- Главная
- Математика
- Системы счисления с древних времён до современного мира
Содержание
- 2. За долгую историю развития человеческого общества использовались различные способы счёта и записи чисел. Целью настоящей работы
- 3. Алфавитное обозначение чисел Иудеи 9 букв алфавита использовались для обозначения первых 9 целых чисел; Еще 9
- 4. Двадцатеричные системы счисления Индейцы майя 1 · ; 5 — ; 0 Система счисления майя основывается
- 5. Древний Китай Счёт палочками Счётная доска «суань» Принцип позиционности 1 | ; 6 T ; 10
- 6. Индия 1021 записывалось словами «Луна – дыра – крылья – Луна»; «шунья» (пустое) – по арабски
- 7. Арабские страны Буквенная нумерация - «абджад» и «джумал» Книги Мухаммеда Бен Муса аль-Хорезми (878-ок.850) «Об индийском
- 8. Славяне Славянская нумерация восходит к греческой буквенной нумерации При Петре I были введены арабские цифры
- 9. Западная Европа В Европе использовались римские цифры, система арифметики при помощи абака. В 12 в. переведён
- 10. Современные системы счисления Десятичная система 6789=6·103+7·102+8·101+9·100 Двоичная система 6789 = (1101010000101)2 Таблица сложения и умножения Двоичная
- 11. Восьмеричная и двенадцатеричная системы счисления 6789 = (15205)8 = 1∙84+5∙83+2∙82+5 (765,43)8 7(82) + 6(81) + 5(80)
- 12. Троичная система Об одном замечательном свойстве троичной системы. 6789=(100022110)3 Троичная система является самой экономичной из позиционных
- 13. Для взвешивания любого числа граммов песка от 1 г до n г за одно взвешивание, достаточно
- 15. Современные системы счисления
- 16. В работе исследованы различные способы записи чисел с древних времён и до наших дней. Многие из
- 18. Скачать презентацию
За долгую историю развития человеческого общества использовались различные способы счёта и
За долгую историю развития человеческого общества использовались различные способы счёта и
Целью настоящей работы является исследование способов записи чисел, применяемых в древности, их влияние на современную науку и культуру, а также изучение современных систем счисления.
Задачей настоящей работы является обзор способов записи чисел и иллюстрация математической культуры с древних времен на примере решения задач.
Алфавитное обозначение чисел
Иудеи
9 букв алфавита использовались для обозначения первых
Алфавитное обозначение чисел
Иудеи
9 букв алфавита использовались для обозначения первых
Еще 9 букв означали первые 9 кратных числа 10; остальные буквы использовались для обозначения сотен.
Для обозначения тысяч использовался принцип позиционности
6789 -
Двадцатеричные системы счисления
Индейцы майя
1 · ; 5 — ; 0
Двадцатеричные системы счисления
Индейцы майя
1 · ; 5 — ; 0
Система счисления майя основывается на их астрономических данных;
Первый разряд - сутки, второй – месяцы, третий – годы.
6789
(3∙5+3)∙(360)+3∙5∙(20)+(5+4)
Двадцатеричная система также использовалась у ацтеков, кельтов, чукчей и других народов.
Древний Китай
Счёт палочками
Счётная доска «суань»
Принцип позиционности
1 | ; 6 T
Древний Китай
Счёт палочками
Счётная доска «суань»
Принцип позиционности
1 | ; 6 T
6789
Отрицательные числа – «фу»;
Положительные числа – «чжэн»
Иероглифическая система
Десятичная, мультипликативная;
Для обозначения первых 9 чисел использовалось 9 знаков и 11 символов для обозначения степеней числа 10.
6789
(6×1000 + 7×100 + 8×10 + 9)
II в. до н.э. - «Трактат об измерительном шесте» и «Математика в девяти книгах»
Т
Дроби. Половина - «бань», треть – «шао бань», две трети – «тай бань». III в. н.э. – десятичные дроби.
Методы «тянь-юань» (небесный элемент); «фан чэн»
Индия
1021 записывалось словами «Луна – дыра – крылья – Луна»;
«шунья»
Индия
1021 записывалось словами «Луна – дыра – крылья – Луна»;
«шунья»
Положительные числа - «дхана» или «сва», отрицательные – «рина» или «кщайя».
