Математическая логика в школьном курсе математики

Сентябрь 1, 2022

Главная
Математика
Математическая логика в школьном курсе математики

Содержание

2. Правила пользования презентацией Выход в содержание Возврат к предыдущему слайду Переход к следующему слайду Подчёркнутое слово
3. Содержание Предисловие Что такое логика? - История изучения - Высказывания Алгебра логики - Действия над высказываниями
4. Предисловие В повседневной жизни мы часто сталкиваемся с ситуациями, когда не знаем, как прийти к выводу
5. Предмет логики Логика (др.-греч. «λογική» — «искусство рассуждения») — наука, изучающая законы и формы мышления.
6. История Как самостоятельная наука логика оформилась в трудах греческого философа Аристотеля (384-322 г.г до н.э.). Он
7. Высказывания Высказывание – утвердительное предложение, относительно которого можно сказать истинно оно или ложно. Обычно высказывания обозначаются
8. Алгебра высказываний Дизъюнкция Импликация Эквиваленция Строгая дизъюнкция Конъюнкция Действия над высказываниями Отрицание
9. Приоритет выполнения операций Аν(В ~С) ∧ А → (ВνС) 1. Действия в скобках 1 1 2
10. Законы математической логики Коммутативность А В ν Ассоциативность А ν В ν С ( ) А
11. Законы алгебры логики 1. А = А 2. А ν А = А 3. А ∧
12. Отрицание Отрицанием высказывания А называется такое высказывание, что В ложно, когда А истинно и В истинно,
13. Дизъюнкция Дизъюнкцией высказываний А и В называется такое высказывание АνВ, ложное лишь в том случае, если
14. импликация Импликацией высказываний А и В называется такое высказывание А→В, ложное лишь в том случае, когда
15. конъюнкция Конъюнкцией высказываний А и В называется такое высказывание А∧В, истинное лишь в том случае, если
16. эквиваленция Эквиваленцией высказываний А и В называется такое высказывание А~В, истинное когда А и В –
17. Строгая дизъюнкция Строгой дизъюнкцией высказываний А и В называют высказывание А⊕В, истинное лишь в случаях, когда
18. Тогда, слушайте загадку! Да, капитан! Так точно, капитан! Я не слышу!! Согласно инструкции я должен находиться
19. Разгадали? Давайте проверим Пусть А≡{Капитан присутствует на судне}, В≡{С судна выгружают груз}, С≡{Рулевой присутствует на судне},
20. Предикаты Утверждение, зависящее от переменной, заданной на определенном множестве и обращающееся в верное высказывание при конкретном
21. Множеством истинности предиката Р(х), заданного на множестве М, называют множество таких значений х, при которых высказывание
22. Для предикатов характерны те же действия, что и для высказываний, а именно: Конъюнкция Дизъюнкция Импликация Эквиваленция
23. Кванторы Одним из способов получения высказываний из предикатов является навешивание кванторов. Для этого перед предикатом пишут
24. квантор существования « ∃» Квантор существования — это символ, обозначающий единственное существование и читается как «существует»
25. квантор всеобщности «∀» Квантор всеобщности — это символ, обозначающий всеобщность и читается как «для любого» или
26. Заключение Таким образом, мы познакомились с основными понятиями алгебры логики, научились выполнять операции с высказываниями, определенными
27. Использованная литература Шабунин М.И. Математика. Алгебра. Начала анализа. http://ru.wikipedia.org
29. Скачать презентацию

Слайд 2

Правила пользования презентацией
Выход в содержание
Возврат к предыдущему слайду
Переход к следующему слайду
Подчёркнутое

слово

Гиперссылка

Слайд 3

Содержание
Предисловие
Что такое логика?
- История изучения
- Высказывания
Алгебра логики
- Действия

над высказываниями
- Приоритет выполнения операций
- Законы алгебры логики
Примеры решения задач
Предикаты
Заключение

Слайд 4

Предисловие
В повседневной жизни мы часто сталкиваемся с ситуациями, когда

не знаем, как прийти к выводу из предпосылок и получить истинное знание о предмете размышления. Логика служит одним из инструментов почти любой науки. Пример тому школьный курс математики.

Слайд 5

Предмет логики
Логика
(др.-греч. «λογική» — «искусство рассуждения») — наука, изучающая законы и

формы мышления.

Слайд 6

История
Как самостоятельная наука логика оформилась в трудах греческого философа Аристотеля (384-322

г.г до н.э.). Он систематизировал известные до него сведения, и эта система стала впоследствии называться формальной или Аристотелевой логикой.

