Решение уравнений с модулем

Содержание

1. 1. Определение модуля
2. Виды уравнений:
3. 3. Методы решения уравнений
4. 4.

Большинство уравнений с модулем можно решить исходя из определения модуля:

Пример

Содержание

Пример 1

Решение:

Ответ:

Решить уравнение

Содержание

Методы решения

Пример 2

Если решать это уравнение по определению, то придется трижды использовать

Уравнение вида:

Равносильно :

Пример

Содержание

Заметим, что если бы мы решали уравнение по определению, то у

Такие уравнения можно решать двумя способами:
I способ:
Если f(x) имеет более простой

Пример 4

Решение:

Решить уравнение

Решим уравнение второй системы:

Решим уравнение первой системы:

Вернемся к совокупности систем:

Ответ:

Далее

Содержание

Следующая равносильность

II способ: Если g(x) имеет более простой вид, чем f(x).
Если g(x)<0,

Решим первое уравнение совокупности:

Пример 5

Решение:

Решить уравнение

Решим второе уравнение совокупности:

Вернемся к системе:

Система решений не имеет, следовательно, уравнение

Так как обе части уравнения неотрицательны, то

Рассмотрим уравнения вида

И мы получаем

Решим первое уравнение совокупности:

Пример 6

Решение:

Решить уравнение

Решим второе уравнение совокупности:

Ответ:

Вернемся к совокупности:

Содержание

Методы решения

Для решения уравнений такого вида удобно воспользоваться следующим алгоритмом:
Найти нули подмодульных

Пример 7

Решение:

Решить уравнение

1. Нули подмодульных выражений:

2. Проведем параллельные прямые, нанесем на

Раскрывая модули на каждом интервале, получим совокупность систем:

Ответ:

-2; 8

Содержание

Методы решения

В некоторых случаях удобнее использовать метод замены переменной.

Пример 8

Решение:

Ответ:

Решить уравнение

Данное уравнение

Бывает и так , что уравнение нельзя отнести ни к одному

2

4

6

8

- 2

- 4

- 6

- 8

- 2

4

6

8

10

0

2

2

4

6

8

- 2

- 4

- 6

- 8

- 2

4

6

8

10

0

2

2

4

6

8

- 2

- 4

- 6

- 8

- 2

4

6

8

10

0

2

2

4

6

8

- 2

- 4

- 6

- 8

- 2

4

6

8

10

0

2

2

4

6

8

- 2

- 4

- 6

- 8

- 2

4

6

8

10

0

2

Ответ:

Найдем их точки пересечения

Содержание

Задания для самостоятельного решения:

Содержание

Выводы

1. Виды уравнений:
2. Методы решения уравнений
Аналитический:
- по определению
- использование равносильностей
- разбиение

Домашнее задание

Уровень 1 Уровень 2