Решение уравнений с одной переменной, степень которых больше двух.

х (х² - 9) = 0

Формула сокращенного
умножения

х (х – 3)(х + 3) = 0

Произведение равно нулю, когда один из множителей
равен нулю, а все остальные
при этом существуют

х = 0 х – 3 = 0 х + 3 = 0

х = 3 х = - 3

Ответ: -3; 0; 3.

(а³ - а) + (2а² – 2) = 0

Вынесение за скобки общего
множителя

а (а² - 1) + 2 (а² - 1) = 0

Вынесение за скобки общего
множителя

(а² - 1) (а + 2) = 0

Произведение равно нулю,
когда один из множителей
равен нулю

а² - 1 = 0 а + 2 = 0

а1,2 = ±1 а = - 2

Ответ: - 2; -1; 1.

(х – 1)(х – 3)(х + 2) = 0

Произведение равно нулю,
когда один из множителей
равен нулю

х – 1 = 0

х – 3 = 0

х + 2 = 0

х = 1

х = 3

х = -2

Ответ: -2; 1; 3.

Пример:

ab + ac – ad = a (b + c – d)

Пример:

4а² – 25в² = (2а – 5в) (2а + 5в)

2.

Формула квадрата суммы

а²+ 2ав + в² = (а + в) ² = (а + в) (а + в)

Пример:

а²+ 6ав + 9в² = ( а + 3в)² = (а + 3в) (а + 3в)

3.

Формула квадрата разности

а² - 2ав + в² = (а - в) ² = (а - в) (а - в)

Пример:

4а² – 4ав + в² = (2а – в)² = (2а – в) ( 2а – в)

Алгоритм

1. Объединить члены многочлена в группы,
имеющие общий множитель.

2. Вынести общий множитель за скобки.

Пример:

ав – 2с – вс + 2а = (ав – вс) + (2а – 2с) =
= в (а – с) + 2 (а – с) = (а – с) (в + 2)

Рп-1(х) : (х – х2) = Рп-2 (х)

Найти целый корень многочлена Рп(х), если
такой есть.

- подставляя поочередно каждый делитель в многочлен Рп(х)

- выписать все делители свободного члена;

вместо переменной х, выяснить, при каком значении х Рп(х) = 0,

это значение х и будет корнем многочлена Рп(х).

Понизить степень этого многочлена.

- разделить многочлен Рп(х) на (х – х1), где х1 - корень многочлена

Рп(х) : (х – х1) = Рп-1 (х)

4. Понизить степень многочлена Рп-1(х)

- разделить многочлен Рп-1(х) на (х – х2), где х2 - корень многочлена

5. Повторять п.1 и п.2, пока не получим многочлен
первой степени.

1.

2.

если х = -1, то Р3(-1) = (-1)³ - 2(-1)² - 5(-1) + 6 ≠ 0
х = -1 не является корнем уравнения

- Найти делители числа 6.

Найти целый корень многочлена Р3(х) = 0

если х = 1, то Р3(1) = 1³ - 2 . 1 – 5 . 1 + 6 = 0
х = 1 является корнем уравнения

- Понизить степень многочлена (разделить Р3(х) на (х – 1))

х³ - 2х² - 5х + 6

х - 1

х² - х - 6

х³ - х²

- х² - 5х

- х² + х

- 6х + 6

- 6х + 6

0

Р2(х) = х² - х - 6

- Найти делители числа 6.

6 делится на 6; 3; 2; 1; -1; -2; -3; -6.

- Найти целый корень многочлена Р2(х) = 0

если х = 3, то Р2(3) = 3² - 3 – 6 = 0. Тогда х = 3 является корнем
уравнения

- Понизить степень многочлена (разделить Р2(х) на (х – 3))

х² - х - 6

х - 3

х² - 3х

2х - 6

2х - 6

0

х + 2

Р3(х) = х³- 2х² - 5х + 6 = (х – 1)(х – 3)(х + 2)

Р3 (х) = (х – 1)(х² - х – 6)

*

называют уравнения вида

Алгоритм

1. Заменить х² = t.
2. Решить квадратное уравнение
аt² + bt + c = 0 относительно t.
3. Решить уравнения х² = t.
4. Записать ответ.

