Решение заданий № 3 из сборника ЕГЭ. Математика. Профильный уровень: типовые экзаменационные варианты

основания на высоту.
Одну из сторон треугольника, к которой проведена
высота, называют основанием.
Площадь треугольника будем искать по формуле S=½ah,
где a – длина основания, к которому опущена высота
(синяя линия); h – высота треугольника
(красная линия).
S = ½*5*6=15
Ответ: 15.

Задание 3.
На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 изображён треугольник.
Найдите его площадь.

основания на высоту.
Одну из сторон треугольника, к которой проведена высота, называют основанием.
Площадь треугольника будем искать по формуле S=½ah,
где a – длина основания, к которому опущена высота (синяя линия); h – высота треугольника (красная линия).
S = ½*2*6=6
Ответ: 6.

Задание 3.
На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 изображён треугольник.
Найдите его площадь.

основания на высоту.
Одну из сторон треугольника, к которой проведена высота, называют основанием.
Площадь треугольника будем искать по формуле S=½ah,
где a – длина основания, к которому опущена высота (синяя линия); h – высота треугольника (красная линия).
S = ½*3*6=9
Ответ: 9.

Задание 3. На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 изображён треугольник.
Найдите его площадь.

основания на высоту.
Одну из сторон треугольника, к которой проведена высота, называют основанием.
Площадь треугольника будем искать по формуле S=½ah,
где a – длина основания, к которому опущена высота (синяя линия); h – высота треугольника (красная линия).
S = ½*4*6=12
Ответ: 12.

Задание 3. На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 изображён треугольник. Найдите его площадь.

диагоналей.
S=½d1d2,
где d1 и d2 – длины диагоналей.
S = ½*4*6=12
Ответ: 12.

Задание 3. На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 изображён ромб.
Найдите его площадь.

1x1 изображён ромб.
Найдите его площадь.
Решение. Теорема. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
S=½d1d2,
где d1 и d2 – длины диагоналей.
S = ½*4*12=24
Ответ: 24.

точки одного из оснований к прямой, содержащей другое основание.
Теорема. Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту.
Площадь трапеции будем искать по формуле S=½(a+с)h,
где a и с – длины оснований, h – высота трапеции.
S = ½*(3+8)*3=16,5
Ответ: 16,5.

Задание 3. На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 изображёна трапеция.
Найдите её площадь.

1x1 изображён ромб.
Найдите его площадь.
Решение. Теорема. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
S=½d1d2,
где d1 и d2 – длины диагоналей.
S = ½*2*10=10
Ответ: 10.

точки одного из оснований к прямой, содержащей другое основание.
Теорема. Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту.
Площадь трапеции будем искать по формуле S=½(a+с)h,
где a и с – длины оснований, h – высота трапеции.
S = ½*(2+5)*4=14
Ответ: 14.

Задание 3. На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 изображёна трапеция.
Найдите её площадь.

основания на высоту.
Одну из сторон треугольника, к которой проведена высота, называют основанием.
Площадь треугольника будем искать по формуле S=½ah,
где a – длина основания, к которому опущена высота (синяя линия); h – высота треугольника (красная линия).
S = ½*3*4=6
Ответ: 6.

Задание 3. На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 изображён треугольник.
Найдите его площадь.

основания на высоту.
Одну из сторон треугольника, к которой проведена высота, называют основанием.
Площадь треугольника будем искать по формуле S=½ah,
где a – длина основания, к которому опущена
высота (синяя линия);
h – высота треугольника (красная линия).
S = ½*2*3=3
Ответ: 3.

Задание 3. На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 изображён треугольник.
Найдите его площадь.

трапеции будем искать как произведение полусуммы оснований
на высоту: S=½(a+c)h
где a, c – основания трапеции; h – высота трапеции.
Ниже на рисунке синими линиями показаны основания,
а красной линией – высота.

S=½(6+2)*3=12
Ответ. 12.

Из рисунка видно, что первое основание a=10-4=6,
второе основание b=4-2=2 и высота h=6-3=3.
Подставим эти значения в формулу площади, получим:

полусуммы оснований
на высоту: S=½(a+c)h
где a, c – основания трапеции; h – высота трапеции.
Ниже на рисунке синими линиями показаны основания,
а красной линией – высота.

S=½(9+5)*7=49
Ответ. 49.

Из рисунка видно, что первое основание a=10-1=9,
второе основание b=7-2=5 и высота h=8-1=7.
Подставим эти значения в формулу площади, получим:

Найдите площадь трапеции, вершины которой имеют координаты (1; 1), (10; 1), (7; 8), (2; 8).

полусуммы оснований
на высоту: S=½(a+c)h
где a, c – основания трапеции; h – высота трапеции.
Ниже на рисунке синими линиями показаны основания,
а красной линией – высота.

S=½(4+2)*3=9
Ответ. 9.

Из рисунка видно, что первое основание a=10-6=4,
второе основание b=4-2=2 и высота h=6-3=3.
Подставим эти значения в формулу площади, получим:

Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.

полусуммы оснований
на высоту: S=½(a+c)h
где a, c – длины оснований трапеции; h – высота трапеции.

