Признак перпендикулярности прямой и плоскости

лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Дано:
а ⊥ р, а ⊥ q,
p ⊂ α, q ⊂ α, p ∩ q = O

Доказать: а ⊥ α

Надо доказать, что прямая а перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости α

а

p

q

О

m

α

a ⊥ m (m ⊂ α)

плоскости α и проходящей через точку О.

Проведём прямую l, параллельную прямой m и проходящую через точку О.

АО = ОВ
Проведём прямую, пересекающую прямые p, q и l в точках P, Q, L

α

А

В

О

m

l

q

p

P

Q

L

a

=

=

3) AP = PB, AQ = QP как серединные перпендикуляры к АВ

4) ∆ APQ = ∆ BPQ (по трем сторонам) ⇒ ∠ APQ = ∠ BPQ

между ними)
⇒ AL = LB, т.е. ∆ ABL – равнобедренный: LO – медиана ⇒ LO – высота, т.е. АВ ⊥ OL или а ⊥ l

6) a ⊥ l
m ll l

⇒ a ⊥ m ( по лемме)

7) a ⊥ m
m ⊂ α

a ⊥ α,
ч.т.д.