Простейший многоугольник - треугольник

Сентябрь 14, 2022

Главная
Математика
Простейший многоугольник - треугольник

Содержание

2. простейший многоугольник, имеющий 3 вершины (угла) и 3 стороны; часть плоскости, ограниченная тремя точками, и тремя
3. Виды треугольников по сторонам Равносторонний Равнобедренный Разносторонний Углы при основании равны; Медиана является биссектрисой и высотой.
4. Виды треугольников по углам Прямоугольный Тупоугольный Н О Т Остроугольный катет катет гипотенуза ∠PMK=90°-прямой
5. Элементы треугольника Медиана Высота Биссектриса Средняя линия BM= MC AD=DC AK=KB BM= MA AN=NC MN //
6. Свойства медиан треугольника: 1. Медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении 2:1(считая от вершины треугольника). 2.
7. Высота треугольника.
8. Биссектриса треугольника. Свойства биссектрис треугольника: 1. Биссектриса делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам. 2.Биссектриса
9. Средняя линия Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Свойство средней линии треугольника
10. 2. Средняя линия треугольника отсекает от треугольника подобный треугольник. Площадь отсекаемого треугольника относится к площади основного
12. Площадь треугольника.
16. Площадь треугольника
17. Равенство треугольников Признаки равенства треугольников: 2. По стороне и двум прилежащим к ней углам. 3. По
18. Подобие треугольников Признаки подобия треугольников: 1. По двум углам. 2. По двум сторонам и углу между
19. Равнобедренный треугольник.
20. Равносторонний треугольник.
21. Теорема Пифагора c²= а²+b²
22. Доказательство теоремы Пифагора Дано: а,b- катеты, с-гипотенуза. Доказать: a2+b2=c2. Доказательство: Достроим до квадрата со стороной (a+b).
23. Вот задача индийского математика 12в. Бхаскары На берегу реки рос тополь одинокий. Вдруг ветра порыв его
24. Признаки равенства прямоугольных треугольников. Признак равенства прямоугольных треугольников по двум катетам Признак равенства прямоугольных треугольников по
25. Свойства прямоугольного треугольника 1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90˚. 2. Катет, противолежащий углу в
26. Теорема синусов и теорема косинусов.
27. Теорема косинусов.
28. Вневписанная окружность Вневписанная окружность треугольника- окружность, касающаяся одной из сторон треугольника и продолжений двух других его
29. Доказательство: Пусть точки К2 и К3- точки касания вневписанной окружности с прямыми АВ и ВС соответственно.
30. Расстояние от инцентра треугольника до его вершин Теорема 1: Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на
31. Дано: ВК- биссектриса, СМ||ВК Доказательство: Так как ВК – биссектриса ∠АВС, то ∠АВК=∠КВС. Далее, ∠АВК=∠ВМС, как
32. Теорема 2: Пусть в ΔАВС из вершины ∠А проведена биссектриса l, которая делит сторону СВ на
33. Инцентр- точка пересечения биссектрис треугольника. Расстояние от инцентра треугольника до его вершин вычисляется по формулам:
34. Свойства медиан Теорема: Если a, b, с- стороны ΔАВС (рис.34), ma, mb, mc- его медианы, проведенные
37. Задача
38. Спасибо за внимание!
40. Скачать презентацию

Слайд 2

простейший многоугольник, имеющий 3 вершины (угла) и 3 стороны;
часть плоскости,

ограниченная тремя точками, и тремя отрезками, попарно соединяющими эти точки;
замкнутая ломаная линия с тремя звеньями.

Треугольник

Слайд 3

Виды треугольников по сторонам
Равносторонний
Равнобедренный
Разносторонний
Углы при основании равны;
Медиана является биссектрисой и высотой.
Все

углы равны 60°.

Слайд 4

Виды треугольников по углам
Прямоугольный
Тупоугольный
Н
О
Т
Остроугольный
катет
катет
гипотенуза
∠PMK=90°-прямой

Слайд 5

Элементы треугольника
Медиана
Высота
Биссектриса
Средняя линия
BM= MC AD=DC
AK=KB
BM= MA
AN=NC
MN // BC
BC=2·MN
BH AC
AH1 BC
CH2 AB
P
D
K
H2
H1
N
P
∠ABM= ∠MBC

∠BCP= ∠PCA
∠CAN= ∠NAB

Слайд 6

Свойства медиан треугольника:
1. Медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении 2:1(считая

от вершины треугольника).
2. Медиана делит треугольник, равных по площади на два треугольника.

Слайд 7

Высота треугольника.

Слайд 8

Биссектриса треугольника.
Свойства биссектрис треугольника:
1. Биссектриса делит противолежащую сторону на части, пропорциональные

прилежащим сторонам.
2.Биссектриса треугольника делит площадь треугольника в отношении, пропорциональном прилежащим сторонам.
3. Точка пересечения биссектрис треугольника является центром окружности, вписанной в этот треугольник.