Впервые в истории идеи о построении логики на математической основе были высказаны немецким математиком Г. Лейбницем (1646-1716) в конце XVII века. Он считал, что основные понятия логики должны быть обозначены символами, которые соединяются по особым правилам. Это позволит всякое рассуждение заменить вычислением.

Реализация идеи Лейбница принадлежит английскому учёному Д. Булю. Он создал алгебру, в которой буквами обозначены высказывания. Введение символических обозначений в логику имело для этой науки такое же решающее значение, как и введение буквенных обозначений для математики. Именно благодаря введению символов в логику была получена основа для создания новой науки – МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ

Слайд 7

Высказывания
Высказывание – утвердительное предложение, относительно которого можно сказать истинно оно или

ложно.

Обычно высказывания обозначаются заглавными латинскими буквами, а само предложение заключается в фигурные скобки.

Понятие высказывания является исходным понятием математической логики.

Слайд 8

Алгебра высказываний
Дизъюнкция
Импликация

Эквиваленция
Строгая дизъюнкция
Конъюнкция
Действия над высказываниями
Отрицание

Слайд 9

Приоритет выполнения операций
Аν(В ~С) ∧ А → (ВνС)
1. Действия в скобках
1
1
2
3
4
5
5.

Импликация, эквиваленция, строгая дизъюнкция

4. Дизъюнкция

3. Конъюнкция

2. Отрицание

Слайд 10

Законы математической логики
Коммутативность
А
В
ν
Ассоциативность
А ν В ν С
( )
А ∧ В ∧

( )

Дистрибутивность

∧

А ν В ∧ С

( )

А ∧ В ν С

( )

∧

( )

Законы де Моргана

∧

Слайд 11

Законы алгебры логики
1. А = А
2. А ν А =

А
3. А ∧ А = А
4. А ν А = I
5. A ν (A ν A) = I

6. A ∧ (A ∧ A) = A
7. L = I
8. A ν L = A
9. A ∧ L = A
10. A ∧ A = L

I – тождественно-истинное высказывание L – тождественно-ложное высказывание

Слайд 12

Отрицание
Отрицанием высказывания А называется такое высказывание, что В ложно, когда А

истинно и В истинно, когда А ложно.

Слайд 13

Дизъюнкция
Дизъюнкцией высказываний А и В называется такое высказывание АνВ, ложное лишь

в том случае, если оба высказывания А и В ложные.

АνВ ≡ {Луна - спутник Земли или
Солнце - спутник Земли}

A ≡{Луна - спутник Земли}

В ≡{Солнце- спутник Земли }

Слайд 14

импликация
Импликацией высказываний А и В называется такое высказывание А→В, ложное лишь

в том случае, когда высказывание А – истинное и В – ложное.

A ≡ {Лето жаркое},
B ≡ {Зима будет холодной}

А→В ≡ {Eсли лето жаркое, то зима будет холодной.}

Слайд 15

конъюнкция
Конъюнкцией высказываний А и В называется такое высказывание А∧В, истинное

лишь в том случае, если оба высказывания А и В истинные.

A ≡{Наталья учится в
11 а классе}

В ≡{Людмила учится в
11 а классе}

А∧В ≡ {Наталья и Людмила учатся вместе в 11 а классе}

Слайд 16

эквиваленция
Эквиваленцией высказываний А и В называется такое высказывание А~В, истинное когда

А и В – оба истинные или оба ложные высказывания.

A ≡{Убийство раскрыто},
B ≡{Есть свидетели}

Для того чтобы раскрыть убийство необходимо и достаточно найти свидетелей.

Слайд 17

Строгая дизъюнкция
Строгой дизъюнкцией высказываний А и В называют высказывание А⊕В, истинное

лишь в случаях, когда А – истинное и В – ложное высказывание или А – ложное и В – истинное высказывание.

А ≡ {Сейчас Ксюша в Москве}

В ≡ {Сейчас Ксюша в Лондоне}

А ⊕ В ≡ {Сейчас Ксюша в Москве или Лондоне}

Слайд 18

Тогда, слушайте загадку!
Да, капитан!
Так точно, капитан!
Я не слышу!!
Согласно инструкции я должен

находиться на судне всегда, за исключением случаев, когда с судна выгружают груз, если же груз не выгружают, то рулевой никогда не отсутствует, если не отсутствую и я. В каких случаях рулевой обязан присутствовать на судне?

Вы готовы дети?

