Прямая задача теории погрешности. Лекция 3

Сентябрь 12, 2022

Главная
Математика
Прямая задача теории погрешности. Лекция 3

Содержание

2. Прямая задача теории погрешности. Пример. Найти предельную абсолютную и относительную погрешности объёма шара , если диаметр
3. Суть - оценивание погрешностей аргументов произвольной функции нескольких переменных, обеспечивающих заданную или меньшую погрешность функции. В
4. Обратная задача теории погрешности. Пример.
5. Тема: Вычисление значений функций 2. Вычисление значения алгебраического полинома. Схема Горнера. Рассмотрим полином Наша задача –
6. Сравним эффективность предложенного варианта вычислений (схемы Горнера) с прямым вычислением «в лоб». В качестве критерия будем
7. Тема: Вычисление значений функций Покажем, что числа являются коэффициентами полинома Q(x), полученного в качестве частного при
8. Определение. Числовой ряд называется сходящимся, если существует предел последовательности его частных сумм , где . Задача.
9. Процедура вычислений. Выбираем три положительных числа ε1, ε2, ε3, таких, что 1) остаточная погрешность (ε1) :
10. Тогда для частичной суммы погрешность действий (суммирования) удовлетворяет неравенству 3) Погрешность при округлении результата (ε3) .
11. Теорема 1. Если члены ряда представляют собой соответствующие значения положительной монотонно убывающей функции f(x), то есть
12. Найти сумму ряда с точностью 0,004. Решение. Округлять результат и слагаемые не будем . Тогда погрешность
13. Функция f(x) аналитическая в точке x = ξ, если в окрестности этой точки она разлагается в
14. Если f(ξ) известно и требуется найти значение f(ξ + h), где h – «малая поправка», то
15. Вычисление экспоненты ( ех). Известно из курса математического анализа, что экспоненциальная функция в окрестности точки 0
17. Число е = 2.71828182… известно с очень высокой точностью. Поэтому величину еЕ(х) = е*е*е*…*е можно считать
18. Если учесть, что , то получим Если обозначить , un - последний сохраненный член частичной суммы,
20. Скачать презентацию

Слайд 2

Прямая задача теории погрешности. Пример.
Найти предельную абсолютную и относительную погрешности

объёма шара

, если диаметр d = 3,7 см ±0,05 см, а π ≈ 3,14.

Слайд 3

Суть - оценивание погрешностей аргументов произвольной функции нескольких переменных, обеспечивающих заданную

или меньшую погрешность функции.
В такой постановке задача некорректна, так как допускает множество разных решений. Нужны дополнительные предположения.
Принцип равных влияний. Все частные дифференциалы
вносят одинаковый вклад в образование общей абсолютной погрешности функции.
Пусть величина абсолютной погрешности функции Δu задана. Воспользуемся формулой предыдущего раздела:
Согласно принципу равных влияний:
Отсюда получаем:
(2)

Обратная задача теории погрешности

Слайд 4

Обратная задача теории погрешности. Пример.

Слайд 5

Тема: Вычисление значений функций 2. Вычисление значения алгебраического полинома. Схема Горнера.

Рассмотрим

полином
Наша задача – найти значение этого полинома при x = ξ. То есть вычислить
Для рационального вычисление перепишем P(ξ) в виде
Отсюда легко сконструировать нужную последовательность вычислений, начиная с самых внутренних скобок:
b0=an; b1=an-1+b0ξ; b2=an-2+b1ξ; ……… bn-1=a1+bn-2ξ; bn=a0+bn-1ξ. ? это искомое значение: .

Слайд 6

Сравним эффективность предложенного варианта вычислений (схемы Горнера) с прямым вычислением «в

лоб». В качестве критерия будем использовать количество операций умножения.
При вычислении по формуле нам потребуется выполнить 1+2+3+…+n=n(n+1)/2 операций умножения. А по схеме Горнера только n операций.

Вычисление значений функций. Схема Горнера.

Слайд 7

Тема: Вычисление значений функций

Покажем, что числа являются коэффициентами полинома Q(x),

полученного в качестве частного при делении данного полинома P(x)
на двучлен x - ξ.

Слайд 8

Определение. Числовой ряд
называется сходящимся, если существует предел последовательности его частных

сумм , где .
Задача. Найти сумму S сходящегося числового ряда с нужной точностью ε (ε – абсолютная погрешность).
Решение. Сумма сходящегося ряда всегда представляется в виде:
где Sn – n-ая частичная сумма,
Rn – остаток ряда, причем при .
Остаток ряда характеризует остаточную погрешность.
Источники погрешности при суммировании сходящегося ряда:
1.остаточная погрешность,
2. погрешность вычисления самих элементов ряда,
3. погрешность при округлении результата.
Процедура вычислений такова.
Выбираем три положительных числа ε1, ε2, ε3, таких, что ε1+ ε2+ ε3= ε.
Количество ‘n’ слагаемых в частичной сумме Sn выберем столь большим, чтобы остаточная погрешность |Rn|≤ ε1.