4t 2- 5t + 1 = 0

Решим квадратное уравнение

а = 4

Д = в2 – 4ас

t = -в±√Д ;
2а

t = - (-5)±√9 ;
2 .4

t = 1 ;
4

t = 1

Д = (- 5)2 – 4 . 4 . 1

Д = 9 > 0 два
корня

в = - 5

с = 1

то х 2 = 1
4

х 1,2 = ±√ 1
4

Х1,2 = ± 1
2

1.

2.

то х² = 1

Х1,2 = ± √ 1

Х1,2 = ± 1

Ответ: - 1 ; -1; 1 ; 1.
2 2

Если t = 1,

Если t = 1 ;
4

Решим уравнение х² = t

Алгоритм

1. Найти в левой части уравнения дважды встречающиеся
выражения (один раз в квадрате, другой раз в первой степени).

ax² +bx

2. Ввести новую переменную, подставив ее в уравнение вместо
повторяющегося выражения.

ax² + bx = t
t² - ct + d = 0

3. Решить квадратное уравнение относительно новой
переменной . Найти t.

4. Решить уравнения ax² +bx = t.

5. Записать ответ.

Найдем дважды встречающееся выражение
Введем новую переменную

Пусть х² + 2х + 4 = t, тогда

t² - 7 t + 12 = 0

Решим квадратное уравнение

Применим теорему обратную теореме Виета:

t1 + t2 = 7
t1 . t2 = 12

t1 = 3; t2 = 4

Решим уравнение
х²+ 2х + 4 = t

1.

Если t = 3, то

х² + 2х + 4 = 3

х² + 2х + 1 = 0

х1 + х2 = - 2
х1 . х2 = 1

х1 = - 1 х2 = - 1

2.

Если t = 4, то

х²+ 2х + 4 = 4

х² + 2х = 0

х ( х + 2) = 0

х = 0 х = - 2

Ответ: - 2; - 1; 0.

уравнения вида

3.

Объединить I и V , II и IV слагаемые. Разделить обе части
уравнения на х² (х²≠0, т.к. m≠0 ). Вынести общие
множители за скобки.

4.

Ввести новую переменную

тогда

5.

Сделать подстановку в уравнение из пункта 3 и решить
получившееся квадратное уравнение.

Найдем у.

6.

Вернуться к уравнению

и решить его.

7.

Записать ответ.

Объединим I и V, II и IV слагаемые

(x 4 + 25) + (2x³ - 10x) - 18x² = 0

Разделим обе

части на х², вынесем
общий множитель за
скобки

Введем новую переменную

Пусть у = х – 5 ,
х

у 2 = х 2 – 10 + 25
х

тогда

х 2 + 252 = у 2 – 10
х

следовательно

2 ,

Уравнение примет вид

у² + 10 + 2у – 18 = 0

у² + 2у – 8 = 0

у = 2 у = - 4

1.

Если у = 2, то

х – 5 = 2
х

х = 1 +

х = 1 -

2.

Если у = - 4, то

х – 5 = - 4
х

х = 1

х = - 5

Ответ: - 5; 1 - ; 1 ; 1+

Вернемся к
переменной
х

(х² + 25 ) +2 (х – 5 ) – 18 = 0
х² х

+

+

+ …

+

Рm (х)
Q m(x)

= 0

где Р1 (х); Р2 (х); Р3 (х); …; Рm (х); …; Q1(x);
Q2 (x); Q3(x); …; Qm(x); … – многочлены
от неизвестного х

3. Решить получившееся целое уравнение.

4. Исключить из его корней те, которые
обращают в ноль общий знаменатель.

5. Записать ответ.