С сер. II тыс. до н.э. – дроби: ардха (1/2), пада (1/4), три-пада (3/4) и кала (1/16) с системой записи обыкновенных дробей с числителем, расположенным над знаменателем.
Разработаны правила основных арифметических действий.
Индийские математики и астрономы Ариабхата (V-VI вв.), Брахмагупта (VII в.), Магавира (IX в.), Шридхара (IX-X вв.), Бхаскара (XII в.), Нилаканта (XV-XVI вв.)
Цифры карошти
Цифры брахми
Большинство трактатов написано на санскрите (алфавит «деванагари»)
6789
Система десятичная, позиционная, цифровая. Предшественник современной.
Арабские страны
Буквенная нумерация - «абджад» и «джумал»
Книги Мухаммеда Бен
Арабские страны
Буквенная нумерация - «абджад» и «джумал»
Книги Мухаммеда Бен
Индийские цифры:
На востоке: 6789
На западе: Гобари («Песчаный абак») 6789
О влиянии науки арабских стран на науку Европы говорят термины: арабские цифры, алгебра, алгоритм, цифра, корень, синус.
Учёные, которые обогатили науку: Мухаммед аль-Хорезми, астрономы ал-Фергани, ал-Тюрки и Абдуль Хасан, ал-Сагани, ал-Ходженди и ал-Джаухари, ал-Беруни из Хорезма и идн-Сина из Бухары (IX-X вв.), известный математик и поэт Омар Хайям (XI в.) и ал-Каши – директора обсерватории правителя Улугбека (XV в.).
Славяне
Славянская нумерация восходит к греческой буквенной нумерации
При Петре I были
Славяне
Славянская нумерация восходит к греческой буквенной нумерации
При Петре I были
Западная Европа
В Европе использовались римские цифры, система арифметики при помощи абака.
В
Западная Европа
В Европе использовались римские цифры, система арифметики при помощи абака.
В
С XVI в. индо-арабская система стала использоваться применительно к дробям.
В эпоху Возрождения окончательно была введена позиционная десятичная арифметика.
Была создана арифметическая и алгебраическая символика. Введены были дробные и отрицательные показатели и числа; успешно найдено решение в радикалах уравнений 3 и 4 степеней. Были формально введены мнимые числа.
Математика становилась средством решения не только практических задач.
Долгий период изучения постоянных величин подходил к завершению. Были созданы условия для возникновения теории переменных величин, аналитической геометрии, дифференциального и интегрального исчислений.
Симон Стевин - трактат De Thiende (Десятина); 6789
С XVII в. цифры приняли практически современный вид
Современные системы счисления
Десятичная система
6789=6·103+7·102+8·101+9·100
Двоичная система
6789 = (1101010000101)2
Таблица сложения и
Современные системы счисления
Десятичная система
6789=6·103+7·102+8·101+9·100
Двоичная система
6789 = (1101010000101)2
Таблица сложения и
Двоичная система используется в вычислительной технике;
в телеграфии;
в кодировании;
в теоретических исследованиях.
Восьмеричная и двенадцатеричная системы счисления
6789 = (15205)8 = 1∙84+5∙83+2∙82+5
(765,43)8
7(82) +
Восьмеричная и двенадцатеричная системы счисления
6789 = (15205)8 = 1∙84+5∙83+2∙82+5
(765,43)8
7(82) +
+4(8–1) + 3(8–2) =
6789=(3 e 1 9)12 =3∙123+11∙122+1∙12+9
(765,43)12
7(122) + 6(121) + 5(120) +
+ 4(12–1) + 3(12–2) =
Используется в традиционной системе мер (в английской и американской);
связана с календарем и временем.
На американских фондовых биржах дроби обычно выражают в восьмых долях.
Троичная система
Об одном замечательном свойстве троичной системы.
6789=(100022110)3
Троичная система является самой экономичной
Троичная система
Об одном замечательном свойстве троичной системы.