Слайд 19

Разгадали? Давайте проверим
Пусть А≡{Капитан присутствует на судне},
В≡{С судна выгружают груз},

С≡{Рулевой присутствует на судне}, тогда
(В → А) и (B→ (A→C)) – истинные высказывания.
Конъюнкция истинных высказываний истинна, т.е.
(B→A)∧(B→ (A→C))=(BvA)(B→(AvС))= (BvA)(Bv (AvС))= BvA(AvС)= BvLvAC= BvAC= B→AC.
Проанализировав полученное, выяснили, что рулевой присутствует на судне, если с судна не выгружают груз.
Ответ: рулевой присутствует на судне,
если с судна не выгружают груз.

Слайд 20

Предикаты
Утверждение, зависящее от переменной, заданной на определенном множестве и обращающееся в

верное высказывание при конкретном значении переменной, называется неопределенным высказыванием или предикатом.

A(х) ≡ {d=x+34}

Слайд 21

Множеством истинности предиката Р(х), заданного на множестве М, называют множество таких

значений х, при которых высказывание Р(х) истинно.

-города Российской Федерации.

A ≡{Город Х находится в Российской Федерации}

Слайд 22

Для предикатов характерны те же действия, что и для высказываний,

а именно:
Конъюнкция
Дизъюнкция
Импликация
Эквиваленция и др.

ПРЕДИКАТЫ

Слайд 23

Кванторы
Одним из способов получения высказываний из предикатов является навешивание кванторов.

Для этого перед предикатом пишут кванторы – слова, описывающие его множество истинности.

Квантор
существования

Квантор всеобщности

Слайд 24

квантор существования « ∃»
Квантор существования — это символ, обозначающий единственное

существование и читается как «существует» или «для некоторого».

Из предиката {Ученик X Лицея №1 сдал ЕГЭ по математике на 100 баллов } получаются высказывание:

{Найдется такой ученик Лицея №1, который сдаст ЕГЭ по математике на 100 баллов}

Слайд 25

квантор всеобщности «∀»
Квантор всеобщности — это символ, обозначающий всеобщность и

читается как «для любого» или «для всех».

Из предиката {Ученик X Лицея №1 сдал ЕГЭ по математике на 100 баллов } получаются высказывание:

{Все ученики Лицея №1 сдали ЕГЭ по математике на 100 баллов}

Слайд 26

Заключение
Таким образом, мы познакомились с основными понятиями алгебры логики, научились выполнять

операции с высказываниями, определенными и неопределёнными.
Надеемся, эта презентация поможет Вам окунуться в мир логики и абстрактного мышления.

Слайд 27

Математическая логика в школьном курсе математики

Содержание

Правила пользования презентациейВыход в содержаниеВозврат к предыдущему слайдуПереход к следующему слайдуПодчёркнутое

СодержаниеПредисловиеЧто такое логика? - История изучения - ВысказыванияАлгебра логики - Действия

Предисловие В повседневной жизни мы часто сталкиваемся с ситуациями, когда

Предмет логики Логика (др.-греч. «λογική» — «искусство рассуждения») — наука, изучающая законы и

ИсторияКак самостоятельная наука логика оформилась в трудах греческого философа Аристотеля (384-322

ВысказыванияВысказывание – утвердительное предложение, относительно которого можно сказать истинно оно или

Алгебра высказыванийДизъюнкцияИмпликация ЭквиваленцияСтрогая дизъюнкцияКонъюнкцияДействия над высказываниямиОтрицание

Приоритет выполнения операцийАν(В ~С) ∧ А → (ВνС)1. Действия в скобках1123455.

Законы математической логикиКоммутативностьАВνАссоциативностьА ν В ν С( )А ∧ В ∧

Законы алгебры логики1. А = А2. А ν А =

ОтрицаниеОтрицанием высказывания А называется такое высказывание, что В ложно, когда А

ДизъюнкцияДизъюнкцией высказываний А и В называется такое высказывание АνВ, ложное лишь

импликацияИмпликацией высказываний А и В называется такое высказывание А→В, ложное лишь

конъюнкция Конъюнкцией высказываний А и В называется такое высказывание А∧В, истинное

эквиваленцияЭквиваленцией высказываний А и В называется такое высказывание А~В, истинное когда

Строгая дизъюнкцияСтрогой дизъюнкцией высказываний А и В называют высказывание А⊕В, истинное

Тогда, слушайте загадку!Да, капитан!Так точно, капитан!Я не слышу!!Согласно инструкции я должен

Разгадали? Давайте проверимПусть А≡{Капитан присутствует на судне}, В≡{С судна выгружают груз},

ПредикатыУтверждение, зависящее от переменной, заданной на определенном множестве и обращающееся в