Стереометрия .Аксиомы и их следствия

фигуры в пространстве:

А

Точка.

а

Прямая.

Плоскость.

P ∈ α

МНОГОГРАННИКАМИ
Стороны и вершины этих многоугольников называются ребрами и вершинами.
Отрезки, соединяющие вершины многогранника,
не принадлежащие одной грани, называются дигоналями.

доказательства

одной плоскости.
Любые четыре точки не лежат в одной плоскости.
Через любые три точки проходит плоскость и при том только одна.
Если прямая пересекает 2 стороны треугольника, то она лежит в плоскости треугольника.
Если прямая проходит через вершину треугольника, то она лежит в плоскости треугольника.
Если прямые не пересекаются, то они параллельны.
Если плоскости не пересекаются, то они параллельны.

В стереометрии мы будем рассматривать ситуации, задающие различные расположения в пространстве основных фигур относительно друг друга

Определите: верно, ли суждение?

ДА

ДА

ДА

НЕТ

НЕТ

НЕТ

НЕТ

НЕТ

плоскость, и притом только одна

α = (РКС)

прямой лежат в этой плоскости.

m

М, C ∈ α

m ⊂ α

М, C ∈ m,

Если

то

Однако , если взять не три , а четыре точки, то через них может не проходить ни одна плоскость.
Иначе говоря, четыре точки могут не лежать в одной плоскости.

прямой лежат в этой плоскости.

А, В ∈ α

Из аксиомы следует, что если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более одной общей точки. Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то они пересекаются

А

В

α

a

α

М

прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

М ∈ α, М ∈ β, М ∈ m

m ∈ α, m ∈ β

α ∩ β = m

крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой

3. Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна.

Характеризуют взаимное расположение точек и прямых

Основное понятие геометрии «лежать между»

4. Из трех точек прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

А1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна

А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости

А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

расположение плоскостей

через прямую и не лежащую на ней точку.

Аксиома 1

Теорема 1

Теорема 2

3. Можно провести через две пересекающиеся прямые.

А1

пересекает плоскость.

Множество общих точек.

Единственная общая точка.

Нет общих точек.

γ

а

γ

а

М

γ

а

а ⊂ γ

а ∩ γ = М

а ⊄ γ

А2

проходит плоскость, и притом только одна.

Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

провести плоскость, и притом только одну.

м

А

В

Дано: М∉m

Так как М∉m, то точки А, В и M не принадлежат одной прямой. По А-1 через точки А, В и M проходит только одна плоскость — плоскость (ABM), Обозначим её α. Прямая m имеет с ней две общие точки — точки A и B, следовательно, по аксиоме А-2 эта прямая лежит в плоскости α.. Таким образом, плоскость α проходит через прямую m и точку M и является искомой.
Докажем, что другой плоскости, проходящей через прямую m и точку M, не существует. Предположим, что есть другая плоскость — β, проходящая через прямую m и точку M. Тогда плоскости α и β проходят через точки А, В и M, не принадлежащие одной прямой, а значит, совпадают. Следовательно, плоскость α единственна.
Теорема доказана

Доказательство

Пусть точки A, B ∈ m.

притом только одну.

N

Дано: m ∩ n = M

Доказательство

Отметим на прямой m произвольную точку N, отличную от М.

Рассмотрим плоскость α =(n, N). Так как M∈ α и N∈α, то по А-2 m ⊂ α. Значит обе прямые m, n лежат в плоскости α и следовательно α, является искомой
Докажем единственность плоскости α. Допустим, что есть другая, отличная от плоскости α и проходящая через прямые m и n, плоскость β.
Так как плоскость β проходит через прямую n и не принадлежащую ей точку N, то по T-1 она совпадает с плоскостью α. Единственность плоскости α доказана.
Теорема доказана

не лежащей на этой прямой
По двум пересекающимся прямым
По двум параллельным прямым

ВЫВОД

Как в пространстве можно однозначно задать плоскость?

НА ВОПРОСЫ

а)

б)

в)

г)

д)

е)

(формулировки и определения)
Закончи работу с презентацией

плоскости АВС;
б) плоскость, в которой лежит прямая MN, прямая КМ;
в) прямую, по которой пересекаются плоскости ASC и SBC , плоскости SAC и CAB.

EF
б) прямую, по которой пересекаются плоскости
DEF и SBC; плоскости FDE и SAC ;
в) две плоскости, которые пересекает прямая SB; прямая AC .

прямую, по которой пересекаются плоскости
B1CD и AA1D1 ; плоскости ADC1 и A1B1B ;

C1

C

прямую, по которой пересекаются плоскости
B1CD и AA1D1 ; плоскости ADC1 и A1B1B ;
в) плоскость, не пересекающуюся с прямой CD1 ; с прямой BC1