Вычисление значений функций.
2. Приближенное суммирование числовых рядов

Слайд 9

Процедура вычислений.
Выбираем три положительных числа ε1, ε2, ε3, таких, что
1)

остаточная погрешность (ε1) :
Количество ‘n’ слагаемых в частичной сумме Sn выберем столь большим, чтобы остаточная погрешность
2) погрешность вычисления самих элементов ряда (ε2) :
Каждое из слагаемых ai частичной суммы вычисляем с предельной абсолютной погрешностью, не превышающей и пусть - соответствующие приближенные значения членов ряда, и выполняется:

Вычисление значений функций.
2. Приближенное суммирование числовых рядов

Слайд 10

Тогда для частичной суммы
погрешность действий (суммирования) удовлетворяет неравенству
3) Погрешность при

округлении результата (ε3) .
Результат округлим до так, чтобы для погрешности округления результата выполнялось соотношение:
При выполнении такой процедуры суммирования ряда, полученный результат будет соответствовать искомой сумме с погрешностью не более ε.
В самом деле,
Разбиение числа ε на положительные слагаемые чаще всего производят следующим образом:

Слайд 11

Теорема 1. Если члены ряда представляют собой соответствующие значения положительной монотонно

убывающей функции f(x), то есть
, тогда
Теорема 2. Если ряд знакочередующийся и модули его членов монотонно убывают, тогда

Слайд 12

Найти сумму ряда с точностью 0,004.
Решение. Округлять результат и слагаемые не

будем .
Тогда погрешность вычисления суммы равна остаточной погрешности:
Члены ряда представляют собой значения монотонно убывающей функции
Поэтому для n-го остатка ряда имеем оценку (по теореме 1):
Решая неравенство:
Получим Следовательно, n=45.

Вычисление значений функций.
2. Приближенное суммирование числовых рядов
Пример.

Слайд 13

Функция f(x) аналитическая в точке x = ξ, если в окрестности

этой точки она разлагается в ряд Тейлора, то есть ее можно представить в виде (1)
Остаточный член разложения Rn(x) представляет собой ошибку при замене функции отрезком ряда Тейлора:
Для остаточного члена существует несколько форм представления. Одна из них такая

Вычисление значений функций.
3. Вычисление значений аналитических функций

Слайд 14

Если f(ξ) известно и требуется найти значение f(ξ + h), где

h – «малая поправка», то формулу (1) выгодно записать в виде:
где

Вычисление значений функций.
3. Вычисление значений аналитических функций

Слайд 15

Вычисление экспоненты ( ех).
Известно из курса математического анализа, что экспоненциальная функция

в окрестности точки 0 разлагается в ряд Тейлора вида:
Остаточный член этого ряда имеет вид:
Непосредственно в таком виде использовать представление экспоненты неэффективно, так как хn+1 сильно растет, когда |x|>1. Для достижения требуемой точности придется использовать много членов разложения (большая трудоемкость). Для обхода этих затруднений предлагается следующая процедура.
Представим аргумент х в виде: х = Е(х) + q,
Е(х) – целая часть числа х,
q – дробная часть (|q|<1). Тогда

Слайд 16

Слайд 17

Число е = 2.71828182… известно с очень высокой точностью. Поэтому величину

еЕ(х) = е*е*е*…*е можно считать вычисляемой с какой угодно точностью. Второй сомножитель еq будем вычислять, пользуясь разложением в ряд Тейлора. Очевидно, что при |q|<1 сходимость ряда
будет быстрой, то есть потребуется мало членов разложения.
Для величины остаточного члена можно получить более точную оценку. В самом деле, по определению остатка, можем записать

Слайд 18

Если учесть, что , то получим
Если обозначить , un -

последний сохраненный член частичной
суммы, тогда для остаточного члена можно записать
Если нам задана остаточная погрешность (εr), тогда количество слагаемых частичной суммы ряда легко определить в процессе вычисления. Находить новые слагаемые и суммировать их можно прекратить, как только для очередного слагаемого выполниться условие

Прямая задача теории погрешности. Лекция 3

Содержание

Прямая задача теории погрешности. Пример. Найти предельную абсолютную и относительную погрешности

Суть - оценивание погрешностей аргументов произвольной функции нескольких переменных, обеспечивающих заданную

Обратная задача теории погрешности. Пример.

Тема: Вычисление значений функций 2. Вычисление значения алгебраического полинома. Схема Горнера. Рассмотрим

Сравним эффективность предложенного варианта вычислений (схемы Горнера) с прямым вычислением «в

Тема: Вычисление значений функций Покажем, что числа являются коэффициентами полинома Q(x),

Определение. Числовой ряд называется сходящимся, если существует предел последовательности его частных

Процедура вычислений. Выбираем три положительных числа ε1, ε2, ε3, таких, что 1)

Тогда для частичной суммы погрешность действий (суммирования) удовлетворяет неравенству3) Погрешность при