Дифференциальные уравнения

уравнение называется уравнением с разделенными переменными.

Проинтегрировав это уравнение почленно, получим:

- общий интеграл ДУ.

Более общий случай описывают уравнения с разделяющимися переменными, которые имеют вид:

(1)

(2)

Уравнение (2) сводится к уравнению (1) путем почленного деления его на

быть потеряны некоторые решения.

Поэтому следует отдельно решить уравнение

(3)

Уравнение

и установить те решения, которые не могут быть получены из общего решения – особые решения.

также сводится к уравнению с разделенными переменными.

Для этого достаточно положить

уравнение xy = 0:

Его решения: x = 0 и y = 0 являются решениями данного ДУ, но не входят в общее решение, значит это особое решение.

Решить задачу Коши:

Общее решение ДУ

Подставим начальные условия:

Частное решение ДУ

разделяющимися переменными:

Задача: материальная точка массы m замедляет свое движение под воздействием силы сопротивления среды, пропорциональной квадрату скорости V. Найти зависимость скорости от времени. Найти скорость точки через 3 с после начала замедления, если V(0) = 100 м/с, V(1) = 50 м/с.

Решение:

Примем за переменную время t, отсчитываемое от начала замедления точки. Тогда скорость V будет функцией t: V = V(t).

Воспользуемся вторым законом Ньютона:

В нашем случае

- коэффициент пропорциональности

точки изменяется по закону:

порядка).

на одно и то же число t равносильно умножению функции на tn, т.е.

т.е.

разделяющимися переменными при помощи замены переменной

или

M(x;y) и N(x;y) - однородные функции одной и той же степени.

виду

порядка, линейное относительно неизвестной функции y и ее производной y ′.
В общем случае линейное уравнение 1-го порядка можно
записать в виде y ′ + p(x) ⋅ y = q(x) , (1)
где p(x) , q(x) – заданные непрерывные функции.
Если q(x) ≡ 0 , то линейное уравнение называется однородным.
В противном случае уравнение называется неоднородным.
Линейное однородное уравнение
y ′ + p(x) ⋅ y = 0
является уравнением с разделяющимися переменными.

y = 0 ⇒

dy = − p( x)dx, интегрируя это выражение, получаем:
y

ln y = −∫ p( x)dx + ln C, где

y = Ce−∫ p( x)dx ,

ln C,

ln y = ln e−∫ p( x )dx

где

C > 0
C > 0

⇒
⇒
C ≠ 0

В процессе преобразований было потеряно решение y=0.
Тогда общее решение принимает вид:

∀C .

y = C ⋅ e−∫ p( x)dx ,

(2)

.
Существуют два метода его интегрирования.

⇒ Оно имеет вид

Метод вариации постоянной (метод Лагранжа)
Интегрируем однородное уравнение y ′ + p(x) ⋅ y = 0,
соответствующее данному неоднородному уравнению.
Его общее решение имеет вид :
(2) y = C ⋅ e−∫ p( x)dx .
2) Полагаем, что решение неоднородного уравнения по структуре совпадает с решением соответствующего линейного однородного уравнения.

y = C(x) ⋅ e−∫ p( x)dx .
Функцию C(x) найдем, подставив
у и y′ в исходное неоднородное уравнение (1).

p( x)dx − C( x) ⋅ e−∫ p( x)dx ⋅ p( x)

Подставим эти выражения в уравнение

+ p( x) y = f ( x) :

y′

dC ⋅ e−∫ p( x)dx − C( x) ⋅ e−∫ p( x)dx ⋅ p( x) + p( x) ⋅ C( x) ⋅ e−∫ p( x)dx = f ( x)

dx

dC ⋅ e−∫ p( x)dx = f (x)

dx
⇒

⇒

dx

dC = f (x) ⋅ e∫ p( x)dx

⇒ dC = f (x) ⋅ e∫ p( x)dxdx
Интегрируя, находим C(x) = ∫ f (x) ⋅ e∫ p( x)dxdx + C .

– общее решение линейного однородного уравнения, а второе – частное решение линейного неоднородного уравнения (получается из общего решения при C = 0).

C(x) = ∫ f (x) ⋅ e∫ p(x)dx dx + C .

y(x) = C ⋅ e−∫ p( x)dx + e−∫ p( x)dx ⋅∫ f (x) ⋅ e∫ p( x)dxdx .

y = C( x) ⋅ e−∫ p( x)dx =( ∫ f ( x) ⋅ e∫ p( x)dxdx + C )e−∫ p( x)dx
Замечание.
Раскроем скобки в (3):

что функция v(x) такова, что
[ v ′ + pv ] = 0 .
Тогда u ′ ⋅ v = f(x) .

(5)

Условия (5) позволяют однозначно определить v(x) и u(x) .
Первое уравнение – это линейное однородное уравнение

⇒

v(x) = Ce−∫ p( x)dx