Теорема о трех перпендикулярах

Содержание

Слайд 2

Определение. S A F N D H Прямая называется перпендикулярной к

Определение.

S

A

F

N

D

H

Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к

любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Повторение

Слайд 3

Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Повторение Если прямая перпендикулярна к двум

Признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Повторение

Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся

прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.
Слайд 4

Планиметрия Стереометрия Отрезок АН – перпендикуляр Точка Н – основание перпендикуляра

Планиметрия

Стереометрия

Отрезок АН – перпендикуляр
Точка Н – основание перпендикуляра
Отрезок АМ – наклонная
Точка

М – основание наклонной

А

а

А

Отрезок МН – проекция
наклонной на прямую а

Слайд 5

Планиметрия Стереометрия Расстояние от точки до прямой – длина перпендикуляра А

Планиметрия

Стереометрия

Расстояние от точки до прямой – длина перпендикуляра

А

а

А

Расстояние от точки до

плоскости – длина перпендикуляра

Из всех расстояний от точки А до различных точек прямой а наименьшим является длина перпендикуляра.

Слайд 6

Расстояние от лампочки до земли измеряется по перпендикуляру, проведенному от лампочки

Расстояние от лампочки до земли измеряется по перпендикуляру, проведенному от лампочки

к плоскости земли

Н а к л о н н а я

Н а к л о н н а я

П
Е
Р
П
Е
Н
Д
И
К
У
Л
Я
Р

Проекция

Проекция

Слайд 7

Если две плоскости параллельны, то все точки одной плоскости равноудалены от

Если две плоскости параллельны, то все точки одной плоскости равноудалены от

другой плоскости.

Расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой плоскости называется
расстоянием между параллельными плоскостями.

Слайд 8

Если прямая параллельна плоскости, то все точки прямой равноудалены от этой

Если прямая параллельна плоскости, то все точки прямой равноудалены от этой

плоскости.

a

Расстояние от произвольной точки прямой до плоскости называется расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью.

Слайд 9

Если две прямые скрещиваются, то через каждую из них проходит плоскость,

Если две прямые скрещиваются, то через каждую из них проходит плоскость,

параллельная другой прямой, и притом только одна.

a

Расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой, называется расстоянием между скрещивающимися прямыми.

b

Слайд 10

Расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую

Расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую

прямую параллельно первой, называется расстоянием между скрещивающимися прямыми.

Отрезок, имеющий концы на двух скрещивающихся прямых и перпендикулярный к этим прямым, называется их общим перпендикуляром.
На рисунке АВ – общий перпендикуляр.

Слайд 11

В

В

Слайд 12

A К Из точки А к плоскости проведены две наклонные, которые

A

К

Из точки А к плоскости проведены две наклонные, которые образуют со

своими проекциями на плоскость углы в 600. Угол между наклонными 900. Найдите расстояние между основаниями наклонных, если расстояние от точки А до плоскости равно см.
Слайд 13

A В Из точки А к плоскости проведены две наклонные, длины

A

В

Из точки А к плоскости проведены две наклонные, длины которых равны

26 см и см. Их проекции на эту плоскость относятся как 5:4. Найдите расстояние от точки А до плоскости .

?

Слайд 14

А Н П-Р М Теорема о трех перпендикулярах. Прямая, проведенная в

А

Н

П-Р

М

Теорема о трех перпендикулярах.
Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно

к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

Н-я

Слайд 15

А Н П-Р М Обратная теорема. Прямая, проведенная в плоскости через

А

Н

П-Р

М

Обратная теорема.
Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней,

перпендикулярна и к ее проекции.

Н-я

Слайд 16

Прямая АК перпендикулярна к плоскости правильного треугольника АВС, а точка М

Прямая АК перпендикулярна к плоскости правильного треугольника АВС, а точка М

– середина стороны ВС. Докажите, что МК ВС.

В

С

А

№148.

П-я

П-Р

Н-я

Слайд 17

Отрезок АD перпендикулярен к плоскости равнобедренного треугольника АВС. Известно, что АВ

Отрезок АD перпендикулярен к плоскости равнобедренного треугольника АВС. Известно, что АВ

= АС = 5 см, ВС = 6 см, АD = 12 см.
Найдите расстояния от концов отрезка АD до прямой ВС.

В

С

А

№149 (дом.)

П-я

П-Р

Н-я

АN и DN – искомые расстояния

Слайд 18

В треугольнике угол С прямой, угол А равен 600, AС=12см. DC

В треугольнике угол С прямой, угол А равен 600, AС=12см. DC

(АВС). DC= Найдите расстояния:
а) от точки С до прямой АВ, б) от точки D до прямой АВ.

600

С

А

П-я

П-Р

Н-я

CN и DN – искомые расстояния

12

В

Слайд 19

П-я Через вершину прямого угла С равнобедренного прямоугольного треугольника АВС проведена

П-я

Через вершину прямого угла С равнобедренного прямоугольного треугольника АВС проведена

прямая СМ, перпендикулярная к его плоскости. Найдите расстояние от точки М до прямой АВ, если АС = 4 см, а СМ =

А

В

С

П-Р

Н-я

МF – искомое расстояние

Слайд 20

П-я Один из катетов прямоугольного треугольника равен т, а острый угол,

П-я

Один из катетов прямоугольного треугольника равен т, а острый угол,

прилежащий к этому катету, равен . Через вершину прямого угла С проведена прямая СD, перпендикулярная к плоскости этого треугольника, СD = n. Найдите расстояние от точки D до прямой АВ.

