Разные доказательства теоремы Пифагора

сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

другой , где p – полупериметр треугольника, r – радиус вписанной в него окружности Имеем:
,откуда следует, что c2=a2+b2.

сумме половин площадей квадратов, построенных на катетах, а тогда площади большого и двух малых квадратов равны.

Дано:

Доказать: Что площадь квадрата, построенного на гипотенузе, слагается из площадей квадратов, построенных на катетах.

провели из вершины прямого угла С луч S ⊥ гипотенузе АВ и рассекает квадрат ABIK, построенный на гипотенузе, на два прямоугольника-BHJI и HKAJ=>площади данных прямоугольников равны площадям квадратов, построенных на соответствующих катетах.
Рассмотрим квадрат DECA и прямоугольник AHJK=> Площадь треугольника с той же высотой и основанием, что и данный прямоугольник, равна половине площади заданного прямоугольника. Это следствие определения площади треугольника как половины произведения основания на высоту => площадь треугольника ACK равна площади треугольника AHK (не изображённого на рисунке), которая, в свою очередь, равна половине площади прямоугольника AHJK. 
Рассмотрим треугольник ACK и квадрат DECA=> ACK=BDA (по 1 признаку) =>AB=AK, AD=AC
Рассмотрим CAK и BAD=> повернём треугольник CAK на 90° против часовой стрелки, тогда очевидно, что соответствующие стороны двух рассматриваемых треугольников совпадут (ввиду того, что угол при вершине квадрата — 90°).
Равенство площадей квадрата BCFG и прямоугольника BHJI доказывается точно также.
Тем самым мы доказали, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе, слагается из площадей квадратов, построенных на катета

гипотенузой с. Эти треугольники уложены так, что их внешний контур образует квадрат со стороной а+b, а внутренний — квадрат со стороной с, построенный на гипотенузе.
Доказать: Что образовавшаяся пустота, с одной стороны, равна с2, а с другой — а2+Ь2, т.е. с2=а2+Ь2. 
Доказательство: 
1)четыре равных прямоугольных треугольника со сторонами а и b и гипотенузой с уложены так, что их внешний контур образует квадрат со стороной а+b, а внутренний - с, построенный на гипотенузе;
2)вырежем квадрат со стороной с;
3)уложим оставшиеся 4 треугольника более темного цвета в два прямоугольника;
4)видим, что образовавшаяся "пустота" с одной стороны равна c2, а с другой - a2+b2,значит a+b2=c

на его катетах». Простейшее доказательство теоремы получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника. Посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников, чтобы убедиться в справедливости теоремы. Например, для треугольника АВС: квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах, – по 2. Теорема доказана.

оснований на высоту
S =
C другой стороны, площадь трапеции равна сумме площадей полученных треугольников:
S =
Приравнивая данные выражения, получаем:
или с2 = a2 + b2