Случайные погрешности

Август 2, 2022

Главная
Математика
Случайные погрешности

Содержание

2. При N →∞ pk – вероятность появления значения дискретной случайной величины
3. Законом распределения (законом распределения вероятности) случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной
4. Числовые характеристики случайной величины: Математическое ожидание оценкой математического ожидания является среднее арифметическое Дисперсия - математическое ожидание
5. Непрерывная случайная величина имеет бесчисленное множество возможных значений, Для количественной характеристики распределения вероятности непрерывной случайной величины
6. Некоторые общие свойства функции распределения: 1. Функция распределения F(x) – неубывающая функция своего аргумента, т.е. при
7. Для непрерывной случайной величины с непрерывной и дифференцируемой функцией распределения вероятности F(x) можно найти дифференциальный закон
8. C использованием дифференциальной функции распределения вероятность попадания случайной величины X в интервал [x1, x2] равна :
9. Равномерный закон распределения случайной величины - возможные значения случайной величины находятся в пределах некоторого конечного интервала,
10. Нормальное распределение случайной величины (распределение Гаусса) При нормальном законе распределения случайной величины функция плотности вероятности имеет
11. Центральная предельная теорема теории вероятностей: реальное распределение случайных погрешностей (случайной величины) будет близко к нормальному всякий
15. При n Распределение Стьюдента где Г – гамма-функция При n > 30 распределение Стьюдента переходит в
16. Числовые характеристики закона распределения начальные моменты (усредняются значения, отсчитываемые от начала координат) Моменты центральные моменты (усредняются
17. Первый начальный момент - математическое ожидание Математическое ожидание служит для определения на числовой оси среднего значения
18. Основные свойства математического ожидания: М(а) =а; где а=const Математическое ожидание неслучайного числа равно самому числу. M(ax)
19. Если начало координат перенесено в центр закона распределения вероятности, то такое распределение называется центрированным. Общее правило
20. Первый центральный момент равен нулю 2. Второй центральный момент – называется дисперсией D(x) или σx2
21. Основные свойства дисперсии: D(a) =0, a=const Дисперсия неcлучайного числа равна нулю. D(ax) = a2 D(x) Постоянный
22. Чем больше дисперсия, тем значительнее рассеяние результатов измерения относительно среднего значения. В метрологии в качестве меры
23. Закон распределения суммы двух независимых случайных величин, каждая из которых имеет свое распределение, называется композицией f(x1)
24. Примеры образования композиций законов распределения
25. Примеры образования композиций законов распределения
26. Примеры образования композиций законов распределения
27. Оценки, получаемые по данным измерений - случайные величины, их значения зависят от числа измерений. Оценки должны
28. Для независимых прямых равноточных измерений, подчиненных центрированному симметричному закону распределения вероятности, среднее арифметическое является состоятельной, несмещенной
29. S- средняя квадратическая погрешность (СКП) результатов единичных показаний в ряду измерений Для нормального закона распределения оценку
31. Скачать презентацию

Слайд 2

При N →∞
pk – вероятность появления значения дискретной случайной величины

Слайд 3

Законом распределения (законом распределения вероятности) случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее

связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Слайд 4

Числовые характеристики случайной величины:
Математическое ожидание
оценкой математического ожидания является среднее

арифметическое

Дисперсия - математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания

Среднее квадратическое отклонение (СКО)

Слайд 5

Непрерывная случайная величина имеет бесчисленное множество возможных значений,
Для количественной характеристики

распределения вероятности непрерывной случайной величины пользуются не вероятностью события X=x , а вероятностью события X< x, где x – некоторая текущая переменная

Функция распределения вероятности случайной величины X:
F(X) =P ( X < x )
F(X) - интегральная функция распределения
или интегральный закон распределения

Слайд 6

Некоторые общие свойства функции распределения:
1. Функция распределения F(x) – неубывающая функция

своего аргумента, т.е. при x2 > x1 F(x2) > F(x1)
2. При x → ‑ ∞ F( ‑ ∞ ) = 0,
т.е. на минус бесконечности функция распределения равна нулю.
3. При x → + ∞ F(+∞ ) = 1,
т.е. на плюс бесконечности функция распределения равна единице.
Вероятность попадания случайной величины X в интервал [x1, x2]
P [ x1 < X

Слайд 7

Для непрерывной случайной величины с непрерывной и дифференцируемой функцией распределения вероятности

F(x) можно найти дифференциальный закон распределения вероятностей:
f(x) = dF(x) / dx=F’(x)

Функция f(x) = F’(x) называется также плотностью распределения вероятности или дифференциальной функцией распределения. Она всегда неотрицательна и подчинена условию нормирования в виде:
f (x) dx =1

Слайд 8

C использованием дифференциальной функции распределения вероятность попадания случайной величины X в

интервал [x1, x2] равна :

Перечень стандартных дифференциальных функций распределения абсолютных погрешностей установлен ГОСТ 8.011‑72.