А

В

С

№156.

П-Р

Н-я

DF – искомое расстояние

т

n

Слайд 21

Методическая разработка Савченко Е.М. МОУ гимназия №1, г. Полярные Зори, Мурманской

Методическая разработка Савченко Е.М. МОУ гимназия №1, г. Полярные Зори, Мурманской

обл.

Теорема

о трех перпендикулярах

Геометрия 10

Слайд 22

Если две прямые скрещиваются, то через каждую из них проходит плоскость,

Если две прямые скрещиваются, то через каждую из них проходит плоскость,

параллельная другой прямой, и притом только одна.

a

Расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой, называется расстоянием между скрещивающимися прямыми.

b

Слайд 23

Расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую

Расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую

прямую параллельно первой, называется расстоянием между скрещивающимися прямыми.

Отрезок, имеющий концы на двух скрещивающихся прямых и перпендикулярный к этим прямым, называется их общим перпендикуляром.
На рисунке АВ – общий перпендикуляр.

Слайд 24

А Н П-Р М Повторение. Теорема о трех перпендикулярах. Прямая, проведенная

А

Н

П-Р

М

Повторение. Теорема о трех перпендикулярах.
Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной

перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

Н-я

Слайд 25

А Н П-Р М Повторение. Обратная теорема. Прямая, проведенная в плоскости

А

Н

П-Р

М

Повторение. Обратная теорема.
Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к

ней, перпендикулярна и к ее проекции.

Н-я

Слайд 26

П-я 1 А В Из точки М проведен перпендикуляр МВ к

П-я 1

А

В

Из точки М проведен перпендикуляр МВ к плоскости прямоугольника АВСD.

Докажите, что треугольники АМD и МСD прямоугольные.

D

С

М

Н-я 1

Н-я 2

П-я 2

№147.

Слайд 27

П-я 1 D А Через вершину А прямоугольника АВСD проведена прямая

П-я 1

D

А

Через вершину А прямоугольника АВСD проведена прямая АК, перпендикулярная к

плоскости прямоугольника. Известно, что КD = 6 см, КВ = 7 см, КС = 9 см. Найдите:
а) расстояние от точки К до плоскости прямоугольника АВСD; б) расстояние между прямыми АК и СD.

С

В

K

Н-я 1

Н-я 2

П-я 2

№150.

КА – искомое расстояние

?

АD – общий перпендикуляр
АD – искомое расстояние

Найдем другие прямые углы…

Слайд 28

В Через вершину B квадрата АВСD проведена прямая ВF, перпендикулярная к

В

Через вершину B квадрата АВСD проведена прямая ВF, перпендикулярная к его

плоскости. Найдите расстояния от точки F до прямых, содержащих стороны и диагонали квадрата, если ВF = 8 дм, АВ = 4 дм.

D

С

№152.

4

1) Расстояние от точки F до прямой АВ?

2) Расстояние от точки F до прямой ВС?

3) Расстояние от точки F до прямой АD?

П-я 1

Н-я 1

Н-я 2

П-я 2

А

4) … от точки F до прямой DC?

Слайд 29

В Через вершину B квадрата АВСD проведена прямая ВF, перпендикулярная к

В

Через вершину B квадрата АВСD проведена прямая ВF, перпендикулярная к его

плоскости. Найдите расстояния от точки F до прямых, содержащих стороны и диагонали квадрата, если ВF = 8 дм, АВ = 4 дм.

D

С

№152.

4

П-я 1

Н-я 1

Н-я 2

П-я 2

Н-я 3

П-я3

О

5) Расстояние от точки F до прямой АС?

А

Слайд 30

Прямая ОК перпендикулярна к плоскости ромба АВСD, диагонали которого пересекаются в

Прямая ОК перпендикулярна к плоскости ромба АВСD, диагонали которого пересекаются в

точке О. а) Докажите, что расстояние от точки К до всех прямых содержащих стороны ромба, равны. б) Найдите это расстояние, если
ОК = 4,5 дм, АС = 6 дм, ВD = 8 дм.

А

К

O

D

С

№157.

В

Слайд 31

В М А D №158. С 600 25 см

В

М

А

D

№158.

С

600

25 см

Слайд 32

П-Р Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не

П-Р

Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной

к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость.

Н-я

Слайд 33

Найти угол между наклонными и плоскостью (описать алгоритм построения).

Найти угол между наклонными и плоскостью
(описать алгоритм построения).

Слайд 34

П-я Прямая ВD перпендикулярна к плоскости треугольника АВС. Известно, что ВD

П-я

Прямая ВD перпендикулярна к плоскости треугольника АВС. Известно, что ВD

= 9 см, АС = 10 см, ВС = ВА = 13 см. Найдите: а) расстояние от точки D до прямой АС;
б) площадь треугольника АСD.

А

С

В

№154 (дом).

П-Р

Н-я

МD – искомое расстояние

Слайд 35

Если прямая перпендикулярна к плоскости, то ее проекцией на эту плоскость

Если прямая перпендикулярна к плоскости, то ее проекцией на эту плоскость

является точка пересечения этой прямой с плоскостью. В таком случае угол между прямой и плоскостью считается равным 900.
Слайд 36

Если прямая параллельна плоскости, то ее проекцией на плоскость является прямая,

Если прямая параллельна плоскости, то ее проекцией на плоскость является прямая,

параллельная данной. В этом случае понятие угла между прямой и плоскостью мы не вводим. (Иногда договариваются считать, что угол между параллельными прямой и плоскостью равен 00)

a