Системы логических уравнений

∧ (b ∨ ¬ c) ∧ (c ∨ ¬ d) ∧ (d ∨ ¬ e) = 1
(a → b) ∧ (b → c) ∧ (c → d) ∧ (d → e) ∧ (e → f)=1
(X1 → X2) ∧ (X2 → X3) ∧ … ∧ (X99 → X100) = 1

Ответ:

Ответ:

Ответ:

6

7

101

Решение:

Ответ:

11

∨ ¬ d) ∧ (d ∨ ¬ e) = 1

Количество решений

0

0

0

0

0

1

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

1

2

3

4

5

6

условиям?

(x1 → x2)∧ (x2 → x3) ∧ (x3 → x4) ∧ (x4 → x5) = 1
(z1 → z2) ∧ (z2 → z3) ∧ (z3 → z4)  = 1

Ответ:

30

№3.

(x1 → x3) ∧ (x3 → x5) ∧ … ∧ (x9 → x11) = 1
(x2 → x4) ∧ (x4 → x6) ∧ … ∧ (x8 → x10) = 1

Ответ:

42

Решение:

(x4 → x5) = 1
(z1 → z2) ∧ (z2 → z3) ∧ (z3 → z4)  = 1

Количество решений системы уравнений определяется как произведение 5*6 = 30, так как переменные в уравнениях не зависят друг от друга.

условиям?

(x1 → x2) ∧ (x2 → x3) ∧ (x3 → x4) ∧ (x4 → x5) = 1
(x5 → x1) = 1

Ответ:

2

Решение:

∧ (x4 → x5) = 1
(x5 → x1) = 1

1

1

1

1

1

0

1

0

1

1

1

1

0

1

1

1

0

1

1

0

Первое уравнение имеет 6 решений. Для второго уравнения из них подходят только два решения: 11111 и 00000.

∧ (x2 → x3) ∧ (x3 → x4) ∧(x4 → x5) = 1
(z1 → z2) ∧ (z2 → z3) ∧ (z3 → z4)  = 1
x1 ∨ z1 = 1

Ответ:

10

Решение:

∧(x4 → x5) = 1
(z1 → z2) ∧ (z2 → z3) ∧ (z3 → z4)  = 1
x1 ∨ z1 = 1

В первом уравнении 5 переменных ⇒ 6 решений.
Во втором уравнении 4 переменных ⇒ 5 решений.
Переменные зависят друг от друга. Возможны варианты:
Если х1=1, то подходят все решения zi⇒ 5 решений.
Если z1=1, то подходят все решения хi⇒ 6 решений.

Такое решение нужно учитывать один раз.

Всего решений: 5+6-1=10

один раз).

∧ (X2 ∨ X3) ∧ (X3 ∨ X4) ∧ (X4 ∨ X5)=1
(¬Y1→Y2)∧(¬Y2→Y3)∧(¬Y3→Y4)∧(¬Y4→Y5)=1
X1 ∨ Y1 = 0

Ответ:

25

Решение:

№ 8.

Решение:

Ответ:

64

решений) и y1=1 (8 решений).
Переменные независимы. Поэтому для каждого xi существует 8 решений yi.
Количество решений системы уравнений: 8*8=64

∨ Y1 = 0

Преобразуем первое уравнение и получим систему уравнений:

Дерево решений для второго уравнения будет аналогичное.

Так как X1 ∨ Y1 = 0, то
Х1=0 и y1=0.

x3) ∧ (x3 → x4) ∧ (x4 → x5) = 1
(y1 → y2) ∧ (y2 → y3) ∧ (y3 → y4) ∧ (y4 → y5) = 1

x1 → y1 = 1

Решение:

Ответ:

31

(x1 → x2) ∧ (x2 → x3) ∧ (x3 → x4) ∧ (x4 → x5) = 1
(у1 → у2) ∧ (у2 → у3) ∧ (у3 → у4) ∧ (у4 → у5) = 1
y5 → x5 = 1

Ответ:

31

№ 9_А

№ 9_Б

∧ (x4 → x5) = 1
(у1 → у2) ∧ (у2 → у3) ∧ (у3 → у4) ∧ (у4 → у5) = 1
x1 → y1 = 1

Для уравнения X1 → Y1 = 1 не подходят те решения, когда х1=1, а y1=0.

≡ x3)= 1
(x2 ≡ x3) ∨ (x2 ≡ x4)= 1
(x3 ≡ x4) ∨ (x3 ≡ x5)= 1
……
(x8 ≡ x9) ∨ (x8 ≡ x10)= 1

Решение:

Решение:

одинаковые значения, то значение текущей переменной может быть 0 и 1.
Если две предыдущие переменные имеют разные значения, то значение текущей переменной должно совпадать
со значением переменной на два уровня выше.

Каждое следующее число на единицу больше предыдущего

Аналогичные рассуждения проводим для Х1 = 1.