Слайд 9

Средняя линия
Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
Свойство средней

линии треугольника
Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

Слайд 10

2. Средняя линия треугольника отсекает от треугольника подобный треугольник. Площадь отсекаемого

треугольника относится к площади основного треугольника в отношении 1:4.

Слайд 11

Слайд 12

Площадь треугольника.

Слайд 13

Слайд 14

Слайд 15

Слайд 16

Площадь треугольника

Слайд 17

Равенство треугольников
Признаки равенства треугольников:
2. По стороне и двум прилежащим к ней

углам.

3. По трём сторонам.

1. По двум сторонам и углу между ними.

Слайд 18

Подобие треугольников
Признаки подобия треугольников:
1. По двум углам.
2. По двум сторонам и

углу между ними.

3. По трём сторонам.

Слайд 19

Равнобедренный треугольник.

Слайд 20

Равносторонний треугольник.

Слайд 21

Теорема Пифагора
c²= а²+b²

Слайд 22

Доказательство теоремы Пифагора
Дано: а,b- катеты, с-гипотенуза.
Доказать: a2+b2=c2.
Доказательство:
Достроим до квадрата со

стороной (a+b).
S1=(a+b)2
S2=4(1/2ab)+c2
Приравняем площади:S1=S2.
(a+b)2=4(1/2ab)+c2
а2+2ab+b2=2ab+c2
а2+b2=c2

Слайд 23

Вот задача индийского математика 12в. Бхаскары
На берегу реки рос тополь

одинокий. Вдруг ветра порыв его ствол надломал. Бедный тополь упал. И угол прямой с теченьем реки его ствол составлял. Запомни теперь, что в том месте река в четыре лишь фута была широка. Верхушка склонилась у края реки. Осталось три фута всего от ствола, прошу тебя, скоро теперь мне скажи: у тополя как велика высота?

Задача

Решение:
По теореме Пифагора находим СD:
CD = 3 + 4 = 9 + 16 =25 => CD= 5.
Высота тополя равна: CB+CA. Т.к. CD=CB =>
AB=AC+CD= 3 + 5 = 8.
Ответ: высота тополя 8 футов.

Слайд 24

Признаки равенства прямоугольных треугольников.
Признак равенства прямоугольных треугольников по двум катетам
Признак

равенства прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе

Признак равенства по гипотенузе и острому углу

Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и острому углу

Слайд 25

Свойства прямоугольного треугольника
1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90˚.
2. Катет, противолежащий углу

в 30˚, равен половине гипотенузы.
3. И обратно, если в треугольнике катет вдвое меньше гипотенузы, то напротив него лежит угол в 30˚.

Слайд 26

Теорема синусов и теорема косинусов.

Слайд 27

Теорема косинусов.

Слайд 28

Вневписанная окружность
Вневписанная окружность треугольника- окружность, касающаяся одной из сторон треугольника и

продолжений двух других его сторон.

Свойство: длина отрезка касательной, проведенной к вневписанной окружности из противоположной вершины, равна полупериметру треугольника.

Слайд 29

Доказательство:
Пусть точки К2 и К3- точки касания вневписанной окружности с

прямыми АВ и ВС соответственно.
СК1=СК3 (по свойству ВК2=ВК3 касательных к АК1=АК2 окружности).
Р=АС+СВ+АВ=АС+СК3+ВК3+АВ=АС+СК1+ВК2+АВ=АК1+АК2=2·АК1.
Значит, АК1=Р/2.

Слайд 30

Расстояние от инцентра треугольника до его вершин
Теорема 1: Биссектриса угла

треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные соответствующим боковым сторонам.
Следствие: Пусть AL-биссектриса ∠А в ΔАВС. Тогда отрезки CL и LB находятся по формулам: , .

Слайд 31

Дано: ВК- биссектриса, СМ||ВК
Доказательство: Так как ВК – биссектриса ∠АВС, то

∠АВК=∠КВС. Далее, ∠АВК=∠ВМС, как соответственные углы при параллельных прямых, и ∠КВС=∠ВСМ, как накрест лежащие углы при параллельных прямых. Отсюда ∠ВСМ=∠ВМС, и поэтому треугольник ВМС – равнобедренный, откуда ВС=ВМ. По теореме о параллельных прямых, пересекающих стороны угла, имеем АК/КС=АВ/ВМ=АВ/ВС, что и требовалось доказать.

