -6 -5 - 4 -3 -2 -1

1 2 3 4 5 6 7 8

В8. На рисунке изображен график функции у = f(x), определенной на интервале (-5; 5). Определите количество целых точек, в которых производная функции  отрицательна.

y = f (x)

y

x

5
4
3
2
1

-1
-2
-3
-4

1). f/(x) < 0, значит, функция убывает. Найдем эти участки графика.

2). Найдем все целые точки на этих отрезках.

Ответ: 5.

Решение:

касательная параллельна оси Ох)
В точке х=1 производная не существует.

-9 -8 -7 -6 -5 - 4 -3 -2 -1

1 2 3 4 5 6 7 8

В8. На рисунке изображен график функции у = f(x), определенной на интервале (-6; 8). Определите количество целых точек, в которых производная функции  отрицательна.

y = f (x)

y

x

5
4
3
2
1

-1
-2
-3
-4

1). f/(x) < 0, значит, функция убывает. Найдем эти участки графика.

2). Найдем все целые точки на этих отрезках.

Ответ: 8.

Решение:

На рисунке изображен ее график. В ответе укажите количество точек графика этой функции, в которых касательная параллельна оси Ох.

y = f(x)

 

y

x

a

b

7)
На рисунке изображен ее график. Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 10.

y = f(x)

 

y

x

-7

-7

7).
На рисунке изображен ее график. Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 6.

y = f(x)

 

y

x

-6

-7

.

В этой точке производная НЕ существует!

в точке с абсциссой х0. Найдите значение производной в точке х0.

х

х0

у

1). Угол, который составляет касательная с положительным направлением оси Ох, острый. Значит, значение производной в точке х0 положительно.

Решение:

2). Найдем тангенс этого угла. Для этого подберем треугольник с катетами-целыми числами. Этот треугольник не подходит.

Можно найти несколько удобных треугольников, например,….

3). Найдем тангенс угла – это отношение 9:6.

Ответ:1,5

O

в точке с абсциссой х0. Найдите значение производной в точке х0.

х

х0

у

O

1). Угол, который составляет касательная с положительным направлением оси Ох, тупой. Значит, значение производной в точке х0 отрицательно.

Решение:

2). Найдем тангенс смежного угла. Для этого подберем треугольник с катетами-целыми числами. Этот треугольник не подходит.

Можно найти несколько удобных треугольников.

3). Найдем тангенс угла – это отношение 3:4.

в точке с абсциссой х0. Найдите значение производной в точке х0.

х0

Геометрический смысл производной: k = tg α
Угол наклона касательной с осью Ох острый, значит k >o.
Из прямоугольного треугольника
находим tgα = 4 : 4 =1,к=1