Количество решений системы уравнений: 2 * 10 = 20

одинаковые значения, то значение текущей переменной может быть 0 и 1.
Если две предыдущие переменные имеют разные значения, то значение текущей переменной должно совпадать
со значением предыдущей переменной.

Следующее число является суммой двух предыдущих чисел.

Аналогичные рассуждения проводим для Х1 = 1.

Количество решений системы уравнений: 2 * 89 = 178

К задаче №19

x3)=1
(x3 ≡ x1) ∨ (x3 ≡ x4)=1
...
(x9 ≡ x1) ∨ (x9 ≡ x10)=1
(x10 ≡ x1) = 0

(A → B) + (C → D) =1

Решение:

Ответ:

15

≡ x1) ∨ (x3 ≡ x4)=1
...
(x9 ≡ x1) ∨ (x9 ≡ x10)=1

и Y = C → D
Тогда уравнение принимает вид: X + Y = 1
Решениями уравнения являются: (0;1), (1;0), (1;1)

≡ X2, то
Y1=0 при двух наборах значений переменных х1 и х2: (0;1), (1;0);
Y1=1 – имеет два решения: (0;0) и (1;1).
Тогда одному решению новой системы соответствует 25 наборов Хi.

Количество решений системы уравнений:
6 *25 = 192

К задаче №15

≡ X6)
Y4 = (X7 ≡ X8)
Y5 = (X9 ≡ X10)

Построим дерево решений:

Так как Yi = (Xi ≡ Xi+1) имеет две пары решений, как для 1, так и для 0. То всего решений для системы уравнений: 2*25 = 64.

уравнений:

Для подсчета количества решений исходной системы уравнений будем учитывать, что
1) так как X1 ∨ ¬X2 = Y1, то
Y1=0 в одном случае: решением является набор (0;1)
Y1=1 в трех случаях: (1;0), (1;1), (0;0);
2) Переменные Yi независимы.

(00000)=1*1*1*1*1

(10000)=3*1*1*1*1

(11000)=3*3*1*1*1

(11100)=3*3*3*1*1

Количество решений на каждом наборе:

(11110)=3*3*3*3*1

(11111)=3*3*3*3*3

Всего решений:
1+3+32+33+34+35= 364.

≡ X4))*(¬(X1 ≡ X2) + ¬(X3 ≡ X4)) = 1
((X3 ≡ X4) + (X5 ≡ X6))*(¬(X3 ≡ X4) + ¬(X5 ≡ X6)) = 1
. . . . . . .
((X7 ≡ X8) + (X9 ≡ X10))*(¬(X7 ≡ X8) + ¬(X9 ≡ X10)) = 1

решений, как для 1, так и для 0. То всего решений для системы уравнений: 2*25 = 64.

(Xi ≡ Xi+1) имеет две пары решений, как для 1, так и для 0. То всего решений для системы уравнений: 6*25=192.

шесть, поэтому ответ: 7*26=448.

Так как

∧ ¬D = 1
C → D ∨ E ∧ ¬F = 1
E →F ∨ G ∧ ¬H = 1
G →H ∨ I ∧ ¬J = 1
I → J ∨ A ∧ ¬B = 0

Решение:

Решение:

подсчета количества решений исходной системы уравнений будем учитывать, что
1) так как A ∨ ¬B = Y1, то уравнение
Y1=0 имеет одно решение: (0;1)
Y1=1 имеет три решения: (1;0), (1;1), (0;0);
2) Переменные Yi независимы.

Тогда для исходной системы уравнений набор (00000) дает одно решение, а набор
(11111) дает 3*3*3*3*3=35=243 решения.
Всего решений 1+243=244.

∨ E ∧ ¬ F = 1
E →F ∨ G ∧ ¬ H = 1
G → H ∨ I ∧ ¬ J = 1
I → J ∨ A ∧ ¬ B = 0

Заметим, что ¬ (A → B) = ¬ (¬А ∨ B)= А ∧ ¬B

Дерево решений:

Для подсчета количества решений исходной системы уравнений будем учитывать, что
1) так как A ∨ ¬B = Y1, то уравнение
Y1=0 имеет одно решение: (0;1)
Y1=1 имеет три решения: (1;0), (1;1), (0;0);
2) Переменные Yi независимы.

Четыре решения: (10000)
(11000)
(11100)
(11110)

Тогда для исходной системы уравнений набор (10000) дает 3*1*1*1*1=3 решения
(11000) дает 3*3*1*1*1=32=9 решений
(11100) - 3*3*3*1*1=33=27 решений
(11110) - 3*3*3*3*1=34=81 решение
Всего решений - 120.

Y2, y3 и всю сумму - F:

Получили только три набора значений.

2. Составим дерево решений и будем подключать следующие уравнения:

Видим, что количество решений не увеличивается при подключении новых уравнений.