Слайд 32

Теорема 2: Пусть в ΔАВС из вершины ∠А проведена биссектриса l,

которая делит сторону СВ на отрезки CL=m, LB=n. Тогда справедливо равенство:

Теорема 3: Для всякого ΔАВС справедливы равенства:

Слайд 33

Инцентр- точка пересечения биссектрис треугольника.
Расстояние от инцентра треугольника до его вершин

вычисляется по формулам:

Слайд 34

Свойства медиан
Теорема: Если a, b, с- стороны ΔАВС (рис.34), ma, mb,

mc- его медианы, проведенные к соответствующим сторонам, то справедливы формулы:

Слайд 35

Слайд 36

Слайд 37

Задача

Слайд 38

Простейший многоугольник - треугольник

Содержание

простейший многоугольник, имеющий 3 вершины (угла) и 3 стороны; часть плоскости,

Виды треугольников по сторонамРавностороннийРавнобедренныйРазностороннийУглы при основании равны;Медиана является биссектрисой и высотой.Все

Виды треугольников по угламПрямоугольныйТупоугольныйНОТОстроугольныйкатеткатетгипотенуза∠PMK=90°-прямой

Элементы треугольникаМедианаВысотаБиссектрисаСредняя линияBM= MC AD=DCAK=KBBM= MAAN=NCMN // BCBC=2·MNBH ACAH1 BCCH2 ABPDKH2H1NP∠ABM= ∠MBC

Свойства медиан треугольника:1. Медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении 2:1(считая

Высота треугольника.

Биссектриса треугольника.Свойства биссектрис треугольника:1. Биссектриса делит противолежащую сторону на части, пропорциональные

Средняя линияСредней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.Свойство средней

2. Средняя линия треугольника отсекает от треугольника подобный треугольник. Площадь отсекаемого

Площадь треугольника.

Площадь треугольника

Равенство треугольниковПризнаки равенства треугольников:2. По стороне и двум прилежащим к ней

Подобие треугольниковПризнаки подобия треугольников:1. По двум углам.2. По двум сторонам и

Равнобедренный треугольник.

Равносторонний треугольник.

Теорема Пифагораc²= а²+b²

Доказательство теоремы ПифагораДано: а,b- катеты, с-гипотенуза. Доказать: a2+b2=c2.Доказательство:Достроим до квадрата со

Вот задача индийского математика 12в. Бхаскары На берегу реки рос тополь

Признаки равенства прямоугольных треугольников. Признак равенства прямоугольных треугольников по двум катетамПризнак

Свойства прямоугольного треугольника1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90˚. 2. Катет, противолежащий углу

Теорема синусов и теорема косинусов.

Теорема косинусов.

Вневписанная окружность Вневписанная окружность треугольника- окружность, касающаяся одной из сторон треугольника и

Доказательство:Пусть точки К2 и К3- точки касания вневписанной окружности с

Расстояние от инцентра треугольника до его вершин Теорема 1: Биссектриса угла

Дано: ВК- биссектриса, СМ||ВК Доказательство: Так как ВК – биссектриса ∠АВС, то

Теорема 2: Пусть в ΔАВС из вершины ∠А проведена биссектриса l,

Инцентр- точка пересечения биссектрис треугольника.Расстояние от инцентра треугольника до его вершин

Свойства медиан Теорема: Если a, b, с- стороны ΔАВС (рис.34), ma, mb,

Задача

Спасибо за внимание!

Похожие презентации

простейший многоугольник, имеющий 3 вершины (угла) и 3 стороны;
часть плоскости,

Виды треугольников по сторонам
Равносторонний
Равнобедренный
Разносторонний
Углы при основании равны;
Медиана является биссектрисой и высотой.
Все

Виды треугольников по углам
Прямоугольный
Тупоугольный
Н
О
Т
Остроугольный
катет
катет
гипотенуза
∠PMK=90°-прямой

Элементы треугольника
Медиана
Высота
Биссектриса
Средняя линия
BM= MC AD=DC
AK=KB
BM= MA
AN=NC
MN // BC
BC=2·MN
BH AC
AH1 BC
CH2 AB
P
D
K
H2
H1
N
P
∠ABM= ∠MBC

Свойства медиан треугольника:
1. Медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении 2:1(считая

Биссектриса треугольника.
Свойства биссектрис треугольника:
1. Биссектриса делит противолежащую сторону на части, пропорциональные

Средняя линия
Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
Свойство средней

Равенство треугольников
Признаки равенства треугольников:
2. По стороне и двум прилежащим к ней

Подобие треугольников
Признаки подобия треугольников:
1. По двум углам.
2. По двум сторонам и

Теорема Пифагора
c²= а²+b²

Доказательство теоремы Пифагора
Дано: а,b- катеты, с-гипотенуза.
Доказать: a2+b2=c2.
Доказательство:
Достроим до квадрата со

Вот задача индийского математика 12в. Бхаскары
На берегу реки рос тополь

Признаки равенства прямоугольных треугольников.
Признак равенства прямоугольных треугольников по двум катетам
Признак

Свойства прямоугольного треугольника
1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90˚.
2. Катет, противолежащий углу

Вневписанная окружность
Вневписанная окружность треугольника- окружность, касающаяся одной из сторон треугольника и

Доказательство:
Пусть точки К2 и К3- точки касания вневписанной окружности с

Расстояние от инцентра треугольника до его вершин
Теорема 1: Биссектриса угла

Дано: ВК- биссектриса, СМ||ВК
Доказательство: Так как ВК – биссектриса ∠АВС, то

Инцентр- точка пересечения биссектрис треугольника.
Расстояние от инцентра треугольника до его вершин

Свойства медиан
Теорема: Если a, b, с- стороны ΔАВС (рис.34), ma, mb,