Теория погрешностей, случайные и систематические погрешности

Сентябрь 13, 2022

Главная
Математика
Теория погрешностей, случайные и систематические погрешности

Содержание

2. Вопрос №1 Случайные погрешности и способы их обнаружения.
3. Случайные погрешности. Случайная погрешность – составная часть погрешности результата измерения, изменяющаяся случайно, незакономерно при проведении повторных
4. Формы задания закона распределения. Графическое изображение ряда распределения называют полигоном распределения случайной величины.
5. Функция распределения случайных величин. Функцией распределения случайной величины Х называют вероятность выполнения неравенства Х где: х
6. Использование на практике вероятностного подхода к оценке погрешностей результатов измерений, прежде всего предполагает знание аналитической модели
7. Числовые характеристики случайных величин. Для изучения распределения случайных величин пользуются рядом числовых характеристик: мер положения и
8. Закон нормального распределения. Теорема закона нормального распределения: если случайная величина Х представляет сумму очень большого числа
9. Графическое выражение закона нормального распределения. Дифференциальная функция нормального распределения графически выражается в виде кривой колокообразного типа.
10. Для оценки отклонений эмпирического распределения от нормального используются безразмерные характеристики: коэффициент асимметрии α и коэффициент эксцесса
11. Закон равномерного распределения. Равномерным распределением называют такое распределение случайной величины, когда она с одинаковой вероятностью может
12. Закон Симсона – закон треугольного распределения плотности вероятности. Математическое ожидание (М (x)), дисперсия (D(x)) и среднее
13. Интервальные оценки числовых характеристик. Интервал значений случайной величины, внутри которого с заданной вероятностью находиться истинное значение
14. Интервальные оценки числовых характеристик. С достаточной для практических целей точностью значение tp можно определить по следующим
15. Пример интервальной оценки числовых характеристик. По выборке из n=20 найдено = 19,235 и s=0,08. Определить значение
16. Вопрос №2 Критерии для исключения систематических погрешностей.
17. Критерии для исключения систематических погрешностей. Способ последовательных разностей. Переменные систематические погрешности могут быть выявлены средствами статического
18. Расчеты критического значения критерия Аббе. Таблица критических значений критерия Аббе (Аq,n) Аппроксимирующие уравнения по расчету критических
19. Для некоторой величины имеем результаты измерений, выполненных через равные промежутки времени. Определяем значение D(x) и Q(x)
20. Одним из самых простых, дающих практически надежные результаты является метод, предложенный Фостером и Стьюдентом. Суть метода
21. Гипотеза о наличии тенденции проверяется с помощью критерия Стьюдента: где: μ – математическое ожидание величины S,
22. Критические значения критерия Стьюдента tкр определяются в зависимости от принятого значения доверительной вероятности Р. При Р=0,9
23. Имеется ряд измерений: Пример применения метода Фостера – Стьюдента. Подставляя полученные значения в формулу для определения
24. Вопрос №3 Формы представления результатов измерения.
25. Необходимо пользоваться основным правилом: погрешность, получаемая в результате вычислений, должна быть на порядок (в 10 раз)
27. Скачать презентацию

Слайд 2

Вопрос №1
Случайные погрешности и способы их обнаружения.

Слайд 3

Случайные погрешности.
Случайная погрешность – составная часть погрешности результата измерения, изменяющаяся случайно,

незакономерно при проведении повторных измерений одной и той же величины. Появление случайных погрешностей нельзя предвидеть и предугадать, они неизбежны и неустранимы и всегда присутствуют в результатах измерений.
Каждая случайная погрешность возникает в результате воздействия многих факторов, каждый из которых сам по себе не оказывает значительного влияния на результат.

Слайд 4

Формы задания закона распределения.
Графическое изображение ряда распределения называют полигоном распределения случайной

величины.

Слайд 5

Функция распределения случайных величин.
Функцией распределения случайной величины Х называют вероятность выполнения

неравенства Х< х .
где: х - неслучайный аргумент.
Функция распределения F(x) должна быть неубывающей функцией своего аргумента.