Ответ : 3 решения

b.
Только в нашем случае количество переменных девять, поэтому ответ: 55*2=110.

→ x4 → x5 = 1
y1 → y2 → y3 → y4 → y5 = 0

Ответ:

231

Решение:

последовательно слева направо.

(((x1 → x2 )→ x3) → x4 )→ x5 = 1

Рассмотрим x1 → x2. Если х1=0, то получаем два решения: 1 и 1.
Если х1=1, то решениями являются 0 и 1.

x1 → x2

4

3 «1» 1 «0»

(x1 → x2 )→ x3

8

3 «1» 3 «0» 2 «1»
Всего: 5 «1» 3 «0»

5 «1» 5 «0» 3* 2 «1»
Всего: 11 «1» 5 «0»

16

((x1 → x2 )→ x3) → x4

(((x1 → x2 )→ x3) → x4 )→ x5

32

11 «1» 11 «0» 5*2 «1»
Всего: 21 «1» 11 «0»

Решение для системы уравнений:
Т.к. первое уравнение имеет 21 решение, а второе уравнение – 11 решений, и переменные в уравнениях независимы, то система уравнений имеет 21*11=231 решение.

→ x4 → x5 → x6 = 1
y1 → y2 → y3 → y4 → y5 → y6 = 1
x1 → y1 = 1

и 1.
Если х1=1, то решениями являются 0 и 1.

x1 → x2

1 «1» 1 «0»

(x1 → x2 )→ x3

1 «1» 1 «0» 2 «1»
Всего: 3 «1» 1 «0»

3 «1» 3 «0» 1* 2 «1»
Всего: 5 «1» 3 «0»

((x1 → x2 )→ x3) → x4

(((x1 → x2 )→ x3) → x4 )→ x5

4

8

16

32

64

2 «1»

2 «1» 2 «0»
Всего: 2 «1» 2 «0»

2 «1» 2 «0» 2*2 «1»
Всего: 6 «1» 2 «0»

5 «1» 5 «0» 3* 2 «1»
Всего: 11 «1» 5 «0»

6 «1» 6 «0» 2* 2 «1»
Всего: 10 «1» 6 «0»

11 «1» 11«0» 5*2 «1»
Всего: 21 «1» 11 «0»

10 «1» 10«0» 6*2 «1»
Всего: 22 «1» 10 «0»

Если х1=1, то y1=1.
По таблице видим, что подходят варианты для исходной системы уравнений: 21х1*21y1 (переменные в уравнениях независимы).
Если х1=0, то y1 может быть любым: 0 и 1.
По таблице видим, что подходят варианты для исходной системы уравнений: 22х1*(21+22)y1 (переменные в уравнениях независимы).
Всего решений: 21*21+22*43=1387.

64

11 «1» 11«0» 5*2 «1»
Всего: 21 «1» 11 «0»

10 «1» 10«0» 6*2 «1»
Всего: 22 «1» 10 «0»

= 1
(¬у1 ∨ у2) ∧ (¬у2 ∨ у3) ∧ (¬у3 ∨ у4) =1
(x1 → y1) ∧ (x2 → y2) ∧ (x3 → y3) ∧ (x4 → y4) = 1

№21. Сколько различных решений имеет система уравнений:

Решение:

Ответ:

15

( ¬у2 ∨ у3) ∧ (¬у3 ∨ у4)=1
(x1→y1)∧(x2 → y2)∧(x3 → y3)∧(x4→ y4)=1

Рассмотрим систему из первых двух уравнений.

Т.к. переменные независимы, то всего решений: 5*5=25

Выясним, какие из этих решений не подходят для третьего уравнения.

4 решения

Всего 6 решений. Однако, решения из первой таблицы уже учтены в первом уравнении и их повторно считать не надо. Ответ: 3 решения.

3 решения

( ¬у2 ∨ у3) ∧ (¬у3 ∨ у4)=1
(x1→y1)∧(x2 → y2)∧(x3 → y3)∧(x4→ y4)=1

Рассмотрим систему из первых двух уравнений.

Т.к. переменные независимы, то всего решений: 5*5=25

Выясним, какие из этих решений не подходят для третьего уравнения.

4 решения

3 решения

Всего 6 решений. Однако, решения из первой и второй таблиц уже учтены в первом и втором уравнениях и их повторно считать не надо. Ответ: 2 решения.

2 решения

( ¬у2 ∨ у3) ∧ (¬у3 ∨ у4)=1
(x1→y1)∧(x2 → y2)∧(x3 → y3)∧(x4→ y4)=1

Рассмотрим систему из первых двух уравнений.

Т.к. переменные независимы, то всего решений: 5*5=25

Выясним, какие из этих решений не подходят для третьего уравнения.

4 решения

3 решения

2 решения

1 решение

Проводим аналогичные рассуждения

Всего решений для исходной системы уравнений: 25 – 4 – 3 – 2 – 1 = 15