РЗ.комп.числа(триг.ф)

M(x;y) плоскости xOy такой, что х = Re z, у = Im z. И, наоборот, каждую точку M(x;y) координатной плоскости можно рассматривать как образ комплексного числа z=x+iy (рисунок 1).

Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью.

Рисунок 1

Ось абсцисс называется действительной осью, так как на ней лежат действительные числа z=x+0i=x .
Ось ординат называется мнимой осью, на ней лежат мнимые комплексные числа z=0+yi=yi.

которых служит точка O(0;0), концом M(x;y) .

Длина вектора изображающего комплексное число z, называется модулем этого числа и обозначается | z| или r.

Величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором изображающим комплексное число, называется аргументом этого комплексного числа, обозначается Arg z или φ.

Аргумент комплексного числа z=0 не определен.
Аргумент комплексного числа z≠0 - величина многозначная и определяется с точностью до слагаемого 2πk (k=0,-1,1,-2,2,..) :
Arg z=arg z+2 πk,
где arg z - главное значение аргумента, заключенное в промежутке (- π, π].

комплексного числа.

Из рисунка 1 видно, что x=rcosφ, y=rsinφ, следовательно, комплексное z=x+iy число можно записать в виде:

Такая форма записи называется тригонометрической формой записи комплексного числа.

Модуль r=|z| однозначно определяется по формуле

Аргумент φ определяется из формул

лишь главное значение аргумента комплексного числа, т.е. считать φ=arg z.

Так как то из формулы получаем, что
- для внутренних точек I, IV четвертей;
- для внутренних точек II четверти;
- для внутренних точек III четверти.

Пример 1. Представить комплексные числа и в тригонометрической форме.

где

1) z1=1+i (число z1 принадлежит I четверти), x=1, y=1.

Таким образом,

2) (число z2 принадлежит II четверти)

Так как то

Следовательно,

Ответ:

z1 и z2 , заданных в тригонометрической форме

а) Произведение комплексных чисел
Выполняя умножение чисел z1 и z2 , получаем

≠ 0.

Рассмотрим частное имеем

получаем

Следовательно,

2) Используя формулу . получаем

Следовательно,

Ответ:

операции умножения комплексных чисел следует, что

В общем случае получим:

(2)

где n– целое положительное число.

Следовательно, при возведении комплексного числа в степень модуль возводится в ту же степень, а аргумент умножается на показатель степени.

Выражение (2) называется формулой Муавра.

корней) комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме;
первый стал использовать возведение в степень бесконечных рядов;
большой вклад в теорию вероятностей: доказал частный случаи теоремы Лапласа, провёл вероятностное исследование азартных игр и ряда статистических данных по народонаселению.
Формулу Муавра можно использовать для нахождения тригонометрических функций двойного, тройного и т.д. углов.

Абрахам де Муавр (1667 – 1754) – английский математик французского происхождения.

содержание

комплексного числа z называется комплексное число w, удовлетворяющее равенству wn=z, т.е. если wn=z.

Если положить а то, по определению корня и формуле Муавра, получаем

Отсюда имеем

То есть

Поэтому равенство принимает вид

где (т.е. от 0 до n-1).

возможно и дает n различных значений. Все значения корня n-ой степени расположены на окружности радиуса с центром в нуле и делят эту окружность на n равных частей.

Пример 7. Найти все значения

Решение.
Вначале представим число в тригонометрической форме.

В данном случае x=1, , таким образом,

Следовательно,

Используя формулу

где k=0,1,2,…,(n-1), имеем:

чисто мнимым?
3. Какие два комплексных числа называются сопряженными?
4. Объясните, что значит сложить комплексные числа, заданные в алгебраической форме; умножить комплексное число на действительное.
5. Объясните принцип деления комплексных чисел, заданных в алгебраической форме.
6. Запишите в общем виде целые степени мнимой единицы.
7. Что означает возведение комплексного числа, заданного алгебраической формой в степень ( n- натуральное число)?
8. Расскажите как изображаются комплексные числа на плоскости.