Слайд 9

Равномерный закон распределения случайной величины - возможные значения случайной величины находятся

в пределах некоторого конечного интервала, причем в пределах этого интервала все значения случайной величины обладают одной и той же плотностью вероятности.

Слайд 10

Нормальное распределение случайной величины (распределение Гаусса)
При нормальном законе распределения случайной величины

функция плотности вероятности имеет следующий вид:

mx – математическое ожидание (среднее значение) случайной величины X,
σx ‑ среднее квадратическое отклонение (СКО) случайной величины X относительно mx.

Слайд 11

Центральная предельная теорема теории вероятностей:
реальное распределение случайных погрешностей (случайной величины) будет

близко к нормальному всякий раз, когда результаты наблюдений формируются под влиянием большого числа независимо действующих факторов, каждый из которых оказывает лишь незначительное воздействие по сравнению с суммарным воздействием всех остальных.

Слайд 12

Слайд 13

Слайд 14

Слайд 15

При n < 30
Распределение Стьюдента
где Г – гамма-функция
При n >

30
распределение Стьюдента переходит в нормальное распределение

P [ x1 < X < x2 ] = 2 F (t, n) - 1
F (t, n) – интегральная функция Стьюдента,
значения которой табулированы

Слайд 16

Числовые характеристики закона распределения
начальные моменты
(усредняются значения, отсчитываемые от начала координат)
Моменты
центральные

моменты
(усредняются значения, отсчитываемые от центра распределения)

Общее правило образования начальных моментов:

k – номер момента;
f(x) – функция распределения плотности вероятности

Слайд 17

Первый начальный момент - математическое ожидание
Математическое ожидание служит для определения

на числовой оси среднего значения случайной величины, т.е. области вокруг которой группируются значения случайной величины.

Слайд 18

Основные свойства математического ожидания:
М(а) =а; где а=const Математическое ожидание неслучайного числа

равно самому числу.
M(ax) = a M(x) Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания.
M(x+y-z) = M(x) + M(y) – M(z) Математическое ожидание суммы независимых случайных величин равно алгебраической сумме их математических ожиданий.
M(xyz) = M(x) M(y) M(z) Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно алгебраической сумме их математических ожиданий.
M[x – M(x)] =0 Математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания равно нулю.

Слайд 19

Если начало координат перенесено в центр закона распределения вероятности, то такое

распределение называется центрированным.
Общее правило образования центральных моментов:

Слайд 20

Первый центральный момент равен нулю
2. Второй центральный момент – называется дисперсией

D(x) или σx2

Слайд 21

Основные свойства дисперсии:
D(a) =0, a=const Дисперсия неcлучайного числа равна нулю.
D(ax) =

a2 D(x) Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его при этом в квадрат.
D(x + y - z) = D(x) + D(y) + D(z) Дисперсия алгебраической суммы независимых случайных величин равна арифметической сумме их дисперсий.
D(x) = M(x2) – M2(x) Дисперсия случайной величины равна разности между математическим ожиданием ее квадрата и квадратом математического ожидания.

Слайд 22

Чем больше дисперсия, тем значительнее рассеяние результатов измерения относительно среднего значения.
В

метрологии в качестве меры рассеяния используют
среднее квадратическое отклонение (СКО), которое по размерности совпадает с измеряемой величиной.

Третий центральный момент служит для оценки асимметрии плотности распределения вероятности,
Четвертый центральный момент используется для оценки заостренности функции плотности распределения вероятности

или

Слайд 23

Закон распределения суммы двух независимых случайных величин, каждая из которых имеет

свое распределение, называется композицией
f(x1) f(x2)
f(x1+x2) - композиция

Слайд 24

Примеры образования композиций законов распределения

Слайд 25

Примеры образования композиций законов распределения

Слайд 26

Примеры образования композиций законов распределения

Слайд 27

Оценки, получаемые по данным измерений - случайные величины,
их значения зависят

от числа измерений.
Оценки должны быть состоятельными, несмещенными и эффективными.
Оценка называется состоятельной, если при увеличении числа измерений она стремится к истинному значению оцениваемой величины.
Q → Qист при n →∞
Оценка называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно истинному значению оцениваемой величины.
M(Qi) = Qист
Оценка называется эффективной, если из нескольких возможных несмещенных оценок она имеет наименьшую дисперсию.
D(Qi) = min

Слайд 28

Для независимых прямых равноточных измерений, подчиненных центрированному симметричному закону распределения вероятности,

среднее арифметическое является состоятельной, несмещенной и эффективной оценкой истинного значения измеряемой величины.