6789=(100022110)3
Троичная система является самой экономичной
С помощью 60 знаков можно записать:
В двоичной системе 230 чисел; в троичной – 320; в четверичной – 415; и т.д. В десятичной системе – 106; в шестидесятеричной - 60 чисел.
320>230=415>512>610>106 > 125 > 154 > 203 > 302 > 60
Троичная система оказалась самой экономичной. Двоичная и равносильная четверичная системы уступают троичной, но превосходят все остальные системы.
Этот вывод не связан с количеством знаков. В общем случае результат будет тем же. Существует строгое математическое доказательство этого факта.
Для взвешивания любого числа граммов песка от 1 г до n
Для взвешивания любого числа граммов песка от 1 г до n
Если разрешить класть гири на обе чашки весов, то оптимальной будет система из гирек с массами, образованными степенями тройки (1, 3, 9, 27…). Для того чтобы взвесить груз в n г, надо представить число n в виде суммы a0+3a1+9a2+27a3, где ai=0, ±1 (i=0, 1, 2, 3). Тогда для его взвешивания достаточно на чашку вместе с грузом положить все гири, массы которых входят в эту сумму со знаком минус, а на противоположную чашку положить все гири, массы которых входят в эту сумму со знаком плюс.
Этой задачей интересовался Д. И. Менделеев в бытность свою председателем Российской палаты мер и весов. Частный случай этой задачи был опубликован в книге Баше де Мезириака в XVII веке, а ранее был известен Фибоначчи.
Задача. 12 монет. Из двенадцати монет одиннадцать настоящих, а одна фальшивая (она отличается по весу от настоящей, но не известно, в какую сторону). Требуется за три взвешивания на двухчашечных весах без гирь найти фальшивую монету и выяснить, легче она или тяжелее настоящей.
Решение. Пронумеруем монеты: присвоим им номера 001, 010, 011, 012, 112, 120, 121, 122, 200, 201, 202, 220. Для 1 взвешивания положим на одну чашу весов те монеты, у которых старший разряд равен 0 (то есть 001, 010, 011, 012), а на другую - те монеты, у которых он равен 2 (200, 201, 202, 220). Если перетянет чашка с «0», запишем 0. Если перетянет «2» — запишем 2. Если чаши весов останутся в равновесии — запишем 1. Для 2 взвешивания на одну чашу выложим монеты 001, 200, 201, 202 (то есть все те монеты, у которых второй разряд равен 0), а на другую — 120, 121, 122, 220 (то есть те монеты, у которых средний разряд равен 2). Запишем результат взвешивания. 3 взвешиванием сравниваем 010, 020, 200, 220 с 012, 112, 122, 202 (соответственно, нули и двойки в младшем разряде) и записываем третью цифру. Мы получили 3 цифры —трехзначное число. Далее определяем фальшивую монету так: Если это число совпадает с номером какой-то монеты, то эта монета фальшивая и тяжелее остальных. Если нет, то заменим в этом числе все нули на двойки, а все двойки на нули. После этого оно должно совпасть с номером какой-то монеты. Эта монета фальшивая и легче остальных.
Двоичную и троичную систему счисления можно использовать для решения ряда математических задач.
Современные системы счисления
Современные системы счисления
В работе исследованы различные способы записи чисел с древних времён и
В работе исследованы различные способы записи чисел с древних времён и
Эволюция способов записи чисел проходила много этапов. Менялись основания систем счислений, принципы записи, форма цифр или иероглифов.
Математика в Древнем Китае оказала большое влияние на математическую науку в Древней Индии, странах Азии и Востока. Однако многие открытия китайских учёных стали известны в Европе уже после того, как европейцы пришли к ним самостоятельно.
Современные арабские цифры – набор из 10 знаков - используются ныне практически во всем мире для записи чисел в десятичной системе счисления. Эта система счисления является позиционной. Арабские цифры происходят от индийских символов для записи чисел. Многие достижения индийских учёных значительно повлияли на развитие науки в арабских странах.
Математики арабских стран впитывали знания ученых со всего мира и распространяли их дальше. Изучение учеными Европы науки стран ислама позволило начать строить европейскую науку на прочном фундаменте и не повторять заново весь пройденный их предшественниками путь.