S=½(6+2)*5=20
Ответ. 20.

Из рисунка видно, что первое основание a=10-4=6,
второе основание b=3-1=2 и высота h=6-1=5.
Подставим эти значения в формулу площади, получим:

Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.

треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

Найдите тангенс угла АОВ.

Ответ. 4.

а

b

половины его высоты
на основание.
Из рисунка видно, что высота равна 5,
а основание 6, следовательно, его площадь S=½h*a=½*5*6=15
Ответ: 15.

На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображён треугольник (см. рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

из площади прямоугольника площадей четырех треугольников, изображенных на рисунке ниже.

Найдите площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см (см. рисунок). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Площади малых треугольников вычислим по формуле
где - a и b - длины сторон треугольника; α - угол между
этими сторонами.
Сторона a=5. Сторона b равна сумме трех диагоналей квадратов по 1х1 см,
т.е. равна 3√2.

Угол между сторонами, очевидно, равен 45 градусов и .
Таким образом, площади малых треугольников равны

Площади больших треугольников найдем по формуле

2*(S1+S2) =2*7,5+2*18=15+36=51, прямоугольник - квадрат со стороной
9 см, площадь квадрата S=a2=92=81, следовательно площадь искомой фигуры равна 81 - 51 = 30.
Ответ. 30.

бумаге с размером клетки 1 см X 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

1 см

Решение.
1 способ. Здесь можно рассуждать так. Площадь изображенного параллелограмма
равна площади эквивалентного прямоугольника, если углы у данного параллелограмма
выпрямить. Соответственно, получаем значение площади S=3*5=15.
Ответ: 15.
2 способ. Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.
S=a*h. Высота параллелограмма - перпендикуляр, проведённый из любой точки противоположной стороны к прямой, содержащей основание.
S=3*5=15
Ответ. 15.

координаты (1;6), (10;6), (4;8).

Решение.
Площадь треугольника будем искать по формуле
где a - длина основания; h - высота треугольника.
Из рисунка видно, что a =10 - 1 = 9, h = 8 - 6 = 2 , и площадь равна
Ответ: 9.

1 см х 1 см изображён треугольник (см. рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

Решение.
Площадь треугольника будем искать по формуле
где a - длина основания; h - высота треугольника.
Из рисунка видно, что a = 6, h = 6, и площадь равна
Ответ: 18.

S=πr2.
Из рисунка видно, что радиус большого круга, rб=4, больше радиуса малого (не закрашенного) круга, rм=1, в 4 раза, следовательно, площадь большого круга будет больше площади малого круга в

На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 46.
Найдите площадь заштрихованной фигуры.

Таким образом, площадь большого круга равна 46*16=736,
а площадь заштрихованной фигуры 736 - 46 = 690.
Ответ: 690.

отношение противолежащего катета к прилежащему катету. На рисунке ниже противолежащий катет (красная линия) равен 4 клетки, а прилежащий катет (синяя линия) – 5 клеток.

Найдите тангенс угла АОВ.

Ответ. 0,8.

соединяющий середины двух его сторон.
Теорема. Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.
Отрезки EF, FD и DE - средние линии треугольника АВС.
По теореме о средней линии:

Ответ. 4.

Периметр треугольника ABC равен 8. Найдите периметр треугольника FDE, вершинами которого являются середины сторон треугольника ABC.

,

,

.

PFDE=EF+FD+DE=½AB+½CB+½AC=½(AB+CB+AC)=½PABC=8÷2=4

,

нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме
площадей этих многоугольников.
Трапеции состоит из двух прямоугольных
треугольников с катетами (4 см и 3 см) и
(2 см и 4 см) и квадрата со стороной 4 см.
Площадь прямоугольного треугольника
равна половине произведения его катетов.
Площадь квадрата равна квадрату его стороны.
.

Ответ. 26.

,

,

.

S=S1+S2+S3=6+4+16=26.

На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображена трапеция (см. рисунок).
Найдите её площадь в квадратных сантиметрах.

координаты (1;7), (4;7), (9;9).

Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.
Из рисунка видно, что высота h = 9 - 7 = 2 единицам, основание a = 4 - 1 = 3 единицам.
Площадь равна
Ответ: 3.

многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.
Трапеции состоит из двух прямоугольных треугольников с катетами (2 см и 3 см) и (2 см и 2 см) и прямоугольника, смежные стороны которого равны 2 см и 4 см. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.

Задание 3.

Найдите площадь трапеции, изображённой на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см (см. рисунок).
Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

S=S1+S2+S3=3+2+8=13.

Ответ. 13.

с размером клетки 1 см X 1 см (см. рисунок). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение.
Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.
Ответ: 24.

с размером клетки 1 см х 1 см (см. рисунок).
Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение.
Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту.

Ответ: 25.

см х 1 см изображён четырёхугольник ABCD. Найдите диагональ BD.

Решение.
Диагональ BD найдем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника,
показанного на рисунке ниже.

Катеты равны 3 и 4 см соответственно, следовательно, диагональ BD равна
Ответ: 5.