Слайд 29

S- средняя квадратическая погрешность (СКП)
результатов единичных показаний в ряду измерений
Для

нормального закона распределения оценку СКО отдельных результатов измерений в серии из n независимых равноточных измерений вычисляют по формуле:

Случайные погрешности

Содержание

При N →∞pk – вероятность появления значения дискретной случайной величины

Законом распределения (законом распределения вероятности) случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее

Числовые характеристики случайной величины: Математическое ожидание оценкой математического ожидания является среднее

Непрерывная случайная величина имеет бесчисленное множество возможных значений, Для количественной характеристики

Некоторые общие свойства функции распределения:1. Функция распределения F(x) – неубывающая функция

Для непрерывной случайной величины с непрерывной и дифференцируемой функцией распределения вероятности

C использованием дифференциальной функции распределения вероятность попадания случайной величины X в

Равномерный закон распределения случайной величины - возможные значения случайной величины находятся

Нормальное распределение случайной величины (распределение Гаусса)При нормальном законе распределения случайной величины

Центральная предельная теорема теории вероятностей:реальное распределение случайных погрешностей (случайной величины) будет

При n < 30 Распределение Стьюдентагде Г – гамма-функцияПри n >

Числовые характеристики закона распределенияначальные моменты(усредняются значения, отсчитываемые от начала координат) Моментыцентральные

Первый начальный момент - математическое ожидание Математическое ожидание служит для определения

Основные свойства математического ожидания:М(а) =а; где а=const Математическое ожидание неслучайного числа

Если начало координат перенесено в центр закона распределения вероятности, то такое

Первый центральный момент равен нулю2. Второй центральный момент – называется дисперсией

Основные свойства дисперсии:D(a) =0, a=const Дисперсия неcлучайного числа равна нулю.D(ax) =

Чем больше дисперсия, тем значительнее рассеяние результатов измерения относительно среднего значения.В

Закон распределения суммы двух независимых случайных величин, каждая из которых имеет

Примеры образования композиций законов распределения

Примеры образования композиций законов распределения

Примеры образования композиций законов распределения

Оценки, получаемые по данным измерений - случайные величины, их значения зависят

Для независимых прямых равноточных измерений, подчиненных центрированному симметричному закону распределения вероятности,

S- средняя квадратическая погрешность (СКП) результатов единичных показаний в ряду измеренийДля

Похожие презентации

При N →∞
pk – вероятность появления значения дискретной случайной величины

Числовые характеристики случайной величины:
Математическое ожидание
оценкой математического ожидания является среднее

Непрерывная случайная величина имеет бесчисленное множество возможных значений,
Для количественной характеристики

Некоторые общие свойства функции распределения:
1. Функция распределения F(x) – неубывающая функция

Нормальное распределение случайной величины (распределение Гаусса)
При нормальном законе распределения случайной величины

Центральная предельная теорема теории вероятностей:
реальное распределение случайных погрешностей (случайной величины) будет

При n < 30
Распределение Стьюдента
где Г – гамма-функция
При n >

Числовые характеристики закона распределения
начальные моменты
(усредняются значения, отсчитываемые от начала координат)
Моменты
центральные

Первый начальный момент - математическое ожидание
Математическое ожидание служит для определения

Основные свойства математического ожидания:
М(а) =а; где а=const Математическое ожидание неслучайного числа

Первый центральный момент равен нулю
2. Второй центральный момент – называется дисперсией

Основные свойства дисперсии:
D(a) =0, a=const Дисперсия неcлучайного числа равна нулю.
D(ax) =

Чем больше дисперсия, тем значительнее рассеяние результатов измерения относительно среднего значения.
В

Оценки, получаемые по данным измерений - случайные величины,
их значения зависят

S- средняя квадратическая погрешность (СКП)
результатов единичных показаний в ряду измерений
Для