Слайд 6

Использование на практике вероятностного подхода к оценке погрешностей результатов измерений, прежде

всего предполагает знание аналитической модели закона распределения рассматриваемой погрешности.
Множество законов распределения случайных величин используемых в метрологии целесообразно классифицировать следующим образом:
Трапецеидальные (плосковершинные) распределения. К ним относятся: равномерное, собственно трапецеидальное и треугольное (Симпсона)
Уплощенные (приблизительно плосковершинные) распределения;
Экспонециальные распределения;
Семейство распределений Стьюдента;
Двухмодальные распределения.

Основные законы распределения.

Слайд 7

Числовые характеристики случайных величин.
Для изучения распределения случайных величин пользуются рядом числовых

характеристик: мер положения и мер рассеивания.
К характеристикам положения относятся: математическое ожидание, мода, медиана.
Математическое ожидание М(х) дискретной случайной величины Х называется сумма произведений возможных ее значений на соответствующие вероятности:
где n – число возможных значений случайной величины.
Математическим ожиданием М(х) непрерывной случайной величины Х называется определенный интеграл от произведения плотности вероятности φ(х) на действительную переменную х, взятую в пределах от -∞ до +∞:
Модой Мо(х) называют значение случайной величины, имеющее у дискретной величины наибольшую вероятность, а у непрерывной – наибольшую плотность вероятности.
Медианой случайной величины Х называют такое ее значение Ме(х), для которого функция распределения равна 0,5.

Слайд 8

Закон нормального распределения.
Теорема закона нормального распределения:
если случайная величина Х представляет

сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин х1,х2…хn, влияние каждой из которых на всю сумму незначительно, то независимо от того, каким законам распределения подчиняются слагаемые х1,х2…хn, сама величина Х будет иметь распределение вероятностей, близкое к нормальному, и тем точнее, чем больше число слагаемых.
Плотность вероятности или дифференциальная функция распределения случайной величины непрерывного типа, подчиняющаяся закону нормального распределения, имеет следующий вид:
где: х – переменная случайная величина;
φ(х) – плотность вероятности;
σ – среднее квадратическое отклонение случайной величины х от Ẍ – среднее значение (математическое ожидание) величины х;
е – основание натуральных логарифмов, е=2,71828.

Слайд 9

Графическое выражение закона нормального распределения.
Дифференциальная функция нормального распределения графически выражается в

виде кривой колокообразного типа. Из вида кривой нормального распределения следует, что она симметрична относительно ординаты точки х=Х.

Интегральный закон нормального распределения выражается следующим образом

Слайд 10

Для оценки отклонений эмпирического распределения от нормального используются безразмерные характеристики: коэффициент

асимметрии α и коэффициент эксцесса τ.
Мера асимметрии вычисляется по формуле:
где n – объем совокупности.
Мера эксцесса распределения вычисляется по формле:

Слайд 11

Закон равномерного распределения.
Равномерным распределением называют такое распределение случайной величины, когда она

с одинаковой вероятностью может принимать любое значение в заданных пределах.
Математическое ожидание (М (x)), дисперсия (D(x)) и среднее квадратическое отклонение (σ) случайной величины, подчиняющейся равномерному распределению, соответственно равны:

Слайд 12

Закон Симсона – закон треугольного распределения плотности вероятности.
Математическое ожидание (М

(x)), дисперсия (D(x)) и среднее квадратическое отклонение (σ) случайной величины, подчиняющейся закону Симпсона, соответственно равны:

Закон Симпсона.

׀x

Слайд 13

Интервальные оценки числовых характеристик.
Интервал значений случайной величины, внутри которого с заданной

вероятностью находиться истинное значение погрешности результата измерений, называется доверительным интервалом погрешности результата измерения, а соответствующая ему вероятность – доверительной вероятностью Р.
Нижнюю и верхнюю границы доверительного интервала называют доверительными границами.
Из статистики известно, что если генеральная совокупность имеет нормальное распределение, то величина при любом n следует закону Стьюдента.

Слайд 14

Интервальные оценки числовых характеристик.
С достаточной для практических целей точностью значение tp

можно определить по следующим уравнениям, полученным в результате апроксимации табличных значений для наиболее употребительных значений p=0,9; 0,95; 0,99:

Слайд 15

Пример интервальной оценки числовых характеристик.
По выборке из n=20 найдено = 19,235

и s=0,08. Определить значение генеральной средней .
Генеральная средняя определяется доверительным интервалом:
Задаваясь вероятностью р, например равной 0,95, из уравнения приведенного на предыдущем слайде, определяем t0,95;k. Число степеней свободы k=20-1=19.
Учитывая, что , будем иметь:
Следовательно, с вероятностью 95%, генеральная средняя будет находиться в интервале 19,198< <19,272.

Слайд 16

Вопрос №2
Критерии для исключения систематических погрешностей.

Слайд 17

Критерии для исключения систематических погрешностей. Способ последовательных разностей.
Переменные систематические погрешности

могут быть выявлены средствами статического анализа.
Одним из таких способов является способ последовательных разностей. Для обнаружения такой погрешности определяют несмещенную оценку дисперсии (Dx) результатов измерения обычным способом по формуле:
и способом вычисления суммы (Qx) квадратов последовательных (в порядке последовательности измерений) разности
Отношение суммы квадратов последовательных разностей к дисперсии результатов измерения является критерием для обнаружения систематических смещения центра группирования и получило название критерия Аббе.

Слайд 18

Расчеты критического значения критерия Аббе.
Таблица
критических значений критерия Аббе (Аq,n)
Аппроксимирующие уравнения по

расчету критических значений критерия Аббе.

Если полученное значение критерия Аббе меньше Aq (при принятом уровне значимости q и числе измерений n), то нулевая гипотеза о постоянстве центра группирования результатов измерений (x) отвергается, т.е. имеет место систематическая составляющая.
Формулы справедливы для 4 ≤ n ≤ 60

Слайд 19

Для некоторой величины имеем результаты измерений, выполненных через равные промежутки времени.
Определяем

значение D(x) и Q(x) по формулам приведенным выше:
Фактическое значение критерия Аббе –
Критические значения критерия Аббе А0,01=0,477 и А0,05=0,611
Так как при принятых уровнях значимости фактическое значение критерия Аббе меньше критических, то следует вывод о наличии систематической составляющей в погрешностях измерений.

Пример расчета по критерию Аббе.

Слайд 20

Одним из самых простых, дающих практически надежные результаты является метод, предложенный

Фостером и Стьюдентом.
Суть метода сводиться к следующему:
По данным исследований ряда измерений определяют величины ut и lt . Их значения находят путем последовательного сравнения уровней ряда. Если какой-либо уровень превышает по своей величине каждый из предыдущих уровней, то величине ut присваивается значение 1, а в остальных случаях – 0.:
Наоборот, если уровень меньше предыдущих, то lt присваивают значение 1.:
По значениям ut и lt определяют вспомогательные показатели S и d:

Метод Фостера - Стьюдента.

Слайд 21

Гипотеза о наличии тенденции проверяется с помощью критерия Стьюдента:
где: μ –

математическое ожидание величины S, определенное для случайного расположения уровней;
σ1 – средняя квадратическая ошибка S;
σ2 – средняя квадратическая ошибка d.
Значения величины μ, σ1 , σ1, можно определить по следующим формулам:

Метод Фостера – Стьюдента (продолжение).

Слайд 22

Критические значения критерия Стьюдента tкр определяются в зависимости от принятого значения

доверительной вероятности Р.
При Р=0,9
При Р=0,95
При Р=0,99
Если t1>tкр при принятом уровне доверительной вероятности Р, то гипотеза об отсутствии систематической погрешности в серии отвергается.
Если t2>tкр при принятом уровне доверительной вероятности Р, то гипотеза об отсутствии систематической погрешности в дисперсии отвергается.

Метод Фостера – Стьюдента (продолжение).

Слайд 23

Имеется ряд измерений:
Пример применения метода Фостера – Стьюдента.
Подставляя полученные значения в

формулу для определения t1 и t2 получим:
Критические значения критерия Стьюдента соответственно равны: при Р=0,9 tкр=1,754, при Р=0,95 tкр=2,135 и при Р=0,99 tкр=2,492.

Так как при Р=0,9 t1>tкр (1,833>1,754), то гипотеза об отсутствии тенденции в серии отвергается.
При других значениях Р (0,95 и 0,99) гипотеза об отсутствии тенденции в средней должна быть принята.
Гипотеза об отсутствии тенденции в дисперсии принимается т.к. t2 < tкр

Слайд 24

Вопрос №3
Формы представления результатов измерения.

Слайд 25

Необходимо пользоваться основным правилом: погрешность, получаемая в результате вычислений, должна быть

на порядок (в 10 раз) меньше суммарной погрешностью измерений.
Округление числа представляет собой отбрасывание значащих цифр справа до определенного разряда с возможным изменением цифры этого разряда.
При округлении результата измерений необходимо использовать следующие правила теоретической метрологии:
1. Результаты измерений округляются до того же десятичного разряда, которым окачивается округленное значение абсолютной погрешности.
Например, результат 4,0800, погрешностью ± 0,001 результат округляется до 4,080. Результат 25,6341, погрешностью ± 0,01; результат округляется до 25,63. Тот же результат при погрешности в ± 0,015 округляется до 25,634.
2. Лишние цифры в целых числах заменяются нулями, а в десятичных дробях отбрасываются. Например, число 165 245 при сохранении четырех значащих цифр округляется до 165 200, а число 165,245 – до 165,2
3. Если первая из заменяемых нулями или отбрасываемых цифр числа меньше 5, остающиеся цифры не изменяются. Если отбрасываемая цифра числа равна 5, а следующие за ней цифры – это нули, то последняя сохраняемая цифра не изменяется, если она четная, и увеличивается на единицу, если она нечетная.
Например, число 106,4 при сохранении трех значащих цифр округляется до 106; число 534,5 округляется до 534, а число 675,5 – до 676.

Правила округления чисел.

Теория погрешностей, случайные и систематические погрешности

Содержание

Вопрос №1Случайные погрешности и способы их обнаружения.

Случайные погрешности.Случайная погрешность – составная часть погрешности результата измерения, изменяющаяся случайно,

Формы задания закона распределения.Графическое изображение ряда распределения называют полигоном распределения случайной

Функция распределения случайных величин.Функцией распределения случайной величины Х называют вероятность выполнения

Использование на практике вероятностного подхода к оценке погрешностей результатов измерений, прежде

Числовые характеристики случайных величин.Для изучения распределения случайных величин пользуются рядом числовых

Закон нормального распределения.Теорема закона нормального распределения: если случайная величина Х представляет

Графическое выражение закона нормального распределения.Дифференциальная функция нормального распределения графически выражается в

Для оценки отклонений эмпирического распределения от нормального используются безразмерные характеристики: коэффициент

Закон равномерного распределения.Равномерным распределением называют такое распределение случайной величины, когда она

Закон Симсона – закон треугольного распределения плотности вероятности. Математическое ожидание (М

Интервальные оценки числовых характеристик.Интервал значений случайной величины, внутри которого с заданной

Интервальные оценки числовых характеристик.С достаточной для практических целей точностью значение tp

Пример интервальной оценки числовых характеристик.По выборке из n=20 найдено = 19,235

Вопрос №2Критерии для исключения систематических погрешностей.

Критерии для исключения систематических погрешностей. Способ последовательных разностей. Переменные систематические погрешности

Расчеты критического значения критерия Аббе.Таблицакритических значений критерия Аббе (Аq,n)Аппроксимирующие уравнения по

Для некоторой величины имеем результаты измерений, выполненных через равные промежутки